Уравнение c параметром "a"

[e7e5]

Получилось уравнение:

$x^4-2ax^3+ \frac{x} {a} -1=0$, $a$ - натуральные числа.

Можно ли понять, при каких $a$ уравнение будет иметь рациональные корни, или корни, выражающиеся через квадратные радикалы

[venco]

Рациональных решений нет.

[мат-ламер]

У меня есть предположение, что у исходного уравнения есть корни, выражающиеся через квадратные радикалы от рациональных чисел тогда и только тогда, когда левую часть уравнения можно представить в виде произведения двух многочленов второго порядка с рациональными коэффициентами. Попробуйте предположить, что такое разложение существует и методом неопределённых коэффициентов найти коэффициенты этих многочленов. Но скорее всего это приведёт опять к сложным уравенениям, которые непонятно как решать.

[Anna Andrevna]

А стандартные методы решения таких уравнений: Феррари и Декарта-Эйлера пробовали применить?

[мат-ламер]

По лемме Гаусса (Винберг - Курс алгебры - стр.120), если многочлен с целыми коэффициентами разлагается в произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами, то он разлагается в произведение многочленов с целыми коэффициентами. Теперь, предварительно умножив уравнение на $a$, попробовать применить к нему стандартные критерии факторизуемости многочленов с целыми коэффициентами, типа признака Эйзенштейна (но он тут не проходит).

-- Вт июл 28, 2009 11:55:11 --

Попробовал подсунуть эту задачу MAPLE. Для $a=1$ или $a=-1$ она находит корни через квадратные радикалы. Для других значений $a$ (из тех что я пробовал) - не получается.

-- Вт июл 28, 2009 14:54:24 --

Прошу прощения. То что я написал раньше - не верно. При $a=1$ исходное уравнение раскладывается на множители $(x^2-x-(1+ \sqrt 5)/2)(x^2-x-(1- \sqrt 5)/2)$ с нерациональными членами. При этом корни уравнения выражаются через квадратные радикалы от рационаьных чисел. Аналогично рассматривается случай $a=-1$.

[e7e5]

мат-ламер в сообщении #231595 писал(а):

Прошу прощения. То что я написал раньше - не верно. При $a=1$ исходное уравнение раскладывается на множители $(x^2-x-(1+ \sqrt 5)/2)(x^2-x-(1- \sqrt 5)/2)$ с нерациональными членами. При этом корни уравнения выражаются через квадратные радикалы от рационаьных чисел. Аналогично рассматривается случай $a=-1$.

Исходное уравнение у меня получилось при рассмотрении одной геометрической задачи. При этом задача "симметрична" отноительно $a=0$.

По идее и корни выражаемые через квадратные радикалы должны быть как бы быть распределены симметрично относительно $a=0$

[e7e5]

Прощу прощения, я тоже ошибся, потерял двойку.

$x^4-2ax^3+ \frac {2x} {a} -1=0$

Могли бы вы в Maple подсунуть $a=1$?

[Алексей К.]

Я смог (правда, без Мапла, но ведь это не важно? Мапловость к построениям цикркулем и линейкой не... нерелепардонвантна?) . Получилось $(x+1)(x-1)^3$.

-- 30 июл 2009, 23:56 --

А подставил $a=-1\mbox{~---}$ получилось наоборот!

[ИСН]

Цитата:

Девушка доила корову, а в зеркале отражалось всё наоборот.

Этим же и исчерпываются случаи приличных корней.

[Алексей К.]

У исправленного уравнения и резольвента поприятнее оказалась, можно повозиться с корнями (если не лень). Это я вчера увидел, но сломалась ЭВМ, и я её на форум не смог затащить (что-то типа $(z-z_0)^3=\mbox{\small чему-то}$ было).

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #232232 писал(а):

:D
У исправленного уравнения и резольвента поприятнее оказалась

У меня получилась такая:
$y^3+4a^2- \frac {4} {a^2}=0$

Попробовал подставить $a=1$, получился ответ из общего решения с полученной резольвентой как у вас чуть выше. Общее решение ( корни) не такие громоздкие получились, чуть позже выпишу с бумаги.

А какой вывод можно сделать из такой резольвенты?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #232763 писал(а):

У меня получилась такая:
$y^3+4a^2- \frac {4} {a^2}=0$
...А какой вывод можно сделать из такой резольвенты?

Как я Вам уже признавался, интересующих Вас выводов я делать не умею. Из резольвент я обычно делаю корни уравнений, и этим ограничиваюсь.
Резольвента неправильная. Правильно $(z{\color{blue}{}-a^2})^3+4a^2- \frac {4} {a^2}=0$.
(А буковку я подменил, следуя традиционным обозначениям: исходное уравнение $f(x)=0$, приведённое --- $g(y)=0$ (здесь $y=x-a/2$), резольвента $h(z)=0$).

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #232878 писал(а):

Резольвента неправильная. Правильно $(z{\color{blue}{}-a^2})^3+4a^2- \frac {4} {a^2}=0$.
(А буковку я подменил, следуя традиционным обозначениям: исходное уравнение $f(x)=0$, приведённое --- $g(y)=0$ (здесь $y=x-a/2$), резольвента $h(z)=0$).

В учебнике по высшей алгебре рассматривается общая теория, приведенного ур. 4 - ой степени нет, поэтому сразу и выписал резольвенту из неприведенного.

уж очень ваша, на мою похожа, только несколько синеньких буковок...

и что странно при $a=1$ из общего решения для корней, верный корень получается.

$x_{1,2}=\frac {a+\sqrt{a^2+y_0}} {2} \pm 1/2 \sqrt{(a+\sqrt{a^2+y_0})^2-2y_0-4 \sqrt{y_0^{2}/4+1}}$
$y_0=(\frac {4} {a^2} -4a^2)^{1/3}$

т.е. $a=1$ , $x_1=1$

-- Пт авг 07, 2009 23:09:38 --

Вот какие такие $a$ взять, чтобы более менее приличные корни получались?