Выпуклость и открытость

[Профессор Снэйп]

Пусть $U \subseteq \mathbb{R}^n$, $U$ выпукло и для любых $u \in U$, $x \in \mathbb{R}^n$ существует положительное $\varepsilon \in \mathbb{R}$, такое что $u + \varepsilon x \in U$. Как доказать, что $U$ открыто?

[LDan]

Введем следующие обозначения

$e_1 = (1,0,0,...0)$
$e_2 = (0,1,0,...0)$
...
$e_n = (0,0,0,...1)$

Пусть, далее $u \in U$, тогда
$u_1 = u + \varepsilon_1e_1 \in U$
$u'_1 = u + \varepsilon'_1(-e_1) \in U$
...
$u_n = u + \varepsilon_1e_n \in U$
$u'_n = u + \varepsilon'_1(-e_n) \in U$

Точки $u_1, u'_1, ... , u_n, u'_n$ являются вершинами многогранника для которого точка $u$ является внутренней, так как $U$ - выпуклое множество, то весь многогранник содержится в $U$. Т.е. $u$ является внутренней точкой множества $U$. Утверждение доказанно.

[Профессор Снэйп]

Да, действительно всё тривиально. Извиняюсь за столь простой вопрос.

А верно ли, что если вместо $\mathrm{R}^n$ взять любое бесконечномерное нормированное пространство над $\mathbb{R}$, то $U$ с данными в задаче свойствами уже не обязано быть открытым?

[Semailles]

В бесконечномерном случае единичная сфера некомпактна, соответствующие $\varepsilon$ на ней не отделены от нуля, так что ответ, видимо, отрицательный.

[id]

Профессор Снэйп
Может быть, подойдет подмножество $l^2$ с $|x_n| \leqslant \frac 1 n$ или что-то вроде того. Хотя данный конкретный пример не подходит из-за условия $\forall x$

[Semailles]

Вот-вот.

[id]

Вообще, достаточно развернутый ответ есть в Koethe, Topological vector spaces, vol. I параграф 16, пункт 4.

[Профессор Снэйп]

В бесконечномерном случае отрицательный ответ тоже тривиален. Берём базис Гамеля, в котором присутствуют вектора сколь угодно малой нормы, и выпуклую оболочку этого базиса. И усё