Есть ли строгость в математике?

[hexamino]

Многие мои знакомые математики пытаются убедить меня, что в математике есть строгость, что в ней все доказывается и ничего не принимается на веру. Я с этим не согласен. На мой взгляд, доказательства - это лишь способ замаскировать ничем не обоснованные утверждения. Математические рассуждения по сути часто содержат порочный круг, когда понятие определяется само через cебя, или утверждение выводится из самого себя. Чтобы не быть голословным, я предлагаю желающим строго доказать какое-нибудь простое утверждение, например "Для любого натурального числа $n$ существует простое число $p$ такое, что $p > n$", а я укажу на неустранимые недостатки приведенного доказательства.

[AGu]

hexamino в сообщении #232787 писал(а):

я предлагаю желающим строго доказать какое-нибудь простое утверждение, например "Для любого натурального числа $n$ существует простое число $p$ такое, что $p > n$", а я укажу на неустранимые недостатки приведенного доказательства.

По уровню строгости классическое доказательство этого утверждения едва ли будет отличаться от любого другого типичного доказательства, используемого математиками. Известные мне неустранимые недостатки таких доказательств уходят корнями в метатеорию или метамодель, где уровень строгости обычно соответствует интуиции (если отказаться от рассмотрения мета-мета-теории и т.д.). Поэтому предлагаю указать на неустранимые недостатки в доказательстве утверждения о том, что $0=0$. Привожу соответствующее доказательство в арифметике Пеано: $({\text`}\,0=0\,{\text'})$.

[Профессор Снэйп]

hexamino в сообщении #232787 писал(а):

На мой взгляд, доказательства - это лишь способ замаскировать ничем не обоснованные утверждения.

+ 1 Доказательство --- это разновидность гипноза

hexamino в сообщении #232787 писал(а):

Чтобы не быть голословным, я предлагаю желающим строго доказать какое-нибудь простое утверждение, например "Для любого натурального числа $n$ существует простое число $p$ такое, что $p > n$", а я укажу на неустранимые недостатки приведенного доказательства.

Всё же попробуем

Рассмотрим число $n! + 1$. Оно не делится ни на одно простое число, не превосходящее $n$. Значит, оно имеет простой делитель, больший, чем $n$.

Что скажете?

[ewert]

hexamino в сообщении #232787 писал(а):

я предлагаю желающим строго доказать какое-нибудь простое утверждение, например "Для любого натурального числа $n$ существует простое число $p$ такое, что $p > n$", а я укажу на неустранимые недостатки приведенного доказательства.

В детском саду принято доказывать это так. Предположим обратное, и пусть $p_1,\;p_2,\;\ldots,\;p_n$ -- все простые числа. Тогда число $p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_n$ -- тоже простое, и притом больше всех перечисленных. Противоречие, ч.т.д. Ищите круг.

[AGu]

ewert в сообщении #232800 писал(а):

В детском саду принято доказывать это так. Предположим обратное, и пусть $p_1,\;p_2,\;\ldots,\;p_n$ -- все простые числа. Тогда число $p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_n$ -- тоже простое, и притом больше всех перечисленных. Противоречие, ч.т.д. Ищите круг.

В детском саду забыли прибавить единичку.

[ewert]

AGu в сообщении #232801 писал(а):

ewert в сообщении #232800 писал(а):

В детском саду принято доказывать это так. Предположим обратное, и пусть $p_1,\;p_2,\;\ldots,\;p_n$ -- все простые числа. Тогда число $p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_n+1$ -- тоже простое, и притом больше всех перечисленных. Противоречие, ч.т.д. Ищите круг.

В детском саду забыли прибавить единичку.

Ага, но теперь вспомнили.

[AGu]

ewert в сообщении #232806 писал(а):

AGu в сообщении #232801 писал(а):

ewert в сообщении #232800 писал(а):

В детском саду принято доказывать это так. Предположим обратное, и пусть $p_1,\;p_2,\;\ldots,\;p_n$ -- все простые числа. Тогда число $p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_n+1$ -- тоже простое, и притом больше всех перечисленных. Противоречие, ч.т.д. Ищите круг.

В детском саду забыли прибавить единичку.

Ага, но теперь вспомнили.

Вспомнили-то в детском саду, а вот исправили -- не там. Порочный круг, однако.

[ewert]

AGu в сообщении #232809 писал(а):

Порочный круг, однако.

Никакого круга. Как метко заметил один товарищ, "Не гляди на зад, не гляди..."

[AGu]

ewert в сообщении #232810 писал(а):

AGu в сообщении #232809 писал(а):

Порочный круг, однако.

Никакого круга. Как метко заметил один товарищ, "Не гляди на зад, не гляди..."

Ничего себе, «никакого круга»! А я вот ща как подам в суд за то, что мне приписали то, чего я не писал! Я ведь написал, что Вы написали одно, а Вы написали, будто я написал, что Вы написали совсем другое!

[ewert]

Тогда продолжим. "Тока имена переставь..."

[hexamino]

Профессор Снэйп в сообщении #232798 писал(а):

Всё же попробуем

Рассмотрим число $n! + 1$.

Откуда следует, что это - число? Откуда следует, что оно существует? Что значит "рассмотрим"? Магические слова наподобие "рассмотрим", "возьмем", "пусть", "допустим" часто встречаются в текстах, претендующих на то, чтобы быть доказательствами, но нигде не объясняется, что же они значат.

Цитата:

Оно не делится ни на одно простое число, не превосходящее $n$.

Откуда это следует?

Цитата:

Значит, оно имеет простой делитель, больший, чем $n$.

Раскройте, откуда получился этот вывод. Вообще, объясните, почему это не случайная последовательность слов, а действительно доказательство.

[ewert]

hexamino в сообщении #232813 писал(а):

Вообще, объясните, почему это не случайная последовательность слов,

Докажите, что та последовательность слов была именно случайной.

[hexamino]

ewert в сообщении #232800 писал(а):

Предположим обратное, и пусть $p_1,\;p_2,\;\ldots,\;p_n$ -- все простые числа. Тогда число $p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_n$ -- тоже простое, и притом больше всех перечисленных.

Вот эти многоточия меня вообще убивают. Что это такое? Разве этому знаку где-то давалось определение? Или математик просто не нашелся, что вписать в это место доказательства и поэтому написал многоточие?

Вот эти нижние индексы тоже выглядят сомнительными. Что это за операция? Например, если $p = 3$, а $n = 5$, то чему равно $p_n$?

-- Вт авг 04, 2009 13:22:06 --

ewert в сообщении #232814 писал(а):

hexamino в сообщении #232813 писал(а):

Вообще, объясните, почему это не случайная последовательность слов,

Докажите, что та последовательность слов была именно случайной.

Я не утверждал, что она случайна. Мне просто непонятно, почему она называется доказательством без каких-либо обоснований. Может быть, начнем с того, что дадим определение доказательству?

-- Вт авг 04, 2009 13:30:38 --

AGu в сообщении #232795 писал(а):

Поэтому предлагаю указать на неустранимые недостатки в доказательстве утверждения о том, что $0=0$. Привожу соответствующее доказательство в арифметике Пеано: $({\text`}\,0=0\,{\text'})$.

Откуда видно, что это доказательство? Вы в качестве доказательства привели именно то утверждение, которые Вы собрались доказывать, только зачем-то дописали кавычки и скобки. Разве это не порочный круг? И вообще, напишите подробно, какую систему аксиом и правил вывода Вы используете.

[Профессор Снэйп]

hexamino в сообщении #232813 писал(а):

Вообще, объясните, почему это не случайная последовательность слов, а действительно доказательство.

Ну... Я напишу в ответ на Ваш вопрос некоторое количество букаф, а Вы дадите на неё тот же ответ, что и выше. Так будет продолжаться до бесконечности

То, что число $n!$ определено для любого $n$, доказывается индукцией по $n$. Наличие у числа $n!+1$ простых делителей следует из того, что любой делитель натурального числа, отличный от него самого, строго меньше этого числа, и того, что множество натуральных чисел с естественным порядком вполне упорядочено.

[ewert]

hexamino в сообщении #232815 писал(а):

Вот эти нижние индексы тоже выглядят сомнительными. Что это за операция? Например, если $p = 3$, а $n = 5$, то чему равно $p_n$?

Эта "операция" называется биекцией. А $p$ там, разумеется, никаким $3$ не равно, оно вообще ничему не равно, т.к. нету там никакого $p$, постановка вопроса бессмысленна.