Три вопроса по алгебре (теория групп)

[xaxa3217]

Изучаю общую алгебру, в частности теорию групп, за неимением достаточных навыков/знаний возникло три вопроса "Существует ли"
1) конечная группа в которой порядок каждого элемента меньше порядка группы
2) бесконечная группа в которой порядок каждого элемента конечен
3) бесконечная группа $G: \exists a\in G,\exists k>0: g\in G,g\neq 1 => g^k=a$

[neo66]

Ответ на все три вопроса один: да.

[RIP]

Просто возьмите прямую сумму нескольких копий $\mathbb Z_2$ (для 1 хватит двух копий, для 2 и 3 берите счётное число).

[xaxa3217]

А думал битовые строчки ксорить умею.. спасибо

[xaxa3217]

По следам т. Лагранжа. Появился в некотором смысле чуть более общий вопрос:
Дано поле нулевой характеристики. Фиксировано некоторое его собственное подполе P вместе с некоторым элементом \pi трансцендентным над P. Всегда ли можно указать расширение P не содержащее \pi, но относительно которого \pi алгебраичный? А для P=\mathbb Q?

[AV_77]

$P(\pi^2)$

[xaxa3217]

Это ясно, что можно расширять по полиному в \pi, мне вот что интересно, почему в случае трансцендентности \pi над P указанное расширение точно не будет содержать \pi? Расширение обязано содержать все значения полиномов над P при x=\pi^2, с другой стороны элементы обратные к ним очевидно полиномами не описываются, для этого очевидно требуется наличие аннулирующего многочлена для указанного трансцендентного элемента. Значит в расширении будет "что-то еще", как гарантировать отсутствие \pi?
--
похоже, сам на свой вопрос и ответил - расширение исчерпывается значениями полиномов из P[x] в \pi^2 и обратными элементами к ним (вместе с произведениями между ними), если обратный элемент к некоторому значению полинома равен \pi, то отсюда и следует алгебраичность \pi над P.. я прав?

[AV_77]

Если $\pi \in P(\pi^2)$, то $\pi = \frac{f(\pi^2)}{g(\pi^2)}$, где $f$ и $g$ некоторые многочлены с коэффициентами из $P$. Тогда $\pi g(\pi^2) = f(\pi^2)$ и значит $\pi$ алгебраичен на $P$, как корень многочлена $x g(x^2) - f(x^2)$.

[xaxa3217]

мда.. только xg(x^2)-f(x^2). спасибо.

[AV_77]

Да, конечно. Исправил.