Тригонометрия и числа

[CowboyHugges]

Цитата:

Ответ на вопрос - определяю функцию не как правило отражения числа в число а как она выражается через другие функции.

А как "те" функции будут у Вас определятся, или Вы их просто свяжете каким-либо соотношением, в этом проку не много

STilda в сообщении #231519 писал(а):

Таким образом функция превращается в элемент, например элемент группы/алгебры.

Так любая функция она является элементом какого-то функционального пространства, что тут нового?

[STilda]

CowboyHugges в сообщении #231522 писал(а):

А как "те" функции будут у Вас определятся, или Вы их просто свяжете каким-либо соотношением, в этом проку не много

Например Группа является набором взаимосвязанных элементов. А сами элементы ни как не определены. Много ль в Грппах проку?

CowboyHugges в сообщении #231522 писал(а):

Так любая функция она является элементом какого-то функционального пространства, что тут нового?

Какое пространство реализует тригонометрия?

[CowboyHugges]

STilda, всё я понял о чём Вы. Вы хотите рассмотреть тригонометрические функции как элементы какой-то группы/алгебры. Чтож хорошо. Вы можете задать на множестве тригонометрических функций структуру алгебры или группы, и показать выполнение соответствующих аксиом?

[AVM]

STilda в сообщении #231519 писал(а):

Речь идет про набор функций, которые взаимоопределяют друг друга.

Пожалуйста, подробнее: область определения и область значения.
Если вы этого не уточните, то извольте не использовать понятие функции в своей "теории".

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #231487 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #231405 писал(а):

Как-нибудь без дифференциально-интегрального исчисления можно синус определить?

Через ряд Маклорена. Можно почитать, например, в Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. — Курс современного анализа. Основные операции анализа (том 1) (приложение).
Или вопрос относился к определению через функц. ур-ия?

Ну да, где-то так. Через функциональные уравнения. А в формуле

$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots $$

вроде как присутствуют числа (рядом с восклицательными знаками и в показателях степеней:) ) и переход к пределу, что, наверное, не есть гуд. Хотя я сам толком не знаю, что примерно хотел бы увидеть (у меня есть подозрение, что автор темы тоже ).

-- Вт июл 28, 2009 09:21:02 --

STilda в сообщении #231519 писал(а):

AVM в сообщении #231507 писал(а):

Бред: формула - это любая несущая информацию запись, как вы можете определить функцию ее не определяя?!?

Речь идет про набор функций, которые взаимоопределяют друг друга. И эту систему взаимоотношений можно взять за исход, откинув при этом числа, стоящие за функциями. Ответ на вопрос - определяю функцию не как правило отражения числа в число а как она выражается через другие функции.
Таким образом функция превращается в элемент, например элемент группы/алгебры. Тригонометрия станет некоторой группой. Вот такая идея.

Ну, группа --- это вряд ли...

Если брать одноместные функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ относительно композиции, то получится полугруппа. Те функции, которые мы причисляем к "тригонометрическим", образуют подполугруппу. Но Вы, наверное, захотите ещё сложение с умножением добавить. Тогда получится более сложная структура, не помню, как она называется.

Предлагаю такую формализацию.

1) Пусть есть $n$-местная функция $f(x_1, \ldots, x_k)$ и $n$ штук $k$-местных функций $g_1(x_1, \ldots, x_k), \ldots, g_n(x_1, \ldots, x_k)$. Тогда $k$-местная функция $h(x_1, \ldots, x_k)$ получается суперпозицией из функций $f, g_1, \ldots, g_n$, если $h(x_1, \ldots, x_k) = f(g_1(x_1, \ldots, x_k), \ldots, g_n(x_1, \ldots, x_k))$.

2) Скажем, что функция $f$ получается из функций $g_1, \ldots, g_m$ решением функционального уравнения, если существуют функции $h_1$ и $h_2$, каждая из которых получается конечным числом суперпозиций из функций $f, g_1, \ldots, g_m$, такие что $h_1 = h_2$, причём если $h_1'$ и $h_2'$ получаются из $h_1$ и $h_2$ заменой в суперпозициях $f$ на $f'$, то равенство $h_1' = h_2'$ влечёт $f'=f$.

3) Базисными назовём функции $\sin x$, $x + y$, $x \cdot y$, $I_n^m(x_1, \ldots, x_n) = x_m$.

3) Функция $f$ называется тригонометрической, если существует последовательность функций $f_0, \ldots, f_n$, такая что $f_n = f$ и для любого $i \leqslant n$ функция $f_i$ либо базисная, либо получается суперпозицией из каких-то функций, входящих в набор $f_0, \ldots, f_{i-1}$, либо получается решением функционального уравнения из каких-то функций, входящих в тот же набор.

-- Вт июл 28, 2009 09:27:57 --

Если кому-то стало интересно, то предлагаю для начала доказать, что $\cos x$ является тригонометрической функцией согласно этому определению

[Батороев]

Профессор Снэйп в сообщении #231405 писал(а):

Как-нибудь без дифференциально-интегрального исчисления можно синус определить?

Синус можно наоборот "еще сильнее" привязать к числам:
Синус может показывать степень изменения выражения $(a+\dfrac{1}{a})$ при изменении числа $a$ относительно $1$.

Для интерпретации этого нарисуем прямоугольный треугольник $ABC$ с проекциями катетов $AB$ и $BC$ на гипотенузу $AC$, соответственно равными $a^2$ и $1$.
Если угол при вершине $A$ обозначить $\dfrac{\alpha}{2}$,
то
$\sin \alpha = \dfrac {2}{(a+\frac{1}{a})} = \dfrac {(1+\frac{1}{1})}{(a+\frac{1}{a})}$

-- Вт июл 28, 2009 11:14:27 --

При этом:
$ \cos \alpha = \dfrac {(a-\frac{1}{a})}{(a+\frac{1}{a})} $

[STilda]

CowboyHugges в сообщении #231540 писал(а):

Вы можете задать на множестве тригонометрических функций структуру алгебры или группы, и показать выполнение соответствующих аксиом?

Ну да, где то так. (С одним уточнением, что не то чтоб задать, а скорее увидеть что она уже задана (если это так конечно))
AVMОдин и тот же объект (в частности функию) имеет разные лица, смотря с какой стороны про них мыслить. Я буду использовать термин функция в классическом понимании так как это одно из лиц. Второе лицо я пытаюсь описать.
Пример приведу. Возьмем поле комплексных чисел. На них четыре оператора: сопряжение $S$, обращение$O$, инверсия$I$, единичный $E$ оператор. AVM вы за то, чтоб мыслить про них как про операторы работающие над комплексными числами. А я согласен, но есть еще группа которую образуют эти операторы между собой, без упоминания про какие либо числа. $S^2=O^2=I^2=E^2=I*S*O=E,S*I=O,S*O=I,I*O=E$.

Профессор Снэйп в сообщении #231570 писал(а):

А в формуле ... вроде как присутствуют числа (рядом с восклицательными знаками и в показателях степеней:) )

Если двигать в сторону глобализма то получим что числа это те$S(S(0))$. Так что в глобальном смысле это тоже правильно. Но я локализовался от глобальности тем что взял тригонометрию.
Профессор Снэйп, а что если говорить, набор функций является тригонометрическим если на нем задана алгебраическая структура изоморфная такой-то(предстояло бы определится).

[Профессор Снэйп]

STilda в сообщении #231592 писал(а):

Профессор Снэйп, а что если говорить, набор функций является тригонометрическим если на нем задана алгебраическая структура изоморфная такой-то(предстояло бы определится).

Да ради Бога, говорите, кто мешает. Не думаю, правда, что получится нечто ценное. Слишком уж сложная структура вырисовывается...

[Mopnex]

Есть такая теорема .

Существует, и притом единственная пара функций $S(x)$ и $C(x)$, определённых на всей числовой прямой и удовлетворяющих следующим трём требованиям:

1. Для любых вещественных чисел $x$, $y$ , $z$ выполняются соотношения

$S(x+y) = S(x)C(y)+C(x)S(y)$
$C(x+y) = C(x)C(y)-S(x)S(y)$
$S^2(z)+C^2(z) = 1$

2. $ S(0) = 0$, $ C(0) = 1$
$ S(\pi/2) = 1 $, $C(\pi/2) = 0$



3. При $0<z<\pi/2 $ справедливы неравенства $0<S(z)<z$

Попутно доказывается, что эти функции непрерывны.

[Профессор Снэйп]

Кстати! Числа --- это ведь нольместные функции. Так что числа --- это функции, всё в порядке.

Правда, возникает вопрос, считать ли такие функции тригонометрическими.

[STilda]

Профессор Снэйп, да, все в порядке. Но вопрос может возникнуть такой. Вот я приводил пример с операторами над комплексными числами. Этих операторов конечно много но нашлась их замкнутая группа. Найдутся и другие, и не только группы но и алгебры наверняка. Тригонометрию можно ли так локализовать? Вся тригонометрия пошла от синуса и косинуса. Через них можно все остальное выразить. Значит это может быть критерий принадлежности тригонометрии. А?

[Профессор Снэйп]

STilda в сообщении #231973 писал(а):

Вся тригонометрия пошла от синуса и косинуса. Через них можно все остальное выразить. Значит это может быть критерий принадлежности тригонометрии. А?

Не только от синуса и косинуса, ещё от умножения со сложением. Я уже писал про то, как это можно формализовать

Профессор Снэйп в сообщении #231570 писал(а):

Предлагаю такую формализацию.

1) Пусть есть $n$-местная функция $f(x_1, \ldots, x_k)$ и $n$ штук $k$-местных функций $g_1(x_1, \ldots, x_k), \ldots, g_n(x_1, \ldots, x_k)$. Тогда $k$-местная функция $h(x_1, \ldots, x_k)$ получается суперпозицией из функций $f, g_1, \ldots, g_n$, если $h(x_1, \ldots, x_k) = f(g_1(x_1, \ldots, x_k), \ldots, g_n(x_1, \ldots, x_k))$.

2) Скажем, что функция $f$ получается из функций $g_1, \ldots, g_m$ решением функционального уравнения, если существуют функции $h_1$ и $h_2$, каждая из которых получается конечным числом суперпозиций из функций $f, g_1, \ldots, g_m$, такие что $h_1 = h_2$, причём если $h_1'$ и $h_2'$ получаются из $h_1$ и $h_2$ заменой в суперпозициях $f$ на $f'$, то равенство $h_1' = h_2'$ влечёт $f'=f$.

3) Базисными назовём функции $\sin x$, $x + y$, $x \cdot y$, $I_n^m(x_1, \ldots, x_n) = x_m$.

4) Функция $f$ называется тригонометрической, если существует последовательность функций $f_0, \ldots, f_n$, такая что $f_n = f$ и для любого $i \leqslant n$ функция $f_i$ либо базисная, либо получается суперпозицией из каких-то функций, входящих в набор $f_0, \ldots, f_{i-1}$, либо получается решением функционального уравнения из каких-то функций, входящих в тот же набор.

[STilda]

Да, умножение и сложение. И еще единица наверное.

[Garik2]

Да что вы мучаетесь? Синус лучше всего связать с литературой: отношение противолежащего катета к гипотенузе. И все дела!

[STilda]

Хочется еще раз с вами пройти цепочку размышлений, в попытке четко отделить где геометрия а где уже алгебра. Поэтому:

Garik2 в сообщении #232962 писал(а):

отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Здесь не отношение катета к гипотенузе. А длины катета к длине гипотенузы. Но длина - не алгебраическое понятие. Вопрос, как понятие длины переносится в алгебру?