О высшей математике в ВУЗе

[bubu gaga]

У нас в университете есть один такой курс (правда исключительно для Ph.D. студентов), где в описании целей курса так и стоит: "научить студентов понимать, что написано в Journal of Finance".

[ewert]

PAV в сообщении #230332 писал(а):

Но проблема в том, что преподавание математики прикладникам зачастую превращается для них как раз в зубрежку совершенно непонятных им и не имеющих приложений определений и доказательств, что наносит непоправимый ущерб.

Проблема действительно есть. Но она носит объективный характер. И уж во всяком случае

PAV в сообщении #230332 писал(а):

Честное поведение математика-преподавателя заключалось бы в том, чтобы взять книги или статьи по практической тематике, где бы использовались какие-то математические методы, и объяснение студентам в первую очередь тех математических понятий, которые нужны, чтобы суметь понимать формулировки этих методов и область их применения.

-- я бы такое поведение честным не назвал. Если понимать это буквально, то Вы предлагаете изучать только те технические средства, которые "встречаются в книжках". Ни к чему хорошему это, естественно, не приведёт. А как понять это иначе -- я не знаю.

PAV в сообщении #230332 писал(а):

Понятие предела, с которого началось обсуждение, находится на грани тех сугубо теоретических инструментов, без которых замечательно можно обойтись. Ну для чего прикладнику может реально понадобиться брать самому какой-то сложный предел или вообще иметь с ним дело?

Прикладнику реально нужно находить асимптотики. Хуже того: он должен сознавать, что ему нужна именно асимптотика. А без понимания того, что такое предел, это невозможно -- даже на уровне зазубривания технических приёмов.

PAV в сообщении #230332 писал(а):

при слове "интеграл" или при взгляде на интеграл студент представлял себе не абстрактный "предел интегральных сумм", а площадь;

И вновь пример -- совершенно не в ту сторону. Представление об интеграле как о "площади" -- вредно. А необходимо понимание того, что это именно "сумма бесконечно большого числа бесконечно маленьких слагаемых", причём совершенно не важно, какого типа. Уровень строгости при этом, действительно, не очень принципиален.

[worm2]

ewert писал(а):

worm2 в сообщении #229527 писал(а):

С другой стороны, вот у нас на 1-м курсе студентам (геофизикам) говорят, что 2-10 человек с их потока имеют вполне реальные шансы продолжить своё обучение за рубежом с выходом на высокооплачиваемую работу

эт что, так открытым текстом и говорят -- мол, валите за бугор, а тут у вас никаких перспектив и нету, как бы ни учились и чего бы из себя не представляли?...

Ну, не совсем так Я в том сообщении немножко неправильный акцент сделал на деньги. Чисто денежные перспективы есть даже у тех, кто остаётся в Башкирии. Просто работа в зарубежной компании может иметь и неденежные плюсы: знакомство с зарубежным образованием (и вообще с иной культурой), перспектива профессионального роста (Вы будете смеяться, но зарубежная геофизика существенно отличается от отечественной), возможность посмотреть мир. Кого-то не слишком амбициозного может вполне устроить и работа в России. Везде работодатели (нефтяники и геофизики) заинтересованы в квалифицированных специалистах, но количество привлекательных рабочих мест ограничено [банальность сказал].

[PAV]

ewert в сообщении #230343 писал(а):

PAV в сообщении #230332 писал(а):

Честное поведение математика-преподавателя заключалось бы в том, чтобы взять книги или статьи по практической тематике, где бы использовались какие-то математические методы, и объяснение студентам в первую очередь тех математических понятий, которые нужны, чтобы суметь понимать формулировки этих методов и область их применения.

-- я бы такое поведение честным не назвал. Если понимать это буквально, то Вы предлагаете изучать только те технические средства, которые "встречаются в книжках". Ни к чему хорошему это, естественно, не приведёт. А как понять это иначе -- я не знаю.

Не знаю, нарочно или случайно Вы существенно искажаете смысл слов собеседника. Обратите внимание на выделенные мной слова в моей цитате и в Вашей интерпретации - разница значительная. Если бы наши ресурсы в виде количества учебных часов и физических возможностей студентов были бы неограниченными, то ради бога, можно учить их чему угодно. А так это вопрос приоритетов. То, о чем я писал - это реально используемые математические понятия в реальных ситуациях. То, что это имеет приоритет над остальным - по-моему, очевидно. Прочее - насколько хватит возможностей.

ewert в сообщении #230343 писал(а):

Прикладнику реально нужно находить асимптотики. Хуже того: он должен сознавать, что ему нужна именно асимптотика. А без понимания того, что такое предел, это невозможно -- даже на уровне зазубривания технических приёмов.

Может быть, в технических областях, с которыми я не сталкивался, это и так. Но если бы это утверждение снабдить хотя бы небольшим примером реальной практической задачи, то оно было бы еще убедительнее.

Я не спорю, что понимание того, что такое предел, наверное где-то полезно (хотя и не везде). Но я утверждаю, что это понятие не следует изначально давать так, как дают математикам - через формальные определения. Такой способ обучения понимания не привнесет.

[ewert]

PAV в сообщении #230366 писал(а):

То, о чем я писал - это реально используемые математические понятия в реальных ситуациях. То, что это имеет приоритет над остальным - по-моему, очевидно. Прочее - насколько хватит возможностей.

У математики -- своя внутренняя логика, игнорировать которую невозможно. Даже если бы те же пределы и не были бы практически нужны -- без них не обойтись хотя бы при определении производных. Иначе получается как сейчас в школе: дети добросовестно заучивают таблицу производных, но что такое производная и зачем она нужна -- не имеют ни малейшего представления. Опытный факт.

PAV в сообщении #230366 писал(а):

Может быть, в технических областях, с которыми я не сталкивался, это и так. Но если бы это утверждение снабдить хотя бы небольшим примером реальной практической задачи, то оно было бы еще убедительнее.

Вот так прямо и сходу?... Ну хорошо (уж не знаю, насколько это практично): в Ваших технических областях приходилось иметь дело с несобственными интегралами? Если приходилось, то основной вопрос, который при этом возникает -- вопрос сходимости. А это -- асимптотики. Ну можно ещё добавить вопросы устойчивости.

PAV в сообщении #230366 писал(а):

Но я утверждаю, что это понятие не следует изначально давать так, как дают математикам - через формальные определения. Такой способ обучения понимания не привнесет.

Если ограничиться только формальностями -- не принесёт. Но и без формальностей тоже ничего не выйдет. Это будет уже не математика, а размахивание руками.
Фактически нужно давать одновременно и формальное определение, и его интерпретацию. Ну так все в общем и поступают.

[AD]

PAV в сообщении #230366 писал(а):

Я не спорю, что понимание того, что такое предел, наверное где-то полезно (хотя и не везде). Но я утверждаю, что это понятие не следует изначально давать так, как дают математикам - через формальные определения. Такой способ обучения понимания не привнесет.

Как-то видел, как кто-то в блоге писал примерно следующее: "Сегодня нам рассказывали про интеграл Римана. Мне понравилось, как профессор вводил его - логически непрошибаемо, не то что некоторые". Ну точно не помню, что там было написано, но вроде ясно, что человек, не сильно математик, проникся безупречностью математического определения.

Не знаю, насколько "этот случай репрезентативен", но всё-таки.

[PAV]

ewert в сообщении #230374 писал(а):

Вот так прямо и сходу?... Ну хорошо (уж не знаю, насколько это практично): в Ваших технических областях приходилось иметь дело с несобственными интегралами? Если приходилось, то основной вопрос, который при этом возникает -- вопрос сходимости.

Нет, это не называется примером прикладной задачи. Так можно обосновать любую абстракцию: "Допустим, у нас откуда-то возник несобственный интеграл, причем такой, который отсутствует в справочниках, зачем-то понадобилось исследовать его сходимость..." Хотелось бы увидеть реальный пример практической задачи, которую реально могло бы понадобиться решить кому-то из студентов, которых Вы учите, и без указанных знаний он бы ее не решил и ему бы не дали квартальную премию.

ewert в сообщении #230374 писал(а):

У математики -- своя внутренняя логика, игнорировать которую невозможно. Даже если бы те же пределы и не были бы практически нужны -- без них не обойтись хотя бы при определении производных. Иначе получается как сейчас в школе: дети добросовестно заучивают таблицу производных, но что такое производная и зачем она нужна -- не имеют ни малейшего представления. Опытный факт.

Не обосновано. Вам (как математику) не обойтись без пределов для определения производных, потому что иначе, чем через формальное определение через предел, Вы с производной не работаете. Но почему прикладник обязан идти этим же путем - совершенно не очевидно. Я считаю, что если для начала объяснять понятие производной геометрически, то студентам оно будет даваться легче.

ewert в сообщении #230374 писал(а):

Фактически нужно давать одновременно и формальное определение, и его интерпретацию. Ну так все в общем и поступают.

Ну да, и не поэтому ли среди студентов достаточно общепринято мнение о математике как о чем-то непонятном и никому не нужном?

ewert в сообщении #230343 писал(а):

И вновь пример -- совершенно не в ту сторону. Представление об интеграле как о "площади" -- вредно. А необходимо понимание того, что это именно "сумма бесконечно большого числа бесконечно маленьких слагаемых", причём совершенно не важно, какого типа. Уровень строгости при этом, действительно, не очень принципиален.

Для неспециалиста без предварительной подготовки представить себе адекватно "сумму бесконечно большого числа бесконечно маленьких слагаемых", а также понять, откуда она на практике может возникнуть и как с ней работать - практически невозможно. Я согласен с тем, что такое понимание интеграла действительно нужно (для всякий сверток и интегральных преобразований это вполне адекватный образ), но первое знакомство с интегралом должно быть не таким. Сначала его нужно объяснить именно через площадь области. Почему это "вредно" - не понимаю. Затем объяснить, что площадь области можно считать, покрывая ее небольшими кусочками, делая их размер все меньше, от чего точность вычисления становится все лучше. Это все поймут. Ну и тогда уже можно будет объяснить, что можно себе это мыслить как бесконечный аналог суммы.

[ewert]

PAV в сообщении #230385 писал(а):

Для неспециалиста без предварительной подготовки представить себе адекватно "сумму бесконечно большого числа бесконечно маленьких слагаемых", а также понять, откуда она на практике может возникнуть и как с ней работать - практически невозможно.

Для неспециалиста, но привычного к физике -- это не только возможно, но и естественно, и более того -- иного даже и не представить.

PAV в сообщении #230385 писал(а):

Почему это "вредно" - не понимаю.

Поясню. Потому что на опыте весьма часто встречаются студенты, которые дать хоть сколько-то внятное определение интеграла неспособны. И только когда (после некоторых мучений) они произносят что-то типа "ах ну да, это же площадь!" -- только после этого появляются основания отпустить их с миром (трёхмерным, конечно). Типа: ну хоть что-то он да понимает...

Но! когда после этого тот же студент сталкивается с интегралами криволинейными, или поверхностными, или какими угодно -- его мучения возобновляются. А всё потому, что он не удосужился вникнуть в формально-математический смысл определения. И тут уж ничего с ним не поделаешь.

[PAV]

ewert в сообщении #230399 писал(а):

Поясню. Потому что на опыте весьма часто встречаются студенты, которые дать хоть сколько-то внятное определение интеграла неспособны. И только когда (после некоторых мучений) они произносят что-то типа "ах ну да, это же площадь!" -- только после этого появляются основания отпустить их с миром (трёхмерным, конечно). Типа: ну хоть что-то он да понимает...

"Внятное" с Вашей точки зрения определение - это уже определение для математика. Подавляющему большинству специалистов других профессий (даже тем, кто хоть как-то связывается с интегралами) это определение абсолютно не нужно. Нужно понимание и правильный образ, который определение не дает. Интересно, Вы реально думаете, что студент, который ответил на экзамене определение интеграла, будет в своей профессии лучшим специалистом, чем тот, который не ответил? Хоть кому-то это определение в дальнейшем хоть чем-то помогло? И криволинейные, и поверхностные интегралы тоже вполне можно мыслить себе через подходящие площади или объемы. И я убежден, что такого понимания будет более чем достаточно. А формально-математический смысл определения на деле ничем не помогает.

Хорошо, а можете назвать реально практическую задачу, для которой кому-либо из Ваших студентов понадобится самому взять криволинейный или поверхностный интеграл? Вообще Вы сами знаете хоть одну настоящую практическую задачу, с которой в большой вероятностью реально столкнется кто-нибудь из Ваших студентов, и для которой Вы, собственно, его и учите? Именно настоящую практическую задачу из жизни?

[ewert]

PAV в сообщении #230410 писал(а):

Интересно, Вы реально думаете, что студент, который ответил на экзамене определение интеграла, будет в своей профессии лучшим специалистом, чем тот, который не ответил?

Я реально думаю, что студент, не усвоивший понятия определённого интеграла хоть раз в жизни -- так вполне реально и будет и дальше об это спотыкаться.

PAV в сообщении #230410 писал(а):

Хорошо, а можете назвать реально практическую задачу, для которой кому-либо из Ваших студентов понадобится самому взять криволинейный или поверхностный интеграл? Вообще Вы сами знаете хоть одну настоящую практическую задачу, с которой в большой вероятностью реально столкнется кто-нибудь из Ваших студентов, и для которой Вы, собственно, его и учите? Именно настоящую практическую задачу из жизни?

Обратите внимание: Вы сейчас сказали, что для жизни математические навыки не нужны. Именно так. Ну не нужны -- значит не нужны.

[worm2]

Вот жызненная задача, приводящая к асимптотикам:
Имеется скважина радиусом $r_0$, в которую закачивают жидкость с температурой $T_0$. Будем считать, что закачивают с большим дебитом, так что можно считать, что вся скважина заполнена этой жидкостью с температурой $T_0$ (на границе также поддерживается эта т-ра). Требуется оценить, через какое время на некоторой глубине тепловую аномалию, распространяющуюся от скважины по однородному пласту с температуропроводностью $a$, можно будет засечь термометром на расстоянии от оси скважины $r_1 >> r_0$. Считаем, что естественная температура пород на этой глубине --- $T_1 \ne T_0$, термометром можно засечь изменение температуры $\Delta T << |T_1-T_0|$.
Задача о распределении тепла при таких условиях (нестационарная краевая внешняя) имеет явное решение, получаемое при помощи преобразования Вебера. Если память не изменяет, решение получается примерно таким:

$$T(r,t)=T_0+(T_1-T_0)\int\limits_0^\infty\frac{J_0(pr_0)Y_0(pr)-J_0(pr)Y_0(pr_0)}{p(J_0^2(pr_0)+Y_0^2(pr_0))}(1-e^{-ap^2t})\,dp, $$

$t > 0$, $r > r_0$, где $J_0(\cdot)$, $Y_0(\cdot)$ --- функции Бесселя I-го и II-го рода соответственно.
Итак, задача сводится в асимптотической оценке $T(r,t)$ при фиксированном $r=r_1$ и $t \to \infty$ (хотя, безусловно, интересна асимптотика и при $r\to\infty$). Задачка непростая (непросто даже увидеть, что сам интеграл сходится и что выполняются краевые условия). Пожалуй, нашим (БашГУ) выпускникам (ну, может быть, кроме тех, кто свою жизнь cвязал с асимптотиками) она не по зубам. Есть, правда, в этой задаче обходной путь, не связанный с асимптотиками хитрых интегралов

[PAV]

worm2
вот эта задача, которую Вы привели... она где-то кем-то решена? Ее решение описано в какой-нибудь книге, статье, диссертации?

[conviso]

Знаете, когда был студентом, мне предложили решить задачку о так называемом "тепловом взрыве"- пластмасса при циклических нагрузках начинает сначала плавиться..., ну а потом все остальное... . Без дельта-эпсилон языка, а значит без аппроксимаций смерть! разложение "сложного" на "простое" - это только присказка... поди догадайся, что такое "простое" в твоем случае. А тот же метод И.М.Виноградова в ТЧ.
Мне кажется, что сводить математику в лоб к определениям - это унижать ее красоту! Ведь все эти "приближенные методы" - это как... танец вокруг любимой !
Пока подберешься...Вот этому методу подхода к действительно нерешенной задаче..., хотелось бы научить. В ведь для студента все задачи новые.
Один из старых профессоров рассказывал нам, как студенты в его время по очереди ходили на лекции к одному в те времена очень известному профессору. Скука неимоверная..., он сразу на лекциях старался решать серьезные задачки..., а на следующей лекции говаривал... :все зачеркнуть - это решается вот так! Восторгу нет конца. А вот те, кто выдерживал это напор его мысли стали... еще какими учеными! Но..., это было до революции.
Но, тогда..., как надо знать математику, чтобы вот так ... с колена в цель...
К большему сожалению математику даже сами профи порой недолюбливают... - это не дрова рубить

[worm2]

PAV в сообщении #230434 писал(а):

worm2
вот эта задача, которую Вы привели... она где-то кем-то решена? Ее решение описано в какой-нибудь книге, статье, диссертации?

Задачу и решение я нашёл в Бауманском учебнике по операционному исчислению (нет сейчас под рукой, точнее не могу сказать --- там серия из нескольких учебников по разным областям математики, тёмно-синяя такая).

А вот асимптотика там не приведена --- это не входило в задачи учебника. Всё же, как мне кажется, эту асимптотику можно найти какими-то тонкими, но стандартными методами, т.е. на статью она не тянет. Я с ней поковырялся, вроде бы, нашёл асимптотику при больших $r$, $t$:

$$\frac{\sqrt{\pi at}}{r-r_0}\sqrt{\frac{r_0}{r}}\,(1-e^{-\frac{(r-r_0)^2}{4at}})$$

Но, возможно, наврал
По-хорошему, надо было, конечно, поискать литературу по асимптотикам, какой-нибудь метод перевала посмотреть, но мне это не сильно было нужно.

[мат-ламер]

Вот пример ещё одной жЫзненной ситуации. См. http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=13661. Оказывается в сети есть альтернативные мат. форумы. Я только на днях узнал и там не зарегистрирован. Как кто думает, способен ли рядовой выпусник университета (будь то мехмат или ВМиК), прослушавший курс матстатистики, справится с такой постановкой задачи?