2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Три вопроса по алгебре (теория групп)
Сообщение25.04.2009, 12:14 
Аватара пользователя


30/09/08
99
москва
Изучаю общую алгебру, в частности теорию групп, за неимением достаточных навыков/знаний возникло три вопроса "Существует ли"
1) конечная группа в которой порядок каждого элемента меньше порядка группы
2) бесконечная группа в которой порядок каждого элемента конечен
3) бесконечная группа $G: \exists a\in G,\exists k>0: g\in G,g\neq 1 => g^k=a$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.04.2009, 13:25 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Ответ на все три вопроса один: да.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.04.2009, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Просто возьмите прямую сумму нескольких копий $\mathbb Z_2$ (для 1 хватит двух копий, для 2 и 3 берите счётное число).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2009, 08:39 
Аватара пользователя


30/09/08
99
москва
А думал битовые строчки ксорить умею.. спасибо :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вопроса по алгебре
Сообщение18.07.2009, 12:42 
Аватара пользователя


30/09/08
99
москва
По следам т. Лагранжа. Появился в некотором смысле чуть более общий вопрос:
Дано поле нулевой характеристики. Фиксировано некоторое его собственное подполе P вместе с некоторым элементом \pi трансцендентным над P. Всегда ли можно указать расширение P не содержащее \pi, но относительно которого \pi алгебраичный? А для P=\mathbb Q?

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вопроса по алгебре
Сообщение18.07.2009, 13:24 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
$P(\pi^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вопроса по алгебре
Сообщение18.07.2009, 14:04 
Аватара пользователя


30/09/08
99
москва
Это ясно, что можно расширять по полиному в \pi, мне вот что интересно, почему в случае трансцендентности \pi над P указанное расширение точно не будет содержать \pi? Расширение обязано содержать все значения полиномов над P при x=\pi^2, с другой стороны элементы обратные к ним очевидно полиномами не описываются, для этого очевидно требуется наличие аннулирующего многочлена для указанного трансцендентного элемента. Значит в расширении будет "что-то еще", как гарантировать отсутствие \pi?
--
похоже, сам на свой вопрос и ответил - расширение исчерпывается значениями полиномов из P[x] в \pi^2 и обратными элементами к ним (вместе с произведениями между ними), если обратный элемент к некоторому значению полинома равен \pi, то отсюда и следует алгебраичность \pi над P.. я прав? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вопроса по алгебре
Сообщение18.07.2009, 14:18 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Если $\pi \in P(\pi^2)$, то $\pi = \frac{f(\pi^2)}{g(\pi^2)}$, где $f$ и $g$ некоторые многочлены с коэффициентами из $P$. Тогда $\pi g(\pi^2) = f(\pi^2)$ и значит $\pi$ алгебраичен на $P$, как корень многочлена $x g(x^2) - f(x^2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вопроса по алгебре
Сообщение18.07.2009, 14:23 
Аватара пользователя


30/09/08
99
москва
мда.. только xg(x^2)-f(x^2). спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вопроса по алгебре
Сообщение18.07.2009, 15:10 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Да, конечно. Исправил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group