Вам надо взять такой интеграл.

При этом надо взять такое

чтобы на комплексной плоскости не было особенностей выражения на прямой

и правее нее. Для Вашего выражения это верно, например, при

.
К сожалению, как Вы правильно заметили, с подсчетом его по вычетам проблемы: выражение не является мероморфным. Для того, чтобы сосчитать выражение по вычетам, надо для начала избавится от корней. Введите новую переменную

. При замене переменных внимательно проследите, во что превратится контур интегрирования (прямая от

до

). К сожалению и теперь Вы от проблем не избавились. Дело в том, что у получившегося выражения корней бесконечно много: при больших |u| они приближаются к точкам

(k целое).
В связи с отмеченными трудностями я сомневаюсь, что этот интеграл удасться сосчитать точно

, у меня не получилось. Также не получается это у системы Mathematica 7.0, которая должна уметь производить подобные вычисления на уровне хорошего (хотя и не выдающегося) студента МехМата.
Если Вам интересно, можете посмотреть на график, полученный в Mathematica численным интегрированием, для обратного преобразования Лапласа Вашей функции при

.

Вот код, с помощью которого он получен (на моем компьютере оно выполнялось около 5 минут. Так долго, поскольку для каждой точки графика надо было численно сосчитать интеграл)
![$\text{Remove}[s,t,\sigma ];B=\pi ;$ $\text{Remove}[s,t,\sigma ];B=\pi ;$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/8/908fe96f6c5fa0b3c212d8171f4fdd4182.png)
![$\Phi [\text{s$\_$},\text{t$\_$}]\text{:=}\frac{e^{s t}}{2 \pi i \left(\left(B -i \sqrt{s}\right)^2-\text{Exp}\left[2 \sqrt{s}\right] \left(B+i \sqrt{s}\right)^2\right)};$ $\Phi [\text{s$\_$},\text{t$\_$}]\text{:=}\frac{e^{s t}}{2 \pi i \left(\left(B -i \sqrt{s}\right)^2-\text{Exp}\left[2 \sqrt{s}\right] \left(B+i \sqrt{s}\right)^2\right)};$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/d/0fd465d48826354c92888eaa4e8f65ca82.png)
![$f[\text{t$\_$}?\text{NumberQ}]\text{:=}\text{Module}\left[\{\sigma , z\},\sigma = \text{Max}\left[\text{Abs}[B]^2,4\right];z=\text{NIntegrate}[i \Phi [\sigma +i s,t],\{s,-\infty ,\infty \}];\{\text{Re}[z],\text{Im}[z]\} \right];$ $f[\text{t$\_$}?\text{NumberQ}]\text{:=}\text{Module}\left[\{\sigma , z\},\sigma = \text{Max}\left[\text{Abs}[B]^2,4\right];z=\text{NIntegrate}[i \Phi [\sigma +i s,t],\{s,-\infty ,\infty \}];\{\text{Re}[z],\text{Im}[z]\} \right];$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/1/e91bf9b6bc35ce13b55134d95bb8404482.png)
![$\text{Plot}[f[t],\{t,0.01,1\}]$ $\text{Plot}[f[t],\{t,0.01,1\}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/6/5f680961421bef88be63426ea5633b3682.png)