Король на шахматной доске

[ИСН]

Блеск. По-моему, как раз наоборот, полно дорог снизу вверх. Впрочем, в главном мы сходимся: контрпример не катит

[Профессор Снэйп]

Ну, я ошибся в том, что надо квадрат $[-1,1]^2$ вырезать, а не квадрат $[-1/2,1/2]^2$.

Это был контрпример к тому, что если путей снизу вверх по меди нет, то есть пути слева направо по фарфору. Тут нет ни тех, ни других. Хотя, конечно, слева направо есть медные пути...

[Vanuan]

TOTAL в сообщении #229568 писал(а):

На черной доске от верха до низа идет белая полоса.

Значит король может добраться по этой полосе от верха до низа (от одной стороны к противоположной) или по чёрным клеткам одной из половин. Что-то я не понимаю. Сформулируйте точнее условия задачи.

Чем не подходит моё доказательство? Мне кажется, для решения этой задачи достаточно дискретной математики, в частности теории графов. Мат.анализ тут ни в какие ворота не лезет.

[TOTAL]

Vanuan в сообщении #229711 писал(а):

Чем не подходит моё доказательство?

Тем, что корооль не всегда сможет перейти от любой стороны к противоположной.

Vanuan в сообщении #229556 писал(а):

Следовательно король всегда сможет перейти от любой стороны к противоположной.

[Профессор Снэйп]

TOTAL в сообщении #229655 писал(а):

Может, даже посильней сформулировать?
Для непрерывной функции $f$ найдется линия уровня, соединяющая две противоположные стороны.
Есть пример, опровергающий это утверждение?

Если я правильно понял, то имеется в виду следующее утверждение:

Если $f : [0,1]^2 \to [0,1]$ непрерывна, то для некоторого $x \in [0,1]$ множество $f^{-1}(x)$ линейно связно и содержит пару точек, лежащих на противоположных сторонах.

Нет, контрпримера у меня нету. Как это можно доказать, тоже не знаю.

[Vanuan]

TOTAL в сообщении #229835 писал(а):

Тем, что корооль не всегда сможет перейти от любой стороны к противоположной.

Боюсь, мы не договорились в терминах. Под словом "любая" вы подразумеваете "каждая"? Я подразумевал "хотя бы одна".

Ещё раз прошу: сформулируйте условия задачи более чётко, хотя бы на понятийном уровне. Чётко распишите, что значит "с одного из краёв", "всегда", "любого"...

Если мы не договоримся в терминах, условиях задачи, и требованиях решения (кстати, в чём заключается вопрос?), каждый будет решать задачу так, как он понял. А пока что смысла в этой теме не вижу.

Заметьте, в начале темы я ответил "не всегда", потому что понял слово "одной" в условии как "каждой" и сразу же представил эту "белую полосу", пересекающую доску. venco же опроверг моё утверждение и попросил контрпример. Я же, поняв, что venco понимает слово "одной" как "хотя бы одной", привёл доказательство, что король всегда сможет перебраться хотя бы с одного края на противоположный. Участник TOTAL опять изменил значение слова "одной" на "каждой" и привёл контрпример - упомянутую "белую полосу". Я не понимаю условия задачи. Что требуется доказать? Без прояснения можно очень долго воду в ступе толочь.

[TOTAL]

Vanuan в сообщении #230709 писал(а):

TOTAL в сообщении #229835 писал(а):

Тем, что корооль не всегда сможет перейти от любой стороны к противоположной.

Боюсь, мы не договорились в терминах. Под словом "любая" вы подразумеваете "каждая"? Я подразумевал "хотя бы одна".

Извините, мне не приходило в голову, что Вы плохо понимаете по-русски.

[Vanuan]

Я не понимаю, где подвох. Контрпример приведен. Что дальше?

[Phoenix]

Профессор Снэйп в сообщении #229386 писал(а):

Пусть есть прямоугольная "шахматная" доска размером $m \times n$. Клетки доски раскрашены произвольным образом в два цвета.

Всегда ли шахматный король может перейти с одного из краёв этой доски на противоположный край, шагая только по клеткам одного цвета?

Не контр-пример ли это:
Пусть размер доски $m \times 1$, тогда в не зависимости от цвета поля, на котором в начале стоит король и значения $ m $, по условию задачи когда-нибудь следующее поле будет другого цвета (и оно не обязательно должно быть последним), на которое король ступить уже не сможет (опять-таки по условию). Значит, ответ как минимум "не всегда"...

[Профессор Снэйп]

Phoenix в сообщении #230970 писал(а):

Не контр-пример ли это

Нет.

[Vanuan]

Почему?

[Профессор Снэйп]

Vanuan в сообщении #231065 писал(а):

Почему?

По кочану!!!!!!!!!!

Если одна из сторон доски имеет размер $1$, то никуда переходить не надо, поскольку последний ряд совпадает с первым.

[Phoenix]

Профессор Снэйп в сообщении #231092 писал(а):

Если одна из сторон доски имеет размер $1$, то никуда переходить не надо, поскольку последний ряд совпадает с первым.

Каким образом это следует из условия?

[Профессор Снэйп]

Phoenix в сообщении #231117 писал(а):

Каким образом это следует из условия?

А Вы это условие вообще читали?

[Vanuan]

Цитата:

Всегда ли шахматный король может перейти с одного из краёв этой доски на противоположный край

Ну? Каким образом выбирается этот самый "один" край и "противоположный"? Противоположных краёв две пары. Если вы считаете по-другому, уточните условие задачи.

Участник TOTAL меня упрекнул в незнании русского языка. Похоже его слова относятся и к вам. Что вы подразумеваете под словами "один край" и "противоположный"? Одну из двух пар, то есть любую пару краёв? Или каждую?

Смотрите, есть два варианта постановки задачи:

1. Нужно найти такую раскраску доски, чтобы король не смог перейти ни с одного края доски на противоположный (рассматриваются сразу обе пары).
2. Нужно найти такую раскраску доски, чтобы король не смог перейти хотя бы с одного края доски на противоположный (одной пары достаточно).

По первому пункту: одной пары возможного перехода достаточно, чтобы опровергнуть невозможность перехода.
По второму пункту: нужно рассматривать каждую пару, необходимы оба варианта возможного перехода, чтобы опровергнуть его невозможность.

Какой вариант подразумевается здесь? Заметьте, слова "каждая" и "хотя бы одна" меняют свой смысл на противоположный при добавлении частицы "не".

Оба варианта были рассмотрены в этой теме. В первом случае ответ - всегда (доказательство). Во втором - не всегда (контраргумент приведен неоднократно)