принцип максимума - задача Неймана для уравнения Лапласа

[nckg]

Вопрос. Существует ли априорная оценка для градиента решения задачи Неймана
\begin{gather*} \Delta u=0\\ \left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{\partial\Omega}=g \end{gather*}
следующего вида:
$\[\|\nabla u\|_{C(\overline{\Omega})}\leqslant C\|g\|_{C(\partial\Omega)}\]$
где константа $C$ зависит только от области $\Omega$

В книге [Гилбарг, Трудингер, стр. 331, теорема 15.1] я нашёл оценку
следующего вида:$\[\sup_{\Omega}|\nabla u|=\sup_{\partial\Omega}|\nabla u|,\]$
но в правую часть этой оценки входит не совсем то, что хотелось бы.

[terminator-II]

желаемая оценка выглядит не очень правдоподобно. а зачем если не секрет?

[nckg]

В принципе, оценка интересна сама по себе - ведь есть тут определённая аналогия с принципом максимума в задаче Дирихле...
(Хотя лично у меня тоже есть ощущение, что такая оценка неверна. А (контр)пример придумать пока не удаётся)
Но кроме неё мне интересен также следующий вопрос: если граничное условие зависит от параметра $t$ и принадлежит $C^{l+\alpha,m+\beta}(\overline{S_T})$ (где $S_T=\partial\Omega\times(0,T),~l\geqslant 1$ ), то будет ли верна оценка вида
$\|\nabla u\|_{l+\alpha, m+\beta,Q}\leqslant C \|g\|_{l+\alpha, m+\beta,S_T}$
(Если убрать параметр, то это будет оценка Шаудера)

-- Вт июл 28, 2009 15:06:09 --

(здесь $0\leqslant l,m\in \mathbb Z, ~ 0<\alpha,\beta \in \mathbb R$, $Q=\Omega\times(0,T)$)

[Gafield]

nckg в сообщении #231618 писал(а):

В принципе, оценка интересна сама по себе - ведь есть тут определённая аналогия с принципом максимума в задаче Дирихле...
(Хотя лично у меня тоже есть ощущение, что такая оценка неверна. А (контр)пример придумать пока не удаётся)
Но кроме неё мне интересен также следующий вопрос: если граничное условие зависит от параметра $t$ и принадлежит $C^{l+\alpha,m+\beta}(\overline{Q})$ (где $Q=\Omega\times(0,T),~l\geqslant 1$ ), то будет ли верна оценка вида
$\|\nabla u\|_{l+\alpha, m+\beta}\leqslant C \|g\|_{l+\alpha, m+\beta}$
(Если убрать параметр, то это будет оценка Шаудера)

-- Вт июл 28, 2009 15:06:09 --

(здесь $0\leqslant l,m\in \mathbb Z, ~ 0<\alpha,\beta \in \mathbb R$)

Наверно, здесь имелось в виду $\partial \Omega$ вместо $\Omega$?
Будет, видимо. Пусть, например, $l=m=0$, $\alpha=\beta\in(0,1)$. Тогда $\|\Delta_t \nabla u(\cdot,t)\|_{Q,\alpha}\le C$\|\Delta_t g(\cdot,t)\|_{\partial Q,\alpha}$. Поэтому все сводится к чисто свойствам пространств Гельдера типа пусть $f\in C^\alpha({\mathbb R}^2)$. Тогда $\|\Delta_t f(\cdot,t)\|_{\mathbb R,\alpha}\le C|\Delta t| \|f\|_{\mathbb R^2,\alpha}$. Это должно легко проверяться.

[nckg]

Gafield в сообщении #231660 писал(а):

Наверно, здесь имелось в виду $\partial \Omega$ вместо $\Omega$?

спасибо, поправил

Gafield в сообщении #231660 писал(а):

$\|\Delta_t f(\cdot,t)\|_{\mathbb R,\alpha}\le C|\Delta t| \|f\|_{\mathbb R^2,\alpha}$

Может быть Вы имели в виду
$\|\Delta_t f(\cdot,t)\|_{\mathbb R,\alpha}\le |\Delta t|^\alpha \|f\|_{\mathbb R^2,\alpha}$?

[Gafield]

Да, пропустил степень.

[nckg]

Ещё немного уточню: если бы было:
$\|\Delta_t f(\cdot,t)\|_{\mathbb R,0}\le |\Delta t|^\alpha \|f\|_{\mathbb R^2,\alpha}$
то я с Вами согласился бы (если иметь в виду $\displaystyle\|f(\cdot,t)\|_{\mathbb R,0}=\max_{\xi\in \mathbb R} |f(\xi,t)|$). Но ведь $\|f\|_\alpha=\|f\|_0 + [f]^\alpha$, где $\displaystyle [f]^\alpha=\sup_{x_2, x_1\in \mathbb R} |f(x_2)-f(x_1)|/|x_2-x_1|^\alpha, ~ \|f\|_0=\max_{x\in \mathbb R}|f(x)|$ (здесь для простоты $f=f(x), ~ x\in \mathbb R$). То есть слева написать $\|\cdot\|_{\mathbb R, \boxed{\alpha}}$ на мой взгляд уже не выйдет.

[Gafield]

Да, так просто из оценки без параметра вывести, наверно, не получится. Можно еще попробовать рассмотреть интегральное представление решения $u=\int_{\partial Q} K(x,y) g(y,t)\,dy$, где $K(x,y)$ - соответсвующее интегральное ядро задачи. Напр., для задачи Дирихле в шаре это ядро Пуасссона. Видно, что гладкость решения по $t$ должна повторять гладкость $g$.

[nckg]

Из интегрального представления можно вытащить что-то похожее на принцип максимума:

$$\|u\|_{0,\Omega} \leqslant C \|g\|_{0,\partial \Omega}$$

UPD: Отсюда как раз следует что дифф. свойства по параметру $t$ у $u$ такие же, как у $g$.
Но меня-то интересует градиент, а не само решение... и кроме того, если проводить аналогию с задачей Дирихле, то в ней максимум решения оценивается через максимум граничного значения решения, а тут получается что максимум решения оценивается через максимум граничного значения нормальной производной. (ну то есть даже по размерности разные вещи )

[nckg]

вот нашёл любопытную теоремку (вместе с приведённой выше оценкой она бы дала нужный результат), но в ней требуется $u=0$ на границе:


-- Чт июл 30, 2009 20:12:26 --

Gafield, вы кстати не встречали оценки $\|u\|_{1+\alpha}\leqslant \|g\|_\alpha$
Ведь в оценке Шаудера $\|u\|_{2+\alpha}\leqslant \|g\|_{1+\alpha}$...

[Gafield]

Решения задачи Неймана определяются с точностью до константы, поэтому в правой части должно быть еще слагаемое $\|u\|_{0,\Omega}$.
Для меньшей гладкости решения в пространствах Гельдера исследовались давно. В том числе для переменных коэффициентов и нелинейного случая. А для уравнения Лапласа это, возможно, старый результат. Может, ссылки надо смотреть в старых книгах - Ладыженская-Уральцева, Миранда. В случае гладкой области оценки в пространствах Бесова (частным случаем которых являются пространства Гельдера) есть у Трибеля. Так что, если граница из $C^\infty$, этого хватит.

[nckg]

Немного покопавшись в литературе, пришёл к выводу, что искомой оценки вида
$\[\|\nabla u\|_{C(\overline{\Omega})}\leqslant C\|g\|_{C(\partial\Omega)}\]$
не существует.

В книге Гюнтера "Теория потенциала ..." (на стр. 85) приведён пример потенциала $u$ простого слоя с непрерывной плотностью $\mu$ на $\partial \Omega$, для которого $|\nabla u(x)|$ стремится к бесконечности при $x\to \partial\Omega$.
Но поскольку $\mu\in C(\partial\Omega)$, существует непрерывная на $\partial \Omega$ правильная нормальная производная $g=(\partial u/\partial n)|_{\partial\Omega}$, и поэтому $u$ является решением задачи Неймана для уравнения Лапласа с непрерывным граничным условием $g$.