очевидность понятия "равно".

[conviso]

.

Цитата:

Она никогда и в принципе никогда решена быть не сможет -- в принципе никогда

.
Это крик души похож на призыв создать новую религию
Ведь мы все прекрасно знаем, как делаются открытия!
[quote]Математическое изложение аксиом физики - шестая проблема Гильберта. Не решена./quote]
Меня смущает то, что профессионалы, похоже, достаточно высокого уровня так часто переводят речь в режим личностных недопониманий. Если очевидные дефекты воспитания опустить, то остается, как мне представляется некое систематическое, простите, додалбливание одних и тех же принципиальных проблем.
Прежде всего, это отсутствие критерия "действительно бинарного" различения суждений. Все рассуждения так или иначе обрастают некими систематическими "непонятками", как сегодня нас учит речевая норма , от которых спасение ищется в дополнительном прищуривании.
Главное же, в таком виде деятельности - это, простите, религиозная вера, с одной стороны, в "никогда в принципе...", а с другой, столь же определенная вера во "всегда в принципе...".
Второй вид "веры" - это двигатель науки.
Первый же - может рассматриваться как реальная оценка возможностей сегодняшнего "математического языка". Надо ли приводить примеры...?
Теперь вопрос о "достоверности", "истине", "существовании" и прочих словах, без которых вся жизнь в математике давно прекратилась бы. Именно через эти "понятия" связывается дело профи Здесь с делами тех, кто, простите, кормит тех же самых профи от математики. Не было бы достоверного сопряжения слов, не было бы хлеба... у профи!
Тогда, "шестую проблему...", пожалуй есть смысл..., следует перевести на некий новый язык..., а может быть его еще и обнаружить надо прежде...?
Ведь, по сути..., никто из математиков головой не заложится..., что те же "бесконечности", столь необходимые для решения матзадач нельзя свести к тому же Delta - Epsilon языку... Если, конечно же под "физикой" у Гильберта и "физикой" у нас сегодня понимаются "одни и те же" "дела". Но здесь, позволю себе заметить, никакие божественные "аксиомы" типа аристотелевских историзмов не прояснят дело. Физика живет сравнением, сопоставлением явлений и как только соскальзывает в "абсолюты...", начинаются проблемы уже и в "железе". Но все эти случаи инфицируются матаппаратом, а точнее, той доисторической философией, которая нам пришла издревле.
Сомневаюсь, что вот так сразу и появится Новый Язык в "математике". А вот в той же физике он уже прорастает. Помните? - "плохая философия губит хорошую физику...", не то ли самое сегодня и для математики...?

[epros]

AGu в сообщении #229490 писал(а):

Продолжаете играть в загадки?

Нет, готов изложить все отгадки.

AGu в сообщении #229490 писал(а):

На данный момент у меня создается впечатление, что в термин «модель» Вы вкладываете ничтожно мало.

Абсолютно верное впечатление. Вы в очередной раз подтверждаете свои телепатические способности.

AGu в сообщении #229490 писал(а):

Вас, как я понимаю, не волнует истинность формул в «модели».

Ну, я так прямо и сказал.

AGu в сообщении #229490 писал(а):

И мне кажется, что понятие модели Вам просто не нужно.

Вам правильно кажется. Просто я пытался говорить на понятном Вам языке. Меня вместо "модели" вполне устроит алгоритм, который генерирует объекты теории. Или, правильнее будет сказать, алгоритм, который для каждой предъявленной ему строки даёт ответ, является ли она объектом теории.

AGu в сообщении #229490 писал(а):

Вам вполне достаточно говорить о доказуемости, причем только в арифметике или чем-то подобном.

Мне будет достаточно говорить о доказуемости, потому что теологического понятия "истинность" я не понимаю. Но это не значит, что "только в арифметике или чем-то подобном". Теории могут быть самыми разнообразными. И даже не обязательно формализуемые именно в языке исчисления предикатов.

AGu в сообщении #229490 писал(а):

Вы зачем-то ограничиваете себя, и делаете это сознательно и безжалостно (к себе). И любая попытка выйти за рамки очерчернного (Вами же) вокруг Вас круга вызывает у Вас недоумение или непонимание. Не обижайтесь, но именно такой вывод я делаю, читая Ваши сообщения. И я искренне надеюсь, что этот вывод ошибочен.

Не вижу, на что тут обижаться. Действительно, "любая попытка выйти за рамки", как Вы правильно выразились, вызывает у меня "недоумение или непонимание". Но это не потому, что я себя с мазохистским удовольствием "ограничиваю", а потому что я не нахожу оснований для однозначного понимания того, что находится "за рамками". Я понимаю, что сложилось устойчивое мнение, что вещи, о которых нам говорит теория множеств, "всеми понимаются одинаково". Однако я не вижу, что это действительно так, т.е. что это сложившееся мнение - правильно.

[AGu]

epros в сообщении #229692 писал(а):

Мне будет достаточно говорить о доказуемости, потому что теологического понятия "истинность" я не понимаю. Но это не значит, что "только в арифметике или чем-то подобном". Теории могут быть самыми разнообразными.

Ну так вот же она, дверь на свободу! Вы ведь не отказываетесь говорить о доказуемости в теории множеств ZFC как в самой обычной теории первого порядка? А если так, то добро пожаловать в свободный мир! Я, конечно, понимаю, что Вы, возможно, не верите в непротиворечивость ZFC, ну так переступите через себя, притворитесь, что она непротиворечива. Если же это по каким-то причинам это для Вас невозможно, то не притворяйтесь, а просто отнеситесь к ZFC как к некоторому набору формул и спокойно -- без какой-либо веры или, наоборот, предубеждения -- рассуждайте о том, что можно вывести из этого набора. (Собственно говоря, куча математиков по сути дела именно этим и занимаются.) Если Вам это не интересно -- другое дело. Но должным образом отнесясь к ZFC, Вы хотя бы получите возможность понимать (и отчасти принимать) то, что говорят Ваши оппоненты. Относитесь к их высказываниям как к очень корявым описаниям формальных выводов из аксиом ZFC и спокойно (без фанатизма) добивайтесь от них уточнения их корявых описаний по мере необходимости -- если Вас что-то заинтересовало, а самостоятельно понять не получается (что, кстати, обычное дело не только для таких упертых формалистов как мы с Вами). Иными словами, я предлагаю Вам опуститься до уровня «содержательной математики». Именно опуститься, причем не в уничижительном смысле этого слова, -- опуститься с уровня метатеории до уровня предметной теории. Если Вам этот спуск удастся, Вы обретете возможность понимать других! Это ли не счастье? И это ли не свобода?

[luitzen]

AGu в сообщении #228984 писал(а):

Выходит, «X можно определить в метатеории Y» еще не означает, что «Y можно использовать как метатеорию для X»?

Ещё не означает.

AGu в сообщении #228984 писал(а):

Например, она может утверждать/доказывать противоречивость/непротиворечивость, разрешимость/неразрешимость, полноту/неполноту, категоричность/некатегоричность и т.д./и т.п. этой теории, может сравнивать эту теорию с другими по силе, доказывать существование/отсутствие моделей данной теории, обладающих теми или иными свойствами, доказывать, что из данной теории что-то выводится или не выводится и вообще может делать практически все, что способно прийти в голову.

Вряд ли удастся доказать столько всего чистыми теоретико-множественными средствами.

Да, в метатеории могут быть использованы теоретико-множественные методы; да, теория множеств может находиться к метатеории в том же foundational отношении, что и к предметной теории. Но всё это не делает её метатеорией.

Я даже скажу, что метатеорий вообще не бывает. Бывает «метатеоретическое» — сборная солянка из различных рассуждений по поводу теории.

[epros]

AGu в сообщении #229707 писал(а):

Вы ведь не отказываетесь говорить о доказуемости в теории множеств ZFC как в самой обычной теории первого порядка?

Не отказываюсь.

AGu в сообщении #229707 писал(а):

просто отнеситесь к ZFC как к некоторому набору формул и спокойно -- без какой-либо веры или, наоборот, предубеждения -- рассуждайте о том, что можно вывести из этого набора.

Это без проблем. Правда заинтересованности действительно далеко не всегда хватает, как-то подсознательно гложет мысль: стоит ли уделять столько сил разбирательству в выводах одной из бесконечного множества возможных теорий, которая ничем не лучше многих своих альтернатив?

AGu в сообщении #229707 писал(а):

Вы хотя бы получите возможность понимать (и отчасти принимать) то, что говорят Ваши оппоненты.

Но действительная-то проблема заключается не в дефиците интереса, а в том, что то, что Вы сейчас сказали, верно лишь отчасти. У меня почему-то сложилось устойчивое убеждение, "мои оппоненты" сами понимают друг друга ... лишь до некоторой степени, которую я не могу даже назвать "определённой". Дело в том, что "общепризнанные" аксиоматики могут ощутимо варьироваться. Некоторые хотят видеть "вполне конструктивное" доказательство. Другие без ограничений принимают аксиому выбора. Третьи ещё и гипотезу континуума принимают безоговорочно. Оговорить все "принимаемые условия" в каждом конкретном случае практически невозможно, ибо это потребует времени больше, чем собственно доказательство. А доказательства-то как правило используют результаты других авторов, которые тоже использовали аксиоматику в каком-то априорно неизвестном объёме. В общем, тот ещё винегрет. Я уж не говорю про определения. Вот стоит, например, использовать термин с казалось бы общепринятым определением: "натуральное число", как вдруг оказывается, что некто подразумевает под этим ещё и т. н. "нестандартные числа".

AGu в сообщении #229707 писал(а):

Вы обретете возможность понимать других! Это ли не счастье? И это ли не свобода?

Мой интерес заключается не столько в том, чтобы научиться понимать всех тех, кто не вполне понимает друг друга ( ), а скорее в том, чтобы попытаться выработать основы языка, который действительно будет однозначно понятен всем. И кстати, я не претендую тут на лавры первопроходца. Даже не могу утверждать, что я вообще что-то внёс. Просто я вижу, что такое направление в основаниях математики есть, хотя оно (с моей сугубо субъективной точки зрения) изрядно "завалено мусором".

[ewert]

epros в сообщении #229731 писал(а):

, а скорее в том, чтобы попытаться выработать основы языка, который действительно будет однозначно понятен всем.

Безнадёжно. Но можно пытаться говорить на "более-менее общепринятом" языке. В котором, например, все знают, что ту же аксиому выбора можно принимать -- а можно и не принимать, и аккуратно оговаривают, какой именно вариант имеется в виду.

[AGu]

luitzen в сообщении #229726 писал(а):

AGu в сообщении #228984 писал(а):

Выходит, «X можно определить в метатеории Y» еще не означает, что «Y можно использовать как метатеорию для X»?

Ещё не означает.

OK. Отношу это разногласие к различию в понимании смысла слова «использовать». Но я ведь говорил не только о возможности определения.

luitzen писал(а):

AGu в сообщении #228984 писал(а):

Например, она может утверждать/доказывать противоречивость/непротиворечивость, разрешимость/неразрешимость, полноту/неполноту, категоричность/некатегоричность и т.д./и т.п. этой теории, может сравнивать эту теорию с другими по силе, доказывать существование/отсутствие моделей данной теории, обладающих теми или иными свойствами, доказывать, что из данной теории что-то выводится или не выводится и вообще может делать практически все, что способно прийти в голову.

Вряд ли удастся доказать столько всего чистыми теоретико-множественными средствами.

Напрасно сомневаетесь. Удастся. Более того, удавалось и удается. И все это происходит ежедневно в статьях и книгах, относящихся к классической математической логике. Большинство из того, что доказывалось и доказывается о теориях, доказывалось и доказывается в рамках той или иной версии теории множеств в качестве метатеории. Это верно уже потому, что в этих доказательствах фигурируют термины (а профессиональные логики, кстати, терминами так просто не разбрасываются) «множество», «функция», «соответствие», «последовательность» и т.д. и т.п., причем явно или неявно используются определения этих понятий, формализуемые в рамках теории множеств, и явно или неявно применяются те или иные аксиомы той или иной версии теории множеств. Если не верите мне -- убедитесь в этом сами, полистав работы по классической логике, или спросив тех специалистов, чьему мнению Вы доверяете.

luitzen писал(а):

Я даже скажу, что метатеорий вообще не бывает. Бывает «метатеоретическое» — сборная солянка из различных рассуждений по поводу теории.

Ваши сведения сильно устарели.

Кстати, если Вы еще не читали книгу «Математика метаматематики» Е.Расевой и Р.Сикорского (Москва: Наука, 1972), рекомендую прочитать хотя бы введение и оглавление. Я буду удивлен, если после этого Вы не измените свое мнение (или хотя бы смягчите позицию).

-- 2009.07.17 21:16 --

epros в сообщении #229731 писал(а):

Но действительная-то проблема заключается не в дефиците интереса, а в том, что то, что Вы сейчас сказали, верно лишь отчасти. У меня почему-то сложилось устойчивое убеждение, "мои оппоненты" сами понимают друг друга ... лишь до некоторой степени, которую я не могу даже назвать "определённой". Дело в том, что "общепризнанные" аксиоматики могут ощутимо варьироваться. Некоторые хотят видеть "вполне конструктивное" доказательство. Другие без ограничений принимают аксиому выбора. Третьи ещё и гипотезу континуума принимают безоговорочно. Оговорить все "принимаемые условия" в каждом конкретном случае практически невозможно, ибо это потребует времени больше, чем собственно доказательство. А доказательства-то как правило используют результаты других авторов, которые тоже использовали аксиоматику в каком-то априорно неизвестном объёме. В общем, тот ещё винегрет.

Сочувствую и подозреваю, что Ваш печальный опыт основан на общении и непрофессионалами. Уверяю Вас, в профессиональной математической среде то, о чем Вы говорите, практически невозможно. И в серьезных математических статьях, и в книгах, и в докладах на конференциях и даже в неформальном общении между собой профессиональные математики всегда предельно (т.е. насколько это возможно) четко фиксируют круг используемых ими доказательных средств (методов, аксиом, гипотез и т.п.). Во многих математических текстах такой фиксации нет, но это просто означает, что по умолчанию используются «общематематические» средства (в большинстве случаев, к Вашему сожалению, это оказывается ZF или даже ZFC).

epros писал(а):

Я уж не говорю про определения. Вот стоит, например, использовать термин с казалось бы общепринятым определением: "натуральное число", как вдруг оказывается, что некто подразумевает под этим ещё и т. н. "нестандартные числа".

Уверяю Вас, в каждой современной профессиональной работе в области нестандартного анализа, опять-таки, четко фиксируется набор доказательных средств. Обычно это либо модель Робинсона (и тогда доказательства ведутся в ZFC в рамках этой модели), либо одна из (постепенно становящихся «стандартными» ) нестандартных теорий множеств -- Нельсона, Каваи и др.

Ей-богу, epros, Вам просто не везет с «оппонентами».

-- 2009.07.17 21:26 --

ewert в сообщении #229733 писал(а):

epros в сообщении #229731 писал(а):

, а скорее в том, чтобы попытаться выработать основы языка, который действительно будет однозначно понятен всем.

Безнадёжно. Но можно пытаться говорить на "более-менее общепринятом" языке. В котором, например, все знают, что ту же аксиому выбора можно принимать -- а можно и не принимать, и аккуратно оговаривают, какой именно вариант имеется в виду.

Увы, epros, тут я вынужден согласиться с ewert. «Безнадежно» -- может быть, излишне радикальный вердикт, но он, как мне кажется, близок к истине (которая, как известно, неопределима ).

[Виктор Викторов]

Вопрос в сторону. Но мне кажется, этот вопрос уместнее обсудить здесь, чем открывать новую тему. Итак, Клини «Математическая логика» издание 1973 года. Часть I. Глава I. Названия параграфов со второго по восьмой начинаются словами «Теория моделей;», но не только не объясняется слово «модель», оно даже не упоминается.
И, наконец, в параграфе 9 (стр. 47) читаем: «Такое рассмотрение логики мы называем «теорией моделей»: заменяя атомы истинностными значениями t и f во всевозможных сочетаниях, мы получаем, так сказать, «модели», конкретные «реализации», воплощения того, что могут выражать высказывания.»
Это перевод Гастева, а вот оригинал: «We call this treatment of logic “model theory”, as in it we replace the atoms by truth values t and f in all possible combinations, to obtain what can be considered models or concrete replicas of what the sentences may express.»

Стоп! В оригинале: «can be considered models» (могут рассматриваться [как] модели), а у Гастева «так сказать, «модели»» и притом модели в кавычках. В кавычки попали и реализации, не будучи таковыми в оригинале.
Я ни на минуту не сомневаюсь, что у Гастева были свои резоны так перевести. Вопрос: каковы они могли быть?

[ewert]

AGu в сообщении #229736 писал(а):

«Безнадежно» -- может быть, излишне радикальный вердикт,

Теоремы Гёделя в силу своей относительности утверждают, что этот вердикт -- абсолютен.

[conviso]

Уважаемый Виктор Викторов.
[quote]Я ни на минуту не сомневаюсь, что у Гастева были свои резоны так перевести. Вопрос: каковы они могли быть?/quote].
Как Вы лично думаете, на это вопрос каким способом искать ответ?
Меня вот как-то "безнадежность" мутит

[Виктор Викторов]

conviso в сообщении #229810 писал(а):

Уважаемый Виктор Викторов.

Цитата:

Я ни на минуту не сомневаюсь, что у Гастева были свои резоны так перевести. Вопрос: каковы они могли быть?

Как Вы лично думаете, на это вопрос каким способом искать ответ?
Меня вот как-то "безнадежность" мутит

Никакой безнадёжности. Это просто весьма тонкие вопросы. Уверен, что AGu есть, что сказать по этому поводу. Что касается «Как Вы лично думаете», то была бы у меня своя версия, я бы с Вами поделился.

[luitzen]

AGu в сообщении #229736 писал(а):

luitzen писал(а):

Вряд ли удастся доказать столько всего чистыми теоретико-множественными средствами.

Напрасно сомневаетесь. Удастся. Более того, удавалось и удается. И все это происходит ежедневно в статьях и книгах, относящихся к классической математической логике. Большинство из того, что доказывалось и доказывается о теориях, доказывалось и доказывается в рамках той или иной версии теории множеств в качестве метатеории.
[…]

luitzen писал(а):

Я даже скажу, что метатеорий вообще не бывает. Бывает «метатеоретическое» — сборная солянка из различных рассуждений по поводу теории.

Ваши сведения сильно устарели.
Кстати, если Вы еще не читали книгу «Математика метаматематики»…

Мне отрадно, перечитывая классиков, находить подтверждения своим заблуждениям. К примеру, что-нибудь в этом духе:

Цитата:

С этой точки зрения представляется естественным применение в метаматематике методов алгебры, теории решеток, теории множеств и топологии. Вся совокупность полезных в метаматематике математических методов и составляет то, что в заглавии этой книги называется математикой метаматематики.

Собственно, я Вам и предлагаю подоказывать метатеоремы одними только теоретико-множественными средствами. Никто не спорит, что рассуждения могут проводиться «в рамках» или «на базе» (той или иной версии, что часто важно) теории множеств, но одной ею не всегда возможно ограничиться.

[AGu]

luitzen в сообщении #229821 писал(а):

Собственно, я Вам и предлагаю подоказывать метатеоремы одними только теоретико-множественными средствами. Никто не спорит, что рассуждения могут проводиться «в рамках» или «на базе» (той или иной версии, что часто важно) теории множеств, но одной ею не всегда возможно ограничиться.

Я принимаю Ваш вызов. (Ведь это был вызов, я правильно понял?)

Приведите пример какого-нибудь конкретного (не очень объемного и желательно логически замкнутого) рассуждения, которое, на Ваш взгляд, является (мета)математическим, но которое невозможно «провести» (т.е., формализовать, адекватно преобразовать в формальное доказательство или его фрагмент) в теории множеств (ZFC или NGB или IST или какой-либо иной ее версии), а я на досуге попробую его таки «провести», т.е. преобразовать в достаточно адекватное, строгое и точное доказательство или его фрагмент. Адекватность, строгость и точность будете регулировать Вы, т.е. в ответ на Ваши запросы я буду модифицировать или уточнять спорные моменты (рассуждения, конструкции, обозначения или понятия) -- вплоть до сведения к аксиомам, если это потребуется.

Разумеется, у меня всегда есть возможность увильнуть, заявив, что я не понимаю приведенного рассуждения и что оно математическим не является (и представляет собой «поток сознания»), но я обещаю не злоупотреблять этой возможностью и приложить максимум усилий, чтобы разобраться (самостоятельно, с Вашей помощью или с помощью других участников). В крайнем случае я попрошу Вас выбрать какой-нибудь другой пример рассуждения, но, надеюсь, до этого не дойдет.

P.S. Наверное, для этой игры стоит создать отдельную тему (чтобы было легче отслеживать нить дискуссии).

-- 2009.07.18 20:36 --

ewert в сообщении #229762 писал(а):

AGu в сообщении #229736 писал(а):

«Безнадежно» -- может быть, излишне радикальный вердикт,

Теоремы Гёделя в силу своей относительности утверждают, что этот вердикт -- абсолютен.

Как грицца, ниасилил.

-- 2009.07.18 21:14 --

Виктор Викторов в сообщении #229761 писал(а):

Вопрос в сторону. Но мне кажется, этот вопрос уместнее обсудить здесь, чем открывать новую тему. Итак, Клини «Математическая логика» издание 1973 года. Часть I. Глава I. Названия параграфов со второго по восьмой начинаются словами «Теория моделей;», но не только не объясняется слово «модель», оно даже не упоминается.
И, наконец, в параграфе 9 (стр. 47) читаем: «Такое рассмотрение логики мы называем «теорией моделей»: заменяя атомы истинностными значениями t и f во всевозможных сочетаниях, мы получаем, так сказать, «модели», конкретные «реализации», воплощения того, что могут выражать высказывания.»
Это перевод Гастева, а вот оригинал: «We call this treatment of logic “model theory”, as in it we replace the atoms by truth values t and f in all possible combinations, to obtain what can be considered models or concrete replicas of what the sentences may express.»

Стоп! В оригинале: «can be considered models» (могут рассматриваться [как] модели), а у Гастева «так сказать, «модели»» и притом модели в кавычках. В кавычки попали и реализации, не будучи таковыми в оригинале.
Я ни на минуту не сомневаюсь, что у Гастева были свои резоны так перевести. Вопрос: каковы они могли быть?

Без лишних слов я воспроизведу несколько конструкций, которые,
возможно, все прояснят. (Если потребуются слова -- дайте знать.)

Пусть $V$ -- множество всех пропозициональных переменных
и пусть $\Phi$ -- множество всех пропозициональных формул.
(Пропозициональной) моделью назовем всякую функцию $M:V\to\{0,1\}$.
Будем говорить, что $\varphi\in\Phi$ истинна в модели $M$, и писать $M\vDash\varphi$,
если $|\varphi|_M=1$, где функция $|{\cdot}|_M:\Phi\to\{0,1\}$ определяется рекурсией
по сложности формул следующим образом (ниже $v\in V$, $\varphi,\psi\in\Phi$):

$|v|_M:=M(v)$;
$|\neg\varphi|_M:=\neg|\varphi|_M$, где $\neg1=0$, $\neg0=1$;
$|\varphi\lor\psi|_M:=|\varphi|_M\lor|\psi|_M$, где $0\lor0=0$, $0\lor1=1\lor0=1\lor1=1$.

[luitzen]

AGu в сообщении #229905 писал(а):

Я принимаю Ваш вызов. (Ведь это был вызов, я правильно понял?)

Приведите пример какого-нибудь конкретного (не очень объемного и желательно логически замкнутого) рассуждения, которое, на Ваш взгляд, является (мета)математическим, но которое невозможно «провести» (т.е., формализовать, адекватно преобразовать в формальное доказательство или его фрагмент) в теории множеств…
[…]
P.S. Наверное, для этой игры стоит создать отдельную тему (чтобы было легче отслеживать нить дискуссии).

AGu, что с того, что Вы, приложив определённые усилия, сможете это сделать? Вы, вероятно, сможете сделать это не только с каким-либо метаматематическим рассуждением, но и с любой предметной теорией. Но это же не повод называть эту теорию теорией множеств.

[AGu]

luitzen в сообщении #229910 писал(а):

AGu в сообщении #229905 писал(а):

Я принимаю Ваш вызов. (Ведь это был вызов, я правильно понял?)

Приведите пример какого-нибудь конкретного (не очень объемного и желательно логически замкнутого) рассуждения, которое, на Ваш взгляд, является (мета)математическим, но которое невозможно «провести» (т.е., формализовать, адекватно преобразовать в формальное доказательство или его фрагмент) в теории множеств…
[…]
P.S. Наверное, для этой игры стоит создать отдельную тему (чтобы было легче отслеживать нить дискуссии).

AGu, что с того, что Вы, приложив определённые усилия, сможете это сделать? Вы, вероятно, сможете сделать это не только с каким-либо метаматематическим рассуждением, но и с любой предметной теорией. Но это же не повод называть эту теорию теорией множеств.

Я искренне удивлен мощностью множества слов русского языка, смысл которых мы с Вами понимаем по-разному. Сейчас, похоже, выяснится, что под теорией множеств (а может, и под доказательством?) я понимаю одно, а Вы -- совсем другое.

Привожу свое определение. Теорией множеств ZFC я называю теорию первого порядка с равенством, имеющую сигнатуру $\{\in\}$, состояющую из единственного бинарного предикатного символа $\in$, и специальную аксиоматику, состоящую из таких-то аксиом и порождаемую такими-то схемами аксиом (см. стандартные источники), а доказательством в теории множеств ZFC я называю конечную последовательность формул, первый член которой является одной из аксиом ZFC, а любой другой член... и далее по тексту (см. стандартные источники).

Ваша очередь.

Впрочем, я, кажется, уже догадался, что под теорией множеств Вы понимаете "школьную игру с множествами," т.е. набор определений элементарных понятий (включение, объединение, пересечение, дополнение и т.п.) и правил типа законов Моргана. Я, возможно, утрирую, но суть от этого не меняется. Уверяю Вас, профессиональные математики под теорией множеств понимают нечто совершенно иное (см. выше). "Теория множеств" -- это математический термин, а не имя для какого-либо расплывчатого и непостоянного набора традиционных понятий и приемов, связанных со словом "множество."