Усиление примера нигде не дифференцируемой функции

[AD]

Как известно, функция

$$F(x)=\sum_{k=1}^\infty2^{-k}\cos8^kx$$

непрерывна, но ни в одной точке $x\in\mathbb{R}$ не имеет производной. Можно ли придумать какой-нибудь другой тригонометрический ряд, у которого сумма тоже была бы непрерывна и нигде не дифференцируема, но при этом почленно продифференцированный ряд сходился бы всюду?
_________________

Я попробовал переложить стандартное доказательство для более слабо убывающих коэффициентов, но пока не получилось. Ясно, что коэффициенты почленно продифференцированного ряда должны стремиться к нулю (теорема Данжуа--Лузина). Если ничего не путаю, высокая наука нам в этих условиях гарантирует существование симметричной чезаровской/аппроксимативной производной почти всюду.

[Инт]

Уточните. Выражение "тригонометрический ряд" означает что этот ряд обязан быть рядом с целыми коэффициентами, или коэффициенты при $x$ могут быть любыми?

[AD]

Тригонометрический ряд есть выражение вида $\sum\limits_{k=1}^\infty\Bigl( a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx)\Bigr)$.
(Все скобки традиционно опускают).
Коэффициенты $a_k$ и $b_k$ действительные.

[Инт]

Из следующих теорем доказывается, что предполагаемого ряда не существует. Доказательства теорем я опускаю, только делаю ссылки, или указываю, как они могут быть доказаны. Надеюсь, что эти доказательства легко воспроизводятся без моего участия.
Обозначения: $\Psi = \sum_{i \in \mathbb{N}} \psi_i$, $\Phi = \sum_{i \in \mathbb{N}} \psi’_i$, $\Psi_N = \sum_{i = 0}^{N} \psi_i$, $\Phi_N = \sum_{i = 0}^{N} \psi’_i$, $f’$ – производная от функции $f$, $\psi_i$ – слагаемые тригонометрического ряда. Множество называется множеством первой категории, если оно есть объединение не более чем счётного множества нигде не плотных множеств.
Теорема (Бэра)1. Пусть $\forall t$ $lim_n f_n(t) = f(t)$, $\left|f(t)\right|$ - конечная величина для каждого $t$, $f_n$ непрерывна всюду. Тогда, множество точек разрыва для $f$ есть множество точек первой категории.
См. К.Иосида. Функциональный анализ, М. 1967, стр.25.
Теорема 2. Существует действительное число $P$ такое, что функции $\Psi$ и $\Phi$ непрерывны в точке $P$.
Теорема 2 вытекает из теоремы 1, так как два дополнения к множествам первой категории всегда пересекаются. Мало того, точек пересечения – континуум.
Теорема 3. $\exists h$ – непрерывная функция, $h(x) \geqslant 0$, $h(0) = 0$, и для любого $\Delta x$, для любого $\epsilon > 0$ существует $M \in \mathbb{N}$ такое, что $\forall N \geqslant M, \in \mathbb{N}$ если $\left|x-P\right| \leqslant \left|\Delta x \right|$, то $\left|\Phi_N(x)-\Phi_N(P)\right| \leqslant h(\Delta x) + \epsilon$.
Следует из того, что $P$ есть точка непрерывности для $\Phi$.
Теорема 4. $lim_{N} \int^{x} \Phi_N dx = lim_{N} \Psi_N = \Psi$ для любого $x$. Т.е. $\forall x$ $\Psi = \int^{x} \Phi_{N} dx + \epsilon_N$, где $\epsilon_N \to 0$, если $N$ неограниченно возрастает.
Эта теорема верна просто по условию задачи.
Теорема 5. $\int^{x} \Phi dx = lim_{N} \int^{x} \Phi_N dx$, где интеграл понимается как интеграл Лебега. Т.е. $\int^{x} \Phi dx = \int^{x} \Phi_N dx + \epsilon’_N$, где $\epsilon’_N \to 0$.
Эта теорема приведена для пояснения и верна фактически по определению интеграла, см. К.Иосида, стр.31. Похоже, что с помощью неё можно получить другое доказательство.
Обозначим также $\Phi_N(x)-\Phi_N(P) = \alpha$. Используя теоремы 1 - 4, доказываем, что предполагаемого ряда не существует.
Доказательство.

$$\left|\frac{\Psi(P + \Delta x) - \Psi(P)}{\Delta x} - \Phi(P)\right| = \left|\frac{\int^{P + \Delta x} \Phi_N dx - \int^{P} \Phi_N dx + \epsilon_N(P + \Delta x) - \epsilon_N(P)}{\Delta x} - \Phi(P)\right| = $$

$$= \left|\frac{(\Phi_N + \alpha) \cdot \Delta x + \epsilon’_N + \epsilon_N(P + \Delta x) - \epsilon_N(P)}{\Delta x} - \Phi_N(P) - \delta_N\right|$$

где $\left|\alpha\right| < \left|h(\Delta x)\right|$, и $\Phi = \Phi_N(P) + \delta_N$, $\delta_N \to 0$, если $N$ стремится к бесконечности. Зададим $\Delta x$ и по нему зададим $\epsilon’_N << \left|\Delta x\right|$, т.е. $\epsilon’_N$ настолько малым (и несколько отличным от упомянутого в теор.5), и $N = N(\Delta x)$ настолько большим, что так же и окажется $\epsilon_N(P+\Delta x) << \left|\Delta x\right|$ и $\epsilon_N(P) << \left|\Delta x\right|$. Тогда:

$$\left|\frac{\Psi(P + \Delta x) - \Psi(P)}{\Delta x} - \Phi(P)\right| \leqslant \left|h(\Delta x)\right| + \frac{\left|\epsilon’_N\right| + \left|\epsilon_N(P+\Delta x)\right| + \left|\epsilon_N(P)\right|}{\Delta x} + \left|\delta_N\right|$$

По выбранным величинам правая часть неравенства стремится к нулю, когда $\Delta x \to 0$. Отсюда получаем, что производная функции $\Psi$ существует хотя бы в точке $P$.

[AD]

Инт в сообщении #230135 писал(а):

Теорема 5. $\int^{x} \Phi dx = lim_{N} \int^{x} \Phi_N dx$, где интеграл понимается как интеграл Лебега.

Вот с этого места по-подробнее. Докажите-ка существование интеграла в левой части равенства. Только лишь из сходимости ряда это не следует, могу привести контрпример.

-- Пн июл 20, 2009 13:37:43 --

Тем не менее, мысль понятна, и это доводится до доказательства. Да, действительно, функция $\Psi$ будет дифференцируема хотя бы в точках непрерывности $\Phi$, которых много по теореме Бэра. Но в том месте надо аккуратнее.

-- Пн июл 20, 2009 13:48:25 --

Вообще чего-то мне здесь не нравится. Еще подумаю.

-- Пн июл 20, 2009 17:32:13 --

Так, Инт меня попутал-таки, пока что нахожусь на стадии распутывания.

Н. Н. Лузин в своей диссертации ''Интеграл и тригонометрический ряд'' писал(а):

Но, как бы ни казалось общим определение интеграла, данное Данжуа, оно не в силах решить этой задачи анализа, так как можно установить существование таких сходящихся тригонометрических рядов, сумма которых не интегрируема в смысле Данжуа ни в каком интервале, как бы мал он ни был [3].

И тем более по Лебегу. И тем более не может быть точек непрерывности (ведь в их окрестности функция ограничена и измерима).
Лихорадочно ищу, куда ссылается "[3]".

-- Пн июл 20, 2009 17:47:06 --

А, ну да, понятно, в комментах как раз и написано, что тут имеется ввиду сходимость лишь почти всюду. И как раз это рассуждение с теоремой Бэра предлагается. То есть понятна ситуация.

-- Пн июл 20, 2009 17:48:58 --

То есть придётся сдаваться, да?

[Инт]

AD в сообщении #230169 писал(а):

Инт в сообщении #230135 писал(а):

Теорема 5. $\int^{x} \Phi dx = lim_{N} \int^{x} \Phi_N dx$, где интеграл понимается как интеграл Лебега.

Вот с этого места по-подробнее. Докажите-ка существование интеграла в левой части равенства. Только лишь из сходимости ряда это не следует, могу привести контрпример.

Вы просто успели быстее меня. Я как раз пришёл на форум исправлять эту ошибку. Теорема 5 может быть верна лишь для "равномерно сходящихся функций". Я сам контрпример привести могу не в смысле отсутствия существования интеграла, а в смысле их неравенства. Но эта теорема не используется. Ошибка в другом: Теорема 1 не гарантирует существования производной. Нет явно, у меня не всё продуманно. Время хорошо подумать было совсем мало. Сдаваться смысла нет: В конце концов это Ваша задача, а не моя.

Заключение такое. Если предполагаемый ряд существует, то он запрятан где-то далеко среди неравномерно сходящихся рядов. Способы неравномерной сходимости может быть стоит исследовать.

[AD]

Нет-нет, мне уже всё понятно. Во всяком случае, становится понятным, если применить там всякие теоремы восстановления.

Ну то есть примерно так: поскольку ряд всюду сходится, то его сумма заведомо интегрируема каким-нибудь-там $P^2$-интегралом*, и благодаря этому в окрестности точки непрерывности можно провести те же оценочки.

А контрпример такой, скажем, зацените: $f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}$. Ряд сходится всюду, но после почленного интегрирования начинает расходиться в нуле.
_________________
* Зигмунд, "Тригонометрические ряды", том 2, он там называется "$M^2$-интеграл"

[Инт]

Т.е. приведённый вами ряд не удовлетворяет условию задачи. Так как по условию почленное интегрирование должно дать всюду сходящийся ряд. Поэтому не ясно это контрпример к чему?

[AD]

Контрпример к пункту 5. Согласен, к задаче он отношения не имеет, но, наверное, нетрудно построить и пример, имеющий отношение к задаче (то есть чтобы после почленного интегрирования было что-то, скажем, непрерывное, но не VB).

Кстати, я не требовал, чтобы проинтегрированный ряд сходился всюду. Я требовал только, чтобы его сумма была непрерывной.

[Инт]

Поскольку сумма ряда непрерывна это и подразумевает, что он сходится всюду. Именно такую задачу я решал. Делаем последний шаг. Т.е., достаточно удивительно, но всё же можно доказать, что множество точек $P$, для которых верна теорема 3 и 4 не пусто. Мало того, оказывается, что таких точек в некотором смысле большинство. В самом деле:

Пусть, $k(n)$ – строго возрастающая функция от натурального аргумента со значениями в натуральном же ряду такая, что $lim_{n} \frac{n}{k(n)} = 0$.

Определение А. Точка $t$ является точкой первого рода, если существует $\epsilon > 0$ и неограниченная функция номеров $n = n(\tau)$, такая, что $n$ устремляется к бесконечности, когда $\tau \to t$, и для каждого $t’ < t$ существует $t’’$, так что $t’ < t’’ < t$ и $\left|\Phi_{n(t’)}(t’’) - \Phi_{k(n(t’))}(t’’)\right| > \epsilon$, или для этого же $\epsilon$, для каждого $s’ > t$ существует $s’’$ такой, что $s’ > s’’ > t$, и $\left|\Phi_{n(s’)}(s’’) - \Phi_{k(n(s’))}(s’’)\right| > \epsilon$. Остальные точки являются точками второго рода.

Определение Б (множества $G(\epsilon, n)$). $t \in G(\epsilon, n) \Leftrightarrow t = \iota(\left|\Phi_{n}(t) - \Phi_{k(n)}(t)\right| > \epsilon)$, где $\iota$ означает «такой что …».

Теорема $\frac{5}{2}$. Множество точек первого рода есть множество первой категории.

Доказательство. Для $\epsilon = \frac{1}{m}$ если для $t$ оказывается, что $\left|\Phi_{n}(t) - \Phi_{k(n)}(t)\right| > \epsilon$, то, из-за непрерывности функций $\Phi_{n}$, такое же неравенство верно и в некоторой окрестности точки $t$. Следовательно, множество $G(\frac{1}{m}, N)$ можно составить из объединения непересекающихся открытых интервалов. Замыкания этих открытых непересекающихся интервалов пусть составляют множество $G’(\frac{1}{m}, N)$. Тогда, если увеличивать $N$, то невозможно указать такое множество отрезков $\Delta_{N(l)} \in G’(\frac{1}{m}, N(l))$ для которого бы оказалось, что $\Delta_{N(l)} \subseteq \Delta_{N(l+1)}$, где $N(l) < N(l+1)$. Множество $S(m)$ предельных точек множества $\bigcup\limits_{N}G(\frac{1}{m}, N)$, не совпадающих с точками лежащими на пересечении какой-либо последовательности вложенных друг в друга отрезков $\Delta_{N(l)} \in G’(\frac{1}{m}, N(l))$, есть множество первой категории, с одной стороны. И с другой стороны, каждая такого рода предельная точка из $S(m)$ является точкой первого рода. Объединение множеств $S(m)$ как множеств первой категории есть множество первой категории. Кроме того, заметим, что $S(m) \subseteq S(m+1)$. Ч.т.д.

Так как точки второго рода образуют дополнение к множеству точек первого рода. То множество точек второго рода имеет непустое пересечение с множеством точек непрерывности функции $\Phi$. Пусть $P$ – точка такого пересечения. Тогда для $P$ верна теорема 3 и 4. Следовательно, как уже указывалось, в этой точке существует производная функции $\Psi$. Задача решена.

Замечание 1. Доказательство Иосиды в упомянутой книге неправильно. Т.е. теорема Бэра верна, а доказательство содержит ошибку. Дело в том, что Иосида опирается на то, что точечное множество, на котором предельная функция $\Phi$ отличается от функции последовательности $\Phi_N$ на малый эпсилон, может быть составлено из открытых интервалов. А это ниоткуда не следует. Вернее, это можно доказать, но у Иосиды не доказано. Поэтому, мне пришлось передоказать теорему 1, перепроверить. Новое доказательство не привожу, предоставляю читателю как упражнение.

Замечание 2. Существенно, то что какой ряд тригонометрический или иной не существенно.

Замечание 3. Возможно даже, что и теорема 5 в условиях задачи верна. Поскольку, производная совпадает на всюду плотном множестве точек с конкретной функцией. Но это, конечно только гипотеза. Отмечу ещё раз, что теорема 5 никак не использовалась.

Жду возражений, если имеются.

[AD]

Инт в сообщении #230497 писал(а):

Поскольку сумма ряда непрерывна это и подразумевает, что он сходится всюду.

Не подразумевает. Ряды Фурье непрерывных функций могут расходиться в отдельно взятых точках. Доказать или сами?

-- Ср июл 22, 2009 09:13:12 --

Инт в сообщении #230497 писал(а):

Доказательство Иосиды в упомянутой книге неправильно. Т.е. теорема Бэра верна, а доказательство содержит ошибку. Дело в том, что Иосида опирается на то, что точечное множество, на котором предельная функция $\Phi$ отличается от функции последовательности $\Phi_N$ на малый эпсилон, может быть составлено из открытых интервалов. А это ниоткуда не следует. Вернее, это можно доказать, но у Иосиды не доказано.

Это было что? Там вообще никаких интервалов нету, там всё на абстрактном топологическом пространстве доказывается. Уточняйте, где ошибка.

[Инт]

AD в сообщении #230498 писал(а):

Инт в сообщении #230497 писал(а):

Поскольку сумма ряда непрерывна это и подразумевает, что он сходится всюду.

Не подразумевает. Ряды Фурье непрерывных функций могут расходиться в отдельно взятых точках. Доказать или сами?

Это как так? Вы писали не о ряде непрерывной функции, а что сам ряд непрерывен. Напоминаю:

AD в сообщении #227438 писал(а):

Можно ли придумать какой-нибудь другой тригонометрический ряд, у которого сумма тоже была бы непрерывна и нигде не дифференцируема, но при этом почленно продифференцированный ряд сходился бы всюду?

По второму вопросу, на стр. 25 читайте доказательство Иосиды теоремы Бэра. Замените в нём "общее топологическое пространство" на действительную прямую. Вот и всё. Иными словами, множества $P_{m}^{i}$ почему не пусты?

-- Ср июл 22, 2009 10:05:52 --

Кстати, даже если изменить условие о непрерывности ряда. То решение всё равно проходит.

[AD]

Инт в сообщении #230504 писал(а):

Это как так? Вы писали не о ряде непрерывной функции, а что сам ряд непрерывен. Напоминаю:

Да-да-да, сам сказал свою любимую глупость. Впрочем, мне достаточно, чтобы это был ряд Фурье непрерывной функции. Правда, что такое "непрерывный ряд" - тоже история умалчивает (знаю только одно разумное толкование этого словосочетания: "интеграл")

Инт в сообщении #230497 писал(а):

то множество точек $P$, для которых верна теорема 4 не пусто

Но в теореме 4 нет никакой точки $P$! И вообще она верна для всех точек.

-- Чт июл 23, 2009 08:43:14 --

Инт в сообщении #230504 писал(а):

Иными словами, множества $P_{m}^{i}$ почему не пусты?

А где это используется? Ясно, скажем, что среди них есть хотя бы одно непустое, потому что хотя бы одно из $F_m^i$ содержит шарик (по предыдущей теореме Бэра)

-- Чт июл 23, 2009 08:47:58 --

Инт в сообщении #230497 писал(а):

невозможно указать такое множество отрезков $\Delta_{N(l)} \in G’(\frac{1}{m}, N(l))$

Инт в сообщении #230497 писал(а):

Множество $S(m)$ предельных точек множества $\bigcup\limits_{N}G(\frac{1}{m}, N)$, не совпадающих с точками лежащими на пересечении какой-либо последовательности вложенных друг в друга отрезков $\Delta_{N(l)} \in G’(\frac{1}{m}, N(l))$

тех самых, которых невозможно указать??

-- Чт июл 23, 2009 09:18:23 --

И вообще, множество $G'$, насколько я понял, состоит из точек, а не из отрезков. Может, всё-таки, "$\subset$"?

[Инт]

AD в сообщении #230716 писал(а):

Инт в сообщении #230504 писал(а):

Иными словами, множества $P_{m}^{i}$ почему не пусты?

А где это используется? Ясно, скажем, что среди них есть хотя бы одно непустое, потому что хотя бы одно из $F_m^i$ содержит шарик (по предыдущей теореме Бэра)

Не ясно о какой преддущей теореме говорите. В предыдущей теореме говориться. что дополнение к множеству первой категории всюду плотно. Она не имеет отношения к делу. Множество $P_{m}^{i}$ это внутренность того множества точек, на котором функция-элемент последовательности отличается от предельной функции не более чем на эпсилон. Ниоткуда не следует, что предельная функция не будет страншно разрывной так, что то множество точек области определения, которые "попадут в эпсилон-окрестность" предельной функции(если судить это попадание по значению функции в соответствующей точке области определения) будет вообще иметь внутренность, т.е. ниоткуда не следует, что в множество точек "попавших в окрестность" можно погрузить хотя бы один открытый интервал. Именно это никак не доказывается.

-- Чт июл 23, 2009 16:41:30 --

AD в сообщении #230716 писал(а):

Инт в сообщении #230497 писал(а):

невозможно указать такое множество отрезков $\Delta_{N(l)} \in G’(\frac{1}{m}, N(l))$

Инт в сообщении #230497 писал(а):

Множество $S(m)$ предельных точек множества $\bigcup\limits_{N}G(\frac{1}{m}, N)$, не совпадающих с точками лежащими на пересечении какой-либо последовательности вложенных друг в друга отрезков $\Delta_{N(l)} \in G’(\frac{1}{m}, N(l))$

тех самых, которых невозможно указать??

Ну да именно так, как ни странно. Такой оборот речи ничему не противоречит. Доказательство, конечно, приведено с некоторой степенью беглости. Думаю над ним и до сих пор. Вроде пока всё правильно. Вообщем так: если бы такая последовательность вложенных отрезков существовала, то тогда было бы нарушено условие задачи, т.е., что к предельной функции стремятся частичные суммы ряда именно в точке, лежащей на пересечении отрезков последовательности. Последовательность вложенных отрезков можно как-нибудь продолжить, уже не требуя. чтобы это были отрезки, где две функции различаются более чем на эпсилон. При любом таком продолжении точки второго рода не будут лежать на пересечении какой-либо вложенной последовательности отрезков. Будут составлять множество первой категории.

AD в сообщении #230716 писал(а):

И вообще, множество $G'$, насколько я понял, состоит из точек, а не из отрезков. Может, всё-таки, "$\subset$"?

$G'$ состоит из отрезков. Это множество $G$ точечное и имеет внутренность. Помещаем тогда в эту внутренность какой либо открытый интервал и расширяем его непрерывно до тех пор, пока это возможно. Как только найдём максимальный интервал, полученный расширением из первоначально помещённого, так сразу же замыкание расширенного интервала, т.е. некоторый отрезок помещаем в множество интервалов $G'$. Затем берём второй интервал, не пересекающийся с первым, и если это возможно погружаем его в $G$ как точечное в точечное множество, если это возможно, и так же расширяем. И т.д. такое можно сделать бесконечное количество раз. Впрочем, не обязательно расширять интервалы до максимального. Отсюда и составится какое-нибудь множество отрезков $G'$.

-- Чт июл 23, 2009 16:57:35 --

AD в сообщении #230716 писал(а):

Инт в сообщении #230497 писал(а):

то множество точек $P$, для которых верна теорема 4 не пусто

Но в теореме 4 нет никакой точки $P$! И вообще она верна для всех точек.

Нет теорема 3(исправлено, было 4) не верна для всех точек. Это я отмечал как недостаток, ошибку моих первоначальных аргументов. Но если точка $P$ есть точка непрерывности и не является точкой певого рода, то для неё теорема 4 верна (про это я упоминал). Такая точка непрерывности найдётся по теоремам 1 и $\frac{5}{2}$. Так как точки непрерывности образуют дополнение к некоторому множеству первой категории (по теор.1), и точки второго рода, т.е. точки при приближении к которым разность между $\Phi_{n}$ и $\Phi_{k(N)}$ уменьшается неограниченно в уменьшающейся окрестности точки, так же образуют множество, которое есть дополнение к некоторому множеству первой категории (состоящему из точек первого рода, у которых указанная разность не уменьшается). Дополнения к двум множествам первой категории всегда пересекаются. И для точек пересечения только и будет верна теорема 3 (исправлено, было 4), т.е. когда $x = P$.

[AD]

Инт в сообщении #230782 писал(а):

Не ясно о какой преддущей теореме говорите. В предыдущей теореме говориться. что дополнение к множеству первой категории всюду плотно.

Да-да, вот об этой. Объединение $F_m$ есть всё $X$, и они замкнуты, значит, хотя бы одно (а значит и все следующие) не может быть нигде не плотным. Только Вы так и не ответили, зачем это доказывать отдельно.

Инт в сообщении #230782 писал(а):

Нет теорема 4 не верна для всех точек.

Перечитайте теорему 4.

-- Чт июл 23, 2009 17:46:12 --

Вообще правда тут условия на $X$ более слабые, и предыдущая теорема не всегда применима, но всё равно не понятно, зачем это отдельно доказывать.