2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Выпуклость и открытость
Сообщение29.07.2009, 20:22 
Аватара пользователя
Пусть $U \subseteq \mathbb{R}^n$, $U$ выпукло и для любых $u \in U$, $x \in \mathbb{R}^n$ существует положительное $\varepsilon \in \mathbb{R}$, такое что $u + \varepsilon x \in U$. Как доказать, что $U$ открыто?

 
 
 
 Re: Выпуклость и открытость
Сообщение29.07.2009, 21:09 
Введем следующие обозначения

$e_1 = (1,0,0,...0)$
$e_2 = (0,1,0,...0)$
...
$e_n = (0,0,0,...1)$

Пусть, далее $u \in U$, тогда
$u_1 = u + \varepsilon_1e_1 \in U$
$u'_1 = u + \varepsilon'_1(-e_1) \in U$
...
$u_n = u + \varepsilon_1e_n \in U$
$u'_n = u + \varepsilon'_1(-e_n) \in U$

Точки $u_1, u'_1, ... , u_n, u'_n$ являются вершинами многогранника для которого точка $u$ является внутренней, так как $U$ - выпуклое множество, то весь многогранник содержится в $U$. Т.е. $u$ является внутренней точкой множества $U$. Утверждение доказанно.

 
 
 
 Re: Выпуклость и открытость
Сообщение29.07.2009, 23:36 
Аватара пользователя
Да, действительно всё тривиально. Извиняюсь за столь простой вопрос.

А верно ли, что если вместо $\mathrm{R}^n$ взять любое бесконечномерное нормированное пространство над $\mathbb{R}$, то $U$ с данными в задаче свойствами уже не обязано быть открытым?

 
 
 
 Re: Выпуклость и открытость
Сообщение30.07.2009, 00:35 
В бесконечномерном случае единичная сфера некомпактна, соответствующие $\varepsilon$ на ней не отделены от нуля, так что ответ, видимо, отрицательный.

 
 
 
 Re: Выпуклость и открытость
Сообщение30.07.2009, 00:37 
Профессор Снэйп
Может быть, подойдет подмножество $l^2$ с $|x_n| \leqslant \frac 1 n$ или что-то вроде того. Хотя данный конкретный пример не подходит из-за условия $\forall x$ :?

 
 
 
 Re: Выпуклость и открытость
Сообщение30.07.2009, 00:39 
Вот-вот.

 
 
 
 Re: Выпуклость и открытость
Сообщение30.07.2009, 01:28 
Вообще, достаточно развернутый ответ есть в Koethe, Topological vector spaces, vol. I параграф 16, пункт 4.

 
 
 
 Re: Выпуклость и открытость
Сообщение30.07.2009, 02:49 
Аватара пользователя
В бесконечномерном случае отрицательный ответ тоже тривиален. Берём базис Гамеля, в котором присутствуют вектора сколь угодно малой нормы, и выпуклую оболочку этого базиса. И усё :)

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group