Король на шахматной доске

[Профессор Снэйп]

to TOTAL. Пока флуд не захлестнул тему, хочу спросить у Вас, нет ли каких-нибудь идей насчёт "линий уровня"?

[Vanuan]

Почему флуд? Я всего лишь хочу уточнить условие задачи. Уж очень оно расплывчатое

[Phoenix]

Профессор Снэйп в сообщении #231134 писал(а):

Phoenix в сообщении #231117 писал(а):

Каким образом это следует из условия?

А Вы это условие вообще читали?

Читал, но там не сказано, что фигура может двигаться только в одном направлении.

Профессор Снэйп в сообщении #231092 писал(а):

Если одна из сторон доски имеет размер $1$, то никуда переходить не надо, поскольку последний ряд совпадает с первым.

А что именно мешает королю двигаться вдоль стороны (не важно горизонтальной ли, вертикальной ли), размер которой не равен одному?

[TOTAL]

Phoenix в сообщении #231311 писал(а):

А что именно мешает королю двигаться вдоль стороны (не важно горизонтальной ли, вертикальной ли), размер которой не равен одному?

Разноцветность клеток может помешать так двигаться.

[Phoenix]

TOTAL в сообщении #231349 писал(а):

Phoenix в сообщении #231311 писал(а):

А что именно мешает королю двигаться вдоль стороны (не важно горизонтальной ли, вертикальной ли), размер которой не равен одному?

Разноцветность клеток может помешать так двигаться.

Это понятно!
Тогда непонятно почему Профессор Снэйп забраковал мой пример...

Phoenix в сообщении #230970 писал(а):

Не контр-пример ли это:
Пусть размер доски $m \times 1$, тогда в не зависимости от цвета поля, на котором в начале стоит король и значения $ m $, по условию задачи когда-нибудь следующее поле будет другого цвета (и оно не обязательно должно быть последним), на которое король ступить уже не сможет (опять-таки по условию). Значит, ответ как минимум "не всегда"...

Проблема, наверное, в том, как мы поняли слова "шахматная доска с клетками, раскрашенными произвольным образом"... Профессор Снэйп, видимо, подразумевает под этим доскуна которой, скажем, по вертикалям возможны сдвиги, однако по горизонталям сохраняется чередование цветов. Я понял эти слова по-другому, а именно, что цвет отдельной клетки совершенное произволен. Вот к чему может привести неточная формулировка задачи ...

[TOTAL]

Phoenix в сообщении #231362 писал(а):

Тогда непонятно почему Профессор Снэйп забраковал мой пример...

Phoenix в сообщении #230970 писал(а):

Не контр-пример ли это:
Пусть размер доски $m \times 1$, тогда в не зависимости от цвета поля, на котором в начале стоит король и значения $ m $, по условию задачи когда-нибудь следующее поле будет другого цвета (и оно не обязательно должно быть последним), на которое король ступить уже не сможет (опять-таки по условию). Значит, ответ как минимум "не всегда"...

И правильно, что забраковал. Ответ ВСЕГДА. Вы все еще не поняли вполне аккуратно сформулированное условие.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #229841 писал(а):

TOTAL в сообщении #229655 писал(а):

Может, даже посильней сформулировать?
Для непрерывной функции $f$ найдется линия уровня, соединяющая две противоположные стороны.
Есть пример, опровергающий это утверждение?

Если я правильно понял, то имеется в виду следующее утверждение:

Если $f : [0,1]^2 \to [0,1]$ непрерывна, то для некоторого $x \in [0,1]$ множество $f^{-1}(x)$ линейно связно и содержит пару точек, лежащих на противоположных сторонах.

Нет, контрпримера у меня нету. Как это можно доказать, тоже не знаю.

Требование линейной связности $f^{-1}(x)$ неадекватно упрощает задачу.
(Элементарный контрпример -- кусочно аффинная «гармошка».)
По-видимому, TOTAL имел в виду следующую задачу.

Задача о линейно связном пересечении ландшафта


Верно ли, что для любой непрерывной функции $f:[0,1]^2\to\mathbb R$
найдется такое линейно связное подмножество $C\subseteq[0,1]^2$, что
$C$ пересекается с противоположными сторонами квадрата $[0,1]^2$
и $f\equiv{\rm const}$ на $C$?

Рассмотрим следующую черно-белую раскраску квадрата $[0,1]^2$:

Здесь множество $B$ всех черных точек является замыканием
объединения четырех кривых а-ля $\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)$.

Определим функцию $f:[0,1]^2\to\mathbb R$ формулой $f(x)={\rm dist}(x,B)$.
Как легко видеть, функция $f$ непрерывна, причем
$f(x)=0$ при $x\in B$ и $f(x)>0$ при $x\in W:=[0,1]^2\backslash B$.
Тогда $f$ служит контрпримером к обсуждаемому утверждению.

Тут фишка в том, что множество $B$ (состоящее из пяти
линейно связных фрагментов) связно, но не линейно связно,
в то время как его дополнение $W$ состоит из пяти попарно
непересекающихся связных открытых подмножеств $[0,1]^2$.

В связи с возникшей фишкой имеет смысл поразмыслить
над следующей модификацией задачи о пересечении ландшафта:

Задача о связном пересечении ландшафта


Верно ли, что для любой непрерывной функции $f:[0,1]^2\to\mathbb R$
найдется такое связное подмножество $C\subseteq[0,1]^2$, что
$C$ пересекается с противоположными сторонами квадрата $[0,1]^2$
и $f\equiv{\rm const}$ на $C$?

P.S. В размышления над первой задачей о ландшафте были вовлечены
сотрудники некоторого научного учреждения, работающие в кабинетах
311, 334, 349, 350, 363 и 419.

P.P.S. Некоторые из упомянутых выше сотрудников имеют некоторые
соображения по поводу второй задачи о ландшафте.

[Vanuan]

Загрузил

[Phoenix]

TOTAL в сообщении #231568 писал(а):

Phoenix в сообщении #231362 писал(а):

Тогда непонятно почему Профессор Снэйп забраковал мой пример...

Phoenix в сообщении #230970 писал(а):

Не контр-пример ли это:
Пусть размер доски $m \times 1$, тогда в не зависимости от цвета поля, на котором в начале стоит король и значения $ m $, по условию задачи когда-нибудь следующее поле будет другого цвета (и оно не обязательно должно быть последним), на которое король ступить уже не сможет (опять-таки по условию). Значит, ответ как минимум "не всегда"...

И правильно, что забраковал. Ответ ВСЕГДА. Вы все еще не поняли вполне аккуратно сформулированное условие.

Да, видимо, не понял, но пытаюсь понять... В частности, как выглядит ""шахматная" доска размером $m \times n$, клетки которой раскрашены произвольным образом в два цвета"...

[TOTAL]

Phoenix в сообщении #232779 писал(а):

Да, видимо, не понял, но пытаюсь понять... В частности, как выглядит ""шахматная" доска размером $m \times n$, клетки которой раскрашены произвольным образом в два цвета"...

Начните с простого. Сначала представьте себе доску размером $1 \times 1.$ Дальше по индукции.