Умножение

[viktorkrug]

Здравствуйте. Не могли бы подсказать (или где почитать) почему при умножении dv на v будет 1/2 d(v*v) или
$mv*dv = dmv^2/2$ у меня получается только $mv*dv = mv*dv*dv/dv = 2mv^2$
Спасибо.

[AD]

Потому что $(x^2)'=2x$

[viktorkrug]

Спасибо, что то не внимательно смотрел.

-- Сб июл 25, 2009 18:03:07 --

Получается $dv^2/2 * dv$ а по как d(v*v), тогда основания нет.

[alex_rodin]

Несколько иначе.
Производная — отношение дифференциалов (малых приращений величин):

$$\frac {d \left ( \frac {mv^2} 2 \right )} {dv} = \left (\frac {mv^2} 2 \right ) ' = m \frac {2v} 2 = mv$$

Отсюда умножением на $dv$ получаем:

$$mv\ dv = d \left (\frac {mv^2} 2 \right )$$

Насчет почитать — рекомендую "Высшую математику для начинающих" Зельдовича.

[viktorkrug]

Спасибо. А не скажите $\Delta v^2 = 2v\Delta v$. В учебнике после этого сразу написано $\Delta(mv^2/2)$
Видимо это расчитали не этим способом.

[alex_rodin]

Это то же самое (отличие в том, что дифференциал по определению бесконечно мал, а для обычного приращения это должно быть оговорено отдельно). Расчитать можно и по-другому:

$$\Delta v^2 = \left (v + \Delta v \right )^2 - v = 2 v \Delta v + \left ( \Delta v \right )^2$$

При $\Delta v \ll v$ можно считать что $v \rightarrow 0$ и $\left (\Delta v \right )^2 = 0$. Именно таким способом и вычислены табличные производные.

[viktorkrug]

Спасибо. Я имел ввиду, что $mv*2v\Delta v$ получается а
дальше $\Delta mv^2/2$ как раз не выводится. Если не сложно напишите пожалуйста, какие действия после первого выражения сделаны.

[alex_rodin]

Достаточно вынести $\frac m 2$ за дельту как константу, чтобы свести выражение к предыдущему случаю:

$$\Delta \left (\frac {mv^2} 2 \right ) = \frac m 2 \Delta \left (v^2 \right )$$

Можно и заново вывести:

$$\Delta \left (\frac {mv^2} 2 \right ) = \frac {m\left(v + \Delta v\right)^2} 2 - \frac {mv^2} 2 = \frac m 2 \left [ \left (v + \Delta v\right)^2 - v^2 \right] = mv \Delta v$$

[AD]

alex_rodin в сообщении #231087 писал(а):

При $\Delta v \ll v$ можно считать что $v \rightarrow 0$ и $\left (\Delta v \right )^2 = 0$.

Только не надо вот такое в математическом разделе писать, ладно? Физики, может, таким "объяснением" и довольны ...

[Профессор Снэйп]

alex_rodin в сообщении #231087 писал(а):

$$\Delta v^2 = \left (v + \Delta v \right )^2 - v = 2 v \Delta v + \left ( \Delta v \right )^2$$

А нет ли здесь опечатки? По моему, должно быть так:

$$\Delta v^2 = \left (v + \Delta v \right )^2 - v^2 = 2 v \Delta v + \left ( \Delta v \right )^2$$

-- Вс июл 26, 2009 11:13:55 --

AD в сообщении #231112 писал(а):

Только не надо вот такое в математическом разделе писать, ладно? Физики, может, таким "объяснением" и довольны ...

Ну, "официально" я, конечно, с этим замечанием согласен... Хотя где-то глубоко внутри себя в данном случае я склонен скорее встать на точку зрения "физиков"

[alex_rodin]

Профессор Снэйп в сообщении #231155 писал(а):

А нет ли здесь опечатки? По моему, должно быть так:

Действительно, опечатка.

За строгостью объяснений буду следить.