Проверьте утверждения о группах?

[arseniiv]

Это мне утром в голову пришло. Верны ли следующие два утверждения? Я сомневаюсь, что второе верно для всех случаев, хотя сделал доказательство - но оно может быть неправильным.

1. Коммутативность группы эквивалентна тому, что все пары элементов из её системы образующих (одной из) коммутируют.
2. Порядок коммутативной группы равен произведению порядков элементов её системы образующих (опять же, одной из возможных).

Отвлечённое по поводу 2: может, поэтому [если 2 верно] порядок элемента группы именно так и назвали? И ещё: есть обозначение для порядка элемента? Я у себя использовал $\left| a \right|$, но вдруг это неправильно

[Профессор Снэйп]

Первое, очевидно, верно. Второе тоже. Порядок элемента группы назвали так не поэтому Обозначение для порядка элемента не помню.

P. S. Следовало, наверное, упомянуть, что речь идёт о конечных группах.
P. P. S. Коммутативные группы называются абелевыми

[arseniiv]

Профессор Снэйп в сообщении #233544 писал(а):

P. P. S. Коммутативные группы называются абелевыми

Да знаю я. Но я люблю первое название Думал, "абелева группа" говорят больше в англоязычной литературе.
Спасибо за подтверждение. Боялся, что для второго найдутся какие-нибудь особенные частные случаи, которые трудно сразу увидеть...

-- Пт авг 07, 2009 19:55:08 --

Вроде порядок всё-таки модульными скобками обозначается, хотя не уверен - поиском только одна страница нашлась, и то там прямо не указывалось, что это обозначение именно для порядка элемента

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #233551 писал(а):

Спасибо за подтверждение. Боялся, что для второго найдутся какие-нибудь особенные частные случаи, которые трудно сразу увидеть...

Да нет, откуда? Каждая конечная абелева группа разлагается в прямую сумму циклических. Берёте образующую каждого из слагаемых и получаете то, что надо

-- Пт авг 07, 2009 20:23:57 --

Можете даже добиться того, что порядки образующих будут степенями простых чисел. А вот сделать все эти порядки простыми, увы, не всегда возможно Например, в $\mathbb{Z}_4$ есть порождающий элемент порядка $4$, но невозможно выделить два элемента порядка $2$, порождающих всю группу.

[arseniiv]

Ой, правда, можно было и прямые произведения (которые вы назвали суммами, не знал, что аддитивная терминология и к самим группам применяется... ) рассмотреть, а я рассматривал все элементы как произведения степеней образующих... Пришлось добавить, что ни одна пара произведений не равна и что все элементы представимы в виде них.

-- Пт авг 07, 2009 21:16:45 --

А ведь клейновская группа порядка 4 изоморфна ${\Bbb Z}_2^2$?

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #233570 писал(а):

прямые произведения (которые вы назвали суммами, не знал, что аддитивная терминология и к самим группам применяется...

Бывают и произведения, и суммы. Определяются они по разному, и в случае, когда число аргументов операции бесконечно, различаются. Однако если групп конечное число, то их прямое произведение совпадает с их прямой суммой. А посему для конечного числа групп не важно, какой термин использовать.

arseniiv в сообщении #233570 писал(а):

Пришлось добавить, что ни одна пара произведений не равна и что все элементы представимы в виде них.

Что добавить, куда добавить, зачем?..

arseniiv в сообщении #233570 писал(а):

А ведь клейновская группа порядка 4 изоморфна $\mathbb{Z}_2^2$?

Увы, не помню, что такое клейновская группа.

[arseniiv]

Клейновская группа порядка 4 (а произвольного порядка я определение не смотрел) - это та, которая не циклическая, ведь их всего две

Профессор Снэйп писал(а):

Что добавить, куда добавить, зачем?..

Ну, к моему доказательству. А иначе элементов могло быть меньше

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #233612 писал(а):

Ну, к моему доказательству.

А какое у Вас доказательство? Может, его тоже по ходу надо проверить?

[arseniiv]

Нееет, не надо, оно хорошее

[AD]

arseniiv в сообщении #233538 писал(а):

Порядок коммутативной группы равен произведению порядков элементов её системы образующих

Объясните, пожалуйста, для ламеров типа меня, почему нельзя в качестве системы образующих взять все элементы группы (скажем, для $\mathbb{Z}_3$ тогда это произведение будет $9>3$). Или тут молчаливо предполагается, что группа свободная, или что-то типа этого?

[Профессор Снэйп]

AD в сообщении #234042 писал(а):

arseniiv в сообщении #233538 писал(а):

Порядок коммутативной группы равен произведению порядков элементов её системы образующих

Объясните, пожалуйста, для ламеров типа меня, почему нельзя в качестве системы образующих взять все элементы группы (скажем, для $\mathbb{Z}_3$ тогда это произведение будет $9>3$). Или тут молчаливо предполагается, что группа свободная, или что-то типа этого?

AD, Вы не полностью процитировали автора. У него в том месте, где говорится про систему образующих, в скобочках стоит примечание "одной из возможных". То есть он хотел узнать, верно ли, что для всякой конечной абелевой группы существует система образующих, произведение порядков элементов которой равно порядку группы. Это, безусловно, так.

А на вопрос о том, верно ли, что для любой системы образующих порядок группы равен произведению порядков элементов этой системы, ответ, естественно, отрицательный. Достаточно взять в качестве системы образующих всю группу и группу эту выбрать отличной от единичной и от $\mathbb{Z}_2$

[AD]

А, тогда всё понял. То есть "хотя бы одной".

[arseniiv]

Мне надо было написать "минимальной", наверно Думал, что всякая система образующих должна быть такой, что ни один её элемент не представим произведением других.

[Профессор Снэйп]

То есть предлагается что-то вроде следующего?...

Пусть $A$ --- конечная абелева группа и $G \subseteq A$ --- система образующих. Эта система называется минимальной, если для любого собственного подмножества $G' \subset G$ множество $G'$ не является системой образующих (то есть $\langle G' \rangle \neq A$).

И высказывается следующая гипотеза: если $G$ --- минимальная система образующих для $A$, то порядок $|A|$ равен произведению порядков элементов из $G$.

Мне кажется, что гипотеза, скорее всего, неверна. Щас подумаю над контрпримером.

Возможно, завтра. Не думаю, что задача слишком сложная, но уже полночь, а я сегодня за день устал сильно. Мысли слипаются...

-- Пн авг 10, 2009 23:10:39 --

P. S. to arseniiv Если хотите, то пишите, конечно, произведения, никто Вам не вправе это запретить. Но если всё же хотите следовать устоявшейся математической традиции, то для абелевых групп лучше писать суммы, то есть рассматривать аддитивные группы $\langle A, + \rangle$. Людям Вас будет проще понять

[arseniiv]

Частенько что-нибудь забываю. Да, точно же. А я и в своём "домашнем доказательстве" произведения использовал... Всё, перехожу на аддитивную.

Профессор Снэйп в сообщении #233557 писал(а):

Да нет, откуда? Каждая конечная абелева группа разлагается в прямую сумму циклических. Берёте образующую каждого из слагаемых и получаете то, что надо

С определением минимальности не мпорю, оно как раз такое, какое я имел ввиду. Почему же тогда отменится вот это ваше утверждение? С кадого слагаемого-циклической по образующей, разве в результате этого не получится сразу минимальная система? Хотя про сумму групп я как раз не почитал пока, чтоб судить. Сейчас поищу. Конечно, дождусь ответа завтра.

-- Вт авг 11, 2009 00:04:18 --

Не порекомендуете ли мне потом как-нибудь книгу по теории групп, если знаете хорошую? Вот начал с "Введение в теорию групп" П.С.Александрова, правда, в конце около фактор-группы пока не до конца разобрался. А про суммы там не говорится. Было бы очень хорошо, если бы эта книга была свободно доступна в интернете.