2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение c параметром "a"
Сообщение27.07.2009, 21:21 


08/05/08
935
MSK
Получилось уравнение:

$x^4-2ax^3+ \frac{x} {a} -1=0$, $a$ - натуральные числа.

Можно ли понять, при каких $a$ уравнение будет иметь рациональные корни, или корни, выражающиеся через квадратные радикалы

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение27.07.2009, 22:19 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
Рациональных решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение28.07.2009, 08:18 
Заслуженный участник


30/01/09
5058
У меня есть предположение, что у исходного уравнения есть корни, выражающиеся через квадратные радикалы от рациональных чисел тогда и только тогда, когда левую часть уравнения можно представить в виде произведения двух многочленов второго порядка с рациональными коэффициентами. Попробуйте предположить, что такое разложение существует и методом неопределённых коэффициентов найти коэффициенты этих многочленов. Но скорее всего это приведёт опять к сложным уравенениям, которые непонятно как решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение28.07.2009, 09:30 


28/07/08
31
Москва
А стандартные методы решения таких уравнений: Феррари и Декарта-Эйлера пробовали применить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение28.07.2009, 10:36 
Заслуженный участник


30/01/09
5058
По лемме Гаусса (Винберг - Курс алгебры - стр.120), если многочлен с целыми коэффициентами разлагается в произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами, то он разлагается в произведение многочленов с целыми коэффициентами. Теперь, предварительно умножив уравнение на $a$, попробовать применить к нему стандартные критерии факторизуемости многочленов с целыми коэффициентами, типа признака Эйзенштейна (но он тут не проходит).

-- Вт июл 28, 2009 11:55:11 --

Попробовал подсунуть эту задачу MAPLE. Для $a=1$ или $a=-1$ она находит корни через квадратные радикалы. Для других значений $a$ (из тех что я пробовал) - не получается.

-- Вт июл 28, 2009 14:54:24 --

Прошу прощения. То что я написал раньше - не верно. При $a=1$ исходное уравнение раскладывается на множители $(x^2-x-(1+ \sqrt 5)/2)(x^2-x-(1- \sqrt 5)/2)$ с нерациональными членами. При этом корни уравнения выражаются через квадратные радикалы от рационаьных чисел. Аналогично рассматривается случай $a=-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение30.07.2009, 09:06 


08/05/08
935
MSK
мат-ламер в сообщении #231595 писал(а):
Прошу прощения. То что я написал раньше - не верно. При $a=1$ исходное уравнение раскладывается на множители $(x^2-x-(1+ \sqrt 5)/2)(x^2-x-(1- \sqrt 5)/2)$ с нерациональными членами. При этом корни уравнения выражаются через квадратные радикалы от рационаьных чисел. Аналогично рассматривается случай $a=-1$.


Исходное уравнение у меня получилось при рассмотрении одной геометрической задачи. При этом задача "симметрична" отноительно $a=0$.

По идее и корни выражаемые через квадратные радикалы должны быть как бы быть распределены симметрично относительно $a=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение30.07.2009, 22:30 


08/05/08
935
MSK
Прощу прощения, я тоже ошибся, потерял двойку.

$x^4-2ax^3+ \frac {2x} {a} -1=0$

Могли бы вы в Maple подсунуть $a=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение30.07.2009, 22:53 


29/09/06
4552
Я смог (правда, без Мапла, но ведь это не важно? Мапловость к построениям цикркулем и линейкой не... нерелепардонвантна?) . Получилось $(x+1)(x-1)^3$.

-- 30 июл 2009, 23:56 --

А подставил $a=-1\mbox{~---}$ получилось наоборот!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение30.07.2009, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Цитата:
Девушка доила корову, а в зеркале отражалось всё наоборот.
:lol: :lol:
Этим же и исчерпываются случаи приличных корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение31.07.2009, 14:31 


29/09/06
4552
:D
У исправленного уравнения и резольвента поприятнее оказалась, можно повозиться с корнями (если не лень). Это я вчера увидел, но сломалась ЭВМ, и я её на форум не смог затащить (что-то типа $(z-z_0)^3=\mbox{\small чему-то}$ было).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение04.08.2009, 09:01 


08/05/08
935
MSK
Алексей К. в сообщении #232232 писал(а):
:D
У исправленного уравнения и резольвента поприятнее оказалась


У меня получилась такая:
$y^3+4a^2- \frac {4} {a^2}=0$

Попробовал подставить $a=1$, получился ответ из общего решения с полученной резольвентой как у вас чуть выше. Общее решение ( корни) не такие громоздкие получились, чуть позже выпишу с бумаги.

А какой вывод можно сделать из такой резольвенты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение04.08.2009, 15:38 


29/09/06
4552
e7e5 в сообщении #232763 писал(а):
У меня получилась такая:
$y^3+4a^2- \frac {4} {a^2}=0$
...А какой вывод можно сделать из такой резольвенты?
Как я Вам уже признавался, интересующих Вас выводов я делать не умею. Из резольвент я обычно делаю корни уравнений, и этим ограничиваюсь.
Резольвента неправильная. Правильно $(z{\color{blue}{}-a^2})^3+4a^2- \frac {4} {a^2}=0$.
(А буковку я подменил, следуя традиционным обозначениям: исходное уравнение $f(x)=0$, приведённое --- $g(y)=0$ (здесь $y=x-a/2$), резольвента $h(z)=0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение c параметром "a"
Сообщение07.08.2009, 22:02 


08/05/08
935
MSK
Алексей К. в сообщении #232878 писал(а):
Резольвента неправильная. Правильно $(z{\color{blue}{}-a^2})^3+4a^2- \frac {4} {a^2}=0$.
(А буковку я подменил, следуя традиционным обозначениям: исходное уравнение $f(x)=0$, приведённое --- $g(y)=0$ (здесь $y=x-a/2$), резольвента $h(z)=0$).


В учебнике по высшей алгебре рассматривается общая теория, приведенного ур. 4 - ой степени нет, поэтому сразу и выписал резольвенту из неприведенного.

уж очень ваша, на мою похожа, только несколько синеньких буковок...

и что странно при $a=1$ из общего решения для корней, верный корень получается.

$x_{1,2}=\frac {a+\sqrt{a^2+y_0}} {2} \pm 1/2 \sqrt{(a+\sqrt{a^2+y_0})^2-2y_0-4 \sqrt{y_0^{2}/4+1}}$
$y_0=(\frac {4} {a^2} -4a^2)^{1/3}$

т.е. $a=1$ , $x_1=1$

-- Пт авг 07, 2009 23:09:38 --

Вот какие такие $a$ взять, чтобы более менее приличные корни получались?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group