Есть ли строгость в математике?

[Garik2]

Мальцев лукавит: поиск новых интегралов и математических методов их решения продолжается и будет продолжаться.

[Профессор Снэйп]

Garik2 в сообщении #233397 писал(а):

Мальцев лукавит: поиск новых интегралов и математических методов их решения продолжается и будет продолжаться.

Да кто же спорит? Арнольд вот тоже лукавит: теоремы, не находящие прямого применения в физике, доказываются и будут продолжать доказываться.

Я думаю (хотя не уверен), что Мальцев имел в виду следующее. Определение интеграла Лебега и т. п. --- это, конечно, математика. Но рисование всяких закорючек в тетради с поисками разных подходящих подстановок стоит довольно далеко от доказательства теорем. Истинная же математика исключительно в доказательстве теорем и заключается. А рисование закорючек --- это, как любила выражаться наша школьная англичанка, "обезьяний процесс".

[Garik2]

Опять спорно
Если при помощи подстановок и закорючек кому-то удастся взять в элементарном виде интеграл от функции $x^x$ - это будет рывок в развитии математики.

[Профессор Снэйп]

Никто не утверждает, что надо брать именно этот интеграл. Есть и другие, их-то и имел в виду А. И. Мальцев

Помню, у меня в студенчестве один друг был. Очень любил всякие "олимпиадные интегралы" брать. При этом никогда не следил за законностью подстановок, областями определения и т. п. Если его в процессе полёта мысли прерывали и говорили, к примеру, что сходимость несобственных интегралов надо доказывать, он в ответ морщился, говорил, что всё это фигня и что всё равно ответ будет правильный, даже если какие-то промежуточные выкладки не совсем законны. А я вот, наоборот, подобные задачи считал пустой тратой времени. Зато западал на такие, где надо было что-то формулировать и доказывать, а не просто гонять закорючки туда-сюда. Так мы и не убедили друг друга ни в чём.

[Garik2]

Так всегда Ваш соратник находил правильный результат, или пренебрежение законностями подстановок и областями определения его иногда подводили?

[Профессор Снэйп]

Garik2 в сообщении #233421 писал(а):

Так всегда Ваш соратник находил правильный результат?..

Формально нет, фактически да. Всё зависит от того, считаете ли Вы запись $\int dx/x = \ln x$ вместо $\int dx/x = \ln |x| + C$ существенной ошибкой или нет

[Garik2]

Решай я хотя бы так любые задачи, то был бы безумно счастлив. Обычно заносит в такую степь, что образуется тонна макулатуры, так нужной государству нашему российскому.

[Профессор Снэйп]

Garik2 в сообщении #233440 писал(а):

Решай я хотя бы так любые задачи, то был бы безумно счастлив. Обычно заносит в такую степь, что образуется тонна макулатуры, так нужной государству нашему российскому.

В. Маяковский писал(а):

Поэзия --- та же добыча радия,
В грамм добыча, в год труды!
Изводишь единого слова ради
Тысячи тонн полезной руды.

Математика --- разновидность поэзии, как не крути У меня за годы занятий математикой полшифонера этой макулатуры скопилось

[arqady]

Профессор Снэйп в сообщении #233428 писал(а):

Garik2 в сообщении #233421 писал(а):

Так всегда Ваш соратник находил правильный результат?..

Формально нет, фактически да. Всё зависит от того, считаете ли Вы запись $\int dx/x = \ln x$ вместо $\int dx/x = \ln |x| + C$ существенной ошибкой или нет

Кстати, когда-то при поступлении на московский мехмат запись $\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$ считалась существенной ошибкой.

[Профессор Снэйп]

arqady в сообщении #233446 писал(а):

Кстати, когда-то при поступлении на московский мехмат запись $\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$ считалась существенной ошибкой.

Да? Я бы тогда не поступил. А как считалось правильно?

[Garik2]

И тут arqady-Джинн испарился, унося свою тайну обратно в бутылку

-- Пт авг 07, 2009 08:51:46 --

Профессор Снэйп в сообщении #233443 писал(а):

У меня за годы занятий математикой полшифонера этой макулатуры скопилось

У меня тоже скопился жуткий архив. Проблему решил чисто хирургически - тщательно перевел все полезное в комп, отпринтовал 7 книг (в пяти экз. каждая, - часть идет на подарки друзьям, коллегам), поместил в инете в различных сайтах ценные результаты и исследования. Всю бумагу тачками сбросил в яму (там скоро будет бассейн) и торжественно сжег.

[arqady]

Профессор Снэйп в сообщении #233451 писал(а):

arqady в сообщении #233446 писал(а):

Кстати, когда-то при поступлении на московский мехмат запись $\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$ считалась существенной ошибкой.

Да? Я бы тогда не поступил. А как считалось правильно?

Правильно считалось так:
$\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C_1,$ когда $x>0$
и $\int \frac{1}{x}dx=\ln(-x)+C_2,$ когда $x<0.$
Вы, Профессор, не знаете, что такое первообразная!
О каком мехмате может идти речь? Подучите и приходите через год.
Garik2, так хочется иногда побыть джинном!

[Профессор Снэйп]

arqady в сообщении #233461 писал(а):

Правильно считалось так:
$\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C_1,$ когда $x>0$
и $\int \frac{1}{x}dx=\ln(-x)+C_2,$ когда $x<0.$
Вы, Профессор, не знаете, что такое первообразная!

Блин, а ведь и правда не знаю

К чёрту этот МГУ, все дружно поступаем в НГУ! Там чтут традиции А. И. Мальцева

[AGu]

arqady в сообщении #233446 писал(а):

Кстати, когда-то при поступлении на московский мехмат запись $\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$ считалась существенной ошибкой.

Эта формула живо обсуждалась в теме Интеграл от 1/x. Оказалось, что кое-кто считает целесообразным вводить определение первообразной лишь на промежутке. В этом случае:

AGu в сообщении #229458 писал(а):

Запись $\ln|x|+C$ является ответом на следующую задачу: Найти формулу для неопределенного интеграла функции $f(x)=\frac1x$, подходящую для любого промежутка, лежащего в естественной области определения функции $f$.

[Mopnex]

Профессор Снэйп в сообщении #233395 писал(а):

nikov в сообщении #233380 писал(а):

Математика – часть физики.

1) Чистая математика служит логическим фундаментом для математики прикладной.

2) "Абстрактные" области математического знания бывают удивительно красивы, и сама их внутренняя красота служит для них достаточным оправданием.

Здесь надо ещё добавить, что иногда чистая математика становится аппаратом физики