Обратное преобразование Лапласа

[shto-delat]

Большая просьба помочь.

Реально ли найти аналитический вид обратного преобразования Лапласа для

$\frac{1}{(Bi-\sqrt{s})^2-exp(2\cdot\sqrt{s})\cdot(Bi+\sqrt{s})^2}$ ?

Численно я нашел, что вроде бы знаменатель обращается в нуль только при $s=0$.
Одна проблема: когда вычисляю вычет, получается неопределенность в знаменателе. Как быть?

[V.V.]

С корнями можно попытаться побороться с помощью теоремы Эфроса.

Если $\varphi(t)\doteqdot \Phi(s)$, то
$\frac{\Phi(\sqrt{s})}{\sqrt{s}}\doteqdot \frac{1}{\sqrt{\pi t}}\int\limits_0^\infty \varphi(\tau)e^{-\tau^2/4t}\,d\tau$.

Хотя в данном случае я не вижу, как это могло бы помочь.

[fiktor]

Вам надо взять такой интеграл.
$\frac1{2\pi i} \int\limits_{\sigma-i \infty}^{\sigma + i \infty}\frac{e^{st}}{(Bi-\sqrt{s})^2-exp(2\cdot\sqrt{s})\cdot(Bi+\sqrt{s})^2} ds$

При этом надо взять такое $\sigma$ чтобы на комплексной плоскости не было особенностей выражения на прямой $Re(s)=\sigma$ и правее нее. Для Вашего выражения это верно, например, при $\sigma>\max(4|B|^2, 4)$.

К сожалению, как Вы правильно заметили, с подсчетом его по вычетам проблемы: выражение не является мероморфным. Для того, чтобы сосчитать выражение по вычетам, надо для начала избавится от корней. Введите новую переменную $u=\sqrt{s}$. При замене переменных внимательно проследите, во что превратится контур интегрирования (прямая от $\sigma-i \infty$ до $\sigma + i \infty$). К сожалению и теперь Вы от проблем не избавились. Дело в том, что у получившегося выражения корней бесконечно много: при больших |u| они приближаются к точкам $u=\pi i k$ (k целое).

В связи с отмеченными трудностями я сомневаюсь, что этот интеграл удасться сосчитать точно , у меня не получилось. Также не получается это у системы Mathematica 7.0, которая должна уметь производить подобные вычисления на уровне хорошего (хотя и не выдающегося) студента МехМата.

Если Вам интересно, можете посмотреть на график, полученный в Mathematica численным интегрированием, для обратного преобразования Лапласа Вашей функции при $B=\pi$.


Вот код, с помощью которого он получен (на моем компьютере оно выполнялось около 5 минут. Так долго, поскольку для каждой точки графика надо было численно сосчитать интеграл)
$\text{Remove}[s,t,\sigma ];B=\pi ;$
$\Phi [\text{s$\_$},\text{t$\_$}]\text{:=}\frac{e^{s t}}{2 \pi i \left(\left(B -i \sqrt{s}\right)^2-\text{Exp}\left[2 \sqrt{s}\right] \left(B+i \sqrt{s}\right)^2\right)};$
$f[\text{t$\_$}?\text{NumberQ}]\text{:=}\text{Module}\left[\{\sigma , z\},\sigma = \text{Max}\left[\text{Abs}[B]^2,4\right];z=\text{NIntegrate}[i \Phi [\sigma +i s,t],\{s,-\infty ,\infty \}];\{\text{Re}[z],\text{Im}[z]\} \right];$
$\text{Plot}[f[t],\{t,0.01,1\}]$

[H14sk]

V.V. в сообщении #227343 писал(а):

С корнями можно попытаться побороться с помощью теоремы Эфроса.
Если $\varphi(t)\doteqdot \Phi(s)$, то
$\frac{\Phi(\sqrt{s})}{\sqrt{s}}\doteqdot \frac{1}{\sqrt{\pi t}}\int\limits_0^\infty \varphi(\tau)e^{-\tau^2/4t}\,d\tau$.

Вообще-то, это только частный случай теоремы Эфроса (если следовать М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат "Методы теории функций комплексного переменного")

[V.V.]

H14sk, я в курсе.