Магические квадраты

[RIP]

Nataly-Mak в сообщении #228966 писал(а):

У меня технический вопрос. Только что в мой почтовый ящик пришло уведомление об ответе в этой теме (автор tolstopuz). Сказано, что новое сообщение находится по ссылке:
viewtopic.php?f=28&t=12959&p=228930&e=228930
Но когда я иду по этой ссылке, то прихожу на первую страницу темы.
Никаких новых сообщений в теме я не вижу. Что происходит? Это у меня глюк? Или на форуме?

Наверно, tolstopuz просто удалил своё сообщение.

[tolstopuz]

RIP в сообщении #228967 писал(а):

Наверно, tolstopuz просто удалил своё сообщение.

Да.

[Nataly-Mak]

tolstopuz, что с вами? Это ж я теперь ночь спать не буду, всё буду думать, чего вы написали такое, что сразу же удалили
Построила один нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка из простых чисел, образующих арифметическую прогрессию (для первой прогрессии из приведённых maxal’ем):

6334530228996791 7397119784063831 6824956177489271 7887545732556311 7315382125981751
7724070416392151 6743218519407191 7805808074474231 7233644467899671 6252792570914711
6661480861325111 8132758706802551 7151906809817591 6171054912832631 7642332758310071
8051021048720471 7070169151735511 6498005545160951 7560595100227991 6579743203243031
6988431493653431 6416267887078871 7478857442145911 6906693835571351 7969283390638391

Магическая константа квадрата равна 35759534049087955.
Возможно, это максимальная константа для известных на сегодня квадратов такого рода.
Кроме всего прочего, квадрат обладает свойством ассоциативности, как все квадраты, построенные методом террас.
Аналогично можно построить второй квадрат (для второй прогрессии).
maxal, вам такой квадрат встречался?
Если нигде не ошиблась (вычисляла вручную), красивый квадратик получился.

[Nataly-Mak]

А вот второй нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка из простых чисел, образующих арифметическую прогрессию:

4007741755775423 10812303853338653 7148308877727683 13952870975290913 10288875999679943
12906015267973493 6624881024068973 13429443121632203 9765448146021233 3484313902116713
6101453170410263 15523154536267043 9242020292362523 2960886048458003 12382587414314783
14999726682608333 8718592438703813 5054597463092843 11859159560656073 5578025316751553
8195164585045103 4531169609434133 11335731706997363 7671736731386393 14476298828949623

Магическая константа равна 46210101461812615. Квадрат тоже ассоциативный.

-- Чт июл 16, 2009 12:52:15 --

Никогда раньше не занималась построением магических квадратов из чисел, образующих арифметическую прогрессию. Просто запомнила, что методом террас строятся магические квадраты из таких чисел. Сейчас вникла подробнее и обнаружила, что из чисел, образующих арифметическую прогрессию, можно построить нетрадиционный магический квадрат любого порядка на основе любого традиционного магического квадрата.
Возьмём, например, числа a_i ($i = 1, 2, … , 25$), образующие арифметическую прогрессию, первый член которой равен $3$, разность равна $10$. Теперь берём любой традиционный магический квадрат 5-го порядка, например, такой:

1 23 10 14 17
15 19 2 21 8
22 6 13 20 4
18 5 24 7 11
9 12 16 3 25

Этот квадрат обладает свойствами ассоциативности и пандиагональности, то есть является идеальным.
Если заменить элементы этого квадрата на числа указанной выше арифметической прогрессии так, что каждый элемент будет соответствовать индексу члена арифметической прогрессии, получим следующий нетрадиционный идеальный магический квадрат:

3 223  93 133 163
143 183 13 203 73
213 53 123 193 33
173 43 233 63 103
83 113 153 23 243

На основе этого же традиционного идеального магического квадрата построила нетрадиционные идеальные магические квадраты 5-го порядка из простых чисел, образующих арифметическую прогрессию. Понятно, что магические константы квадратов не изменились.

6171054912832631 7969283390638391 6906693835571351 7233644467899671 7478857442145911
7315382125981751 7642332758310071 6252792570914711 7805808074474231 6743218519407191
7887545732556311 6579743203243031 7151906809817591 7724070416392151 6416267887078871
7560595100227991 6498005545160951 8051021048720471 6661480861325111 6988431493653431
6824956177489271 7070169151735511 7397119784063831 6334530228996791 8132758706802551

2960886048458003 14476298828949623 7671736731386393 9765448146021233 11335731706997363
10288875999679943 12382587414314783 3484313902116713 13429443121632203 6624881024068973
13952870975290913 5578025316751553 9242020292362523 12906015267973493 4531169609434133
11859159560656073 5054597463092843 14999726682608333 6101453170410263 8195164585045103
7148308877727683 8718592438703813 10812303853338653 4007741755775423 15523154536267043

-- Чт июл 16, 2009 13:12:08 --

maxal, никак не могу понять вот эту запись для арифметической прогрессии длиной 16:
17 + 11387819007325752·13#·n ($n=1,2,...16$)
Расшифруйте, пожалуйста. Что означает здесь знак #?

[Бодигрим]

Возвращаясь к смитовым квадратам. Помимо двух вышеупомянутых смитовых магических квадратов третьего порядка

$$ \Sigma=822 \quad \begin{pmatrix} 346 & 22 & 454 \\ 382 & 274 & 166 \\ 94 & 526 & 202 \end{pmatrix} \qquad \Sigma=1362 \quad \begin{pmatrix} 526 & 202 & 634 \\ 562 & 454 & 346 \\ 274 & 706 & 382 \end{pmatrix} $$

существуют еще несколько смитовых магических квадратов, элементы которых не превосходят 10000:

$$ \Sigma=6114 \quad \begin{pmatrix} 1858& 634&3622 \\ 3802&2038& 274\\ 454&3442&2218 \end{pmatrix} $$ $$ \Sigma=8922 \quad \begin{pmatrix} 3226&5422& 274 \\ 22&2974&5926 \\ 5674& 526&2722 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1642&3226&4054\\ 5386&2974& 562\\ 1894&2722&4306 \end{pmatrix} $$ $$ \Sigma=11838 \quad \begin{pmatrix} 4198&6934& 706\\ 454&3946&7438\\ 7186& 958&3694 \end{pmatrix} \qquad \Sigma=14754 \quad \begin{pmatrix} 8158&2434&4162\\ 922&4918&8914\\ 5674&7402&1678 \end{pmatrix} $$ $$ \Sigma=18534 \quad \begin{pmatrix} 4198 & 9382 & 4954\\ 6934 &6178 & 5422\\ 7402 & 2974 &8158 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 5422 & 4954 & 8158\\ 8914 & 6178 & 3442\\ 4198 & 7402 & 6934 \end{pmatrix} $$

Кстати, не считая предварительных расчетов, на поиск вышеупомянутых квадратов моя программа затратила менее двух минут.

[Бодигрим]

Вот еще один смитов квадрат:

$$ \begin{matrix}2958 &16269 &6171\\ 11679 &8466 &5253\\ 10761 &663 &13974 \end{matrix} $$

Интересной особенностью является то, что его магическая константа, равная 25398, также является число Смита. Сможете ли вы найти еще один смитов квадрат с таким свойством?

[Nataly-Mak]

Квадрат порядка 3 из смитов, магическая константа которого тоже является смитом, построить можно, если иметь очень большой массив смитов.
У меня на настоящий момент этот массив содержит 196 чисел. Составив простенькую программку, я определила все те смиты, которые остаются смитами после утроения. В моём массиве нашлось всего 6 таких смитов: $636,654,762,852,1284,8466$. Далее у меня есть программа построения магического квадрата 3х3 из смитов по заданной магической константе (эта программа приведена в статье Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел). По этой программе магический квадрат удалось построить только для магической константы $25398=8466*3$. Для остальных значений магических констант квадраты не построились. Теперь надо увеличить массив смитов и посмотреть, что будет в увеличенном массиве.
Бодигрим, подключайтесь к решению задачи построения нетрадиционного магического квадрата 8-го порядка, составленного из различных составных смитов.
tolstopuz эту задачу уже решил.
Ещё здесь была задача построения нетрадиционного магического квадрата 5-го порядка из различных простых чисел с минимальной магической константой (число 1 простым не считается).
И квадрат 5-го порядка из различных составных смитов тоже ещё не построен.
Так что, работы очень много.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #229297 писал(а):

maxal, никак не могу понять вот эту запись для арифметической прогрессии длиной 16:
17 + 11387819007325752·13#·n ($n=1,2,...16$)
Расшифруйте, пожалуйста. Что означает здесь знак #?

Это т.н. праймориал - произведение всех простых чисел вплоть до данного. В частности:

$$13\# = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13 = 30030.$$

[tolstopuz]

Бодигрим в сообщении #229454 писал(а):

Кстати, не считая предварительных расчетов, на поиск вышеупомянутых квадратов моя программа затратила менее двух минут.

Не знаю, как вы считаете, но моя наспех написанная на питоне (который раз в 50 медленнее нормальных языков) программа выдает все ваши квадраты секунд за 6

А вот чтобы ответить на ваш вопрос, ей и правда требуется целых полторы минуты:

14026 74438 58974
94094 49146 4198
39318 23854 84266

[Бодигрим]

tolstopuz в сообщении #229604 писал(а):

Не знаю, как вы считаете, но моя наспех написанная на питоне (который раз в 50 медленнее нормальных языков) программа выдает все ваши квадраты секунд за 6 :)

О, это уже любопытно :) Будем арбайтен :) Ваша программа находит перечисленные квадраты или в том числе и убеждается, что других квадратов с элементами до 10000 нет?

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #229580 писал(а):

Это т.н. праймориал - произведение всех простых чисел вплоть до данного. В частности:

$$13\# = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13 = 30030.$$

Большое спасибо, maxal. Теперь буду знать.
tolstopuz, не могли бы вы дополнить мой массив смитов (добавить пропущенные), дальше последнего можно не писать.
4 22 27 58 85 94 121 166 202 265 274 319 346 355 378 382 391 438 454 483 517 526 535 562 576 588 627 634 636 645 648 654 663 666 690 706 728 729 762 778 852 861 895 913 915 922 958 985 1086 1111 1165 1219 1255 1282 1284 1376 1507 1626 1633 1642 1678 1795 1822 1842 1858 1894 1903 1908 1921 1952 1962 1966 2038 2067 2155 2218 2227 2265 2286 2373 2409 2434 2461 2515 2556 2605 2722 2751 2785 2839 2934 2958 2965 2974 3226 3390 3442 3622 3694 3802 3852 3930 3946 3973 4054 4162 4173 4191 4198 4306 4832 4918 4954 5253 5386 5397 5422 5539 5674 5926 6171 6178 6187 6531 6567 6583 6934 6981 7136 7186 7287 7402 7438 7683 7627 7712 8149 8158 8257 8421 8466 8790 8864 8914 9036 9193 9330 9382 9684 10592 10689 10761 11679 12847 12957 13369 13472 13639 13974 14881 15516 15709 15981 16123 16269 16537 16890 18108 18607 19232 19590 19761 19808 20229 20319 20823 21919 22688 23809 24387 24588 24981 25236 25398 25884 26419 26637 27296 27357 27828 29139 29772 33657 34359 34956 37167
По моим подсчётам здесь 196 смитов. На повторяемость не проверяла. Часть смитов нашла сама (умножением простых чисел на 2 - 40), остальные взяла отсюда (ваши и Бодигрима). Не хочется писать программу генерации смитов. Можно продолжить выполнение моей программки получения смитов путём умножения простых чисел на $n$.

[Бодигрим]

Upd.: Был не прав, погорячился. Когда исправлю ошибки - выложу снова.

[tolstopuz]

Бодигрим в сообщении #229607 писал(а):

tolstopuz в сообщении #229604 писал(а):

Не знаю, как вы считаете, но моя наспех написанная на питоне (который раз в 50 медленнее нормальных языков) программа выдает все ваши квадраты секунд за 6

О, это уже любопытно Будем арбайтен Ваша программа находит перечисленные квадраты или в том числе и убеждается, что других квадратов с элементами до 10000 нет?

Естественно, убеждается.

Я надеюсь, вы перебираете только два числа помимо магической константы?

[Nataly-Mak]

Бодигрим, странный какой-то массив по указанной вами ссылке. Вы уверены, что это смиты? Например, в этом массиве есть числа 18, 98, 486, а эти числа смитами не являются.
Создаётся впечатление, что здесь ещё и простой делитель 1 прибавляют. Однако тут уже сказали, что в современной теории чисел число 1 не является простым числом.

[tolstopuz]

Nataly-Mak в сообщении #229629 писал(а):

По моим подсчётам здесь 196 смитов.

Настоящий список в шесть раз длиннее. Проще выкинуть ваш список вообще.

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1284, 1376, 1449, 1507, 1581, 1626, 1633, 1642, 1678, 1736, 1755, 1776, 1795, 1822, 1842, 1858, 1872, 1881, 1894, 1903, 1908, 1921, 1935, 1952, 1962, 1966, 2038, 2067, 2079, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2265, 2286, 2326, 2362, 2366, 2373, 2409, 2434, 2461, 2475, 2484, 2515, 2556, 2576, 2578, 2583, 2605, 2614, 2679, 2688, 2722, 2745, 2751, 2785, 2839, 2888, 2902, 2911, 2934, 2944, 2958, 2964, 2965, 2970, 2974, 3046, 3091, 3138, 3168, 3174, 3226, 3246, 3258, 3294, 3345, 3366, 3390, 3442, 3505, 3564, 3595, 3615, 3622, 3649, 3663, 3690, 3694, 3802, 3852, 3864, 3865, 3930, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4173, 4185, 4189, 4191, 4198, 4209, 4279, 4306, 4369, 4414, 4428, 4464, 4472, 4557, 4592, 4594, 4702, 4743, 4765, 4788, 4794, 4832, 4855, 4880, 4918, 4954, 4959, 4960, 4974, 4981, 5062, 5071, 5088, 5098, 5172, 5242, 5248, 5253, 5269, 5298, 5305, 5386, 5388, 5397, 5422, 5458, 5485, 5526, 5539, 5602, 5638, 5642, 5674, 5772, 5818, 5854, 5874, 5915, 5926, 5935, 5936, 5946, 5998, 6036, 6054, 6084, 6096, 6115, 6171, 6178, 6187, 6188, 6252, 6259, 6295, 6315, 6344, 6385, 6439, 6457, 6502, 6531, 6567, 6583, 6585, 6603, 6684, 6693, 6702, 6718, 6760, 6816, 6835, 6855, 6880, 6934, 6981, 7026, 7051, 7062, 7068, 7078, 7089, 7119, 7136, 7186, 7195, 7227, 7249, 7287, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7503, 7627, 7674, 7683, 7695, 7712, 7726, 7762, 7764, 7782, 7784, 7809, 7824, 7834, 7915, 7952, 7978, 8005, 8014, 8023, 8073, 8077, 8095, 8149, 8154, 8158, 8185, 8196, 8253, 8257, 8277, 8307, 8347, 8372, 8412, 8421, 8466, 8518, 8545, 8568, 8628, 8653, 8680, 8736, 8754, 8766, 8790, 8792, 8851, 8864, 8874, 8883, 8901, 8914, 9015, 9031, 9036, 9094, 9166, 9184, 9193, 9229, 9274, 9276, 9285, 9294, 9296, 9301, 9330, 9346, 9355, 9382, 9386, 9387, 9396, 9414, 9427, 9483, 9522, 9535, 9571, 9598, 9633, 9634, 9639, 9648, 9657, 9684, 9708, 9717, 9735, 9742, 9760, 9778, 9840, 9843, 9849, 9861, 9880, 9895, 9924, 9942, 9968, 9975, 9985, 10086, 10201, 10291, 10296, 10419, 10462, 10489, 10494, 10579, 10592, 10606, 10664, 10669, 10689, 10698, 10705, 10736, 10761, 10786, 10791, 10797, 10806, 10845, 10887, 10966, 11065, 11209, 11358, 11385, 11388, 11583, 11659, 11679, 11686, 11695, 11696, 11739, 11785, 11790, 11816, 11857, 11965, 11984, 12055, 12091, 12226, 12262, 12318, 12406, 12442, 12519, 12558, 12573, 12622, 12627, 12648, 12656, 12658, 12667, 12675, 12684, 12732, 12771, 12795, 12847, 12937, 12939, 12946, 12955, 12957, 12975, 12982, 13369, 13454, 13472, 13506, 13639, 13662, 13666, 13747, 13764, 13765, 13812, 13905, 13974, 13984, 14017, 14026, 14046, 14058, 14085, 14148, 14168, 14179, 14206, 14242, 14359, 14386, 14391, 14422, 14458, 14464, 14494, 14508, 14534, 14566, 14672, 14688, 14719, 14736, 14756, 14784, 14809, 14832, 14881, 14924, 14946, 14958, 14962, 14985, 14991, 14998, 15018, 15115, 15126, 15128, 15205, 15286, 15369, 15516, 15529, 15558, 15646, 15682, 15687, 15704, 15709, 15747, 15778, 15824, 15835, 15848, 15853, 15860, 15882, 15884, 15894, 15898, 15943, 15974, 15981, 15984, 16015, 16078, 16098, 16105, 16123, 16137, 16186, 16192, 16222, 16269, 16285, 16294, 16335, 16357, 16438, 16474, 16480, 16536, 16537, 16546, 16568, 16582, 16591, 16592, 16645, 16647, 16653, 16688, 16726, 16735, 16744, 16746, 16770, 16866, 16890, 16902, 16940, 16983, 17056, 17086, 17149, 17187, 17199, 17221, 17238, 17268, 17271, 17424, 17455, 17482, 17496, 17635, 17646, 17662, 17664, 17698, 17718, 17738, 17754, 17826, 17833, 17835, 17838, 17840, 17864, 17885, 17889, 17905, 17907, 17916, 17940, 17982, 18022, 18058, 18069, 18085, 18108, 18117, 18132, 18162, 18177, 18247, 18274, 18278, 18337, 18346, 18355, 18391, 18396, 18409, 18418, 18454, 18459, 18474, 18496, 18513, 18562, 18607, 18618, 18675, 18732, 18735, 18742, 18765, 18805, 18841, 18846, 18865, 18872, 18895, 18920, 18922, 18958, 18963, 18985, 18994, 19066, 19134, 19147, 19165, 19212, 19232, 19246, 19251, 19255, 19272, 19280, 19292, 19360, 19376, 19428, 19482, 19498, 19554, 19590, 19592, 19602, 19606, 19615, 19644, 19678, 19683, 19725, 19755, 19761, 19808, 19812, 19818, 19858, 19880, 19941, 19943, 19952, 20065, 20074, 20182, 20229, 20295, 20299, 20319, 20326, 20362, 20506, 20542, 20578, 20618, 20623, 20695, 20754, 20784, 20785, 20823, 20859, 20888, 20893, 20911, 20974, 21055, 21066, 21078, 21186, 21226, 21253, 21262, 21273, 21361, 21478, 21498, 21615, 21651, 21667, 21685, 21694, 21766, 21829, 21865, 21874, 21896, 21919, 21946, 21955, 21970, 22054, 22081, 22117, 22119, 22188, 22234, 22342, 22368, 22386, 22448, 22509, 22522, 22558, 22585, 22688, 22702, 22725, 22734, 22738, 22816, 22837, 22884, 22971, 22983, 23089, 23098, 23163, 23192, 23242, 23343, 23449, 23484, 23566, 23577, 23602, 23658, 23665, 23694, 23736, 23755, 23775, 23790, 23809, 23818, 23854, 23870, 23953, 23962, 24096, 24142, 24214, 24259, 24306, 24322, 24354, 24387, 24394, 24403, 24502, 24538, 24552, 24585, 24588, 24637, 24655, 24678, 24754, 24776, 24828, 24928, 24945, 24954, 24963, 24981, 25006, 25015, 25064, 25078, 25105, 25177, 25195, 25197, 25222, 25236, 25256, 25263, 25267, 25294, 25298, 25392, 25398, 25428, 25429, 25573, 25582, 25614, 25618, 25735, 25798, 25807, 25809, 25834, 25844, 25884, 25893, 25906, 25928, 26014, 26096, 26167, 26185, 26277, 26292, 26295, 26302, 26365, 26367, 26374, 26394, 26397, 26419, 26475, 26480, 26518, 26527, 26545, 26558, 26637, 26660, 26676, 26682, 26707, 26709, 26727, 26734, 26760, 26768, 26781, 26826, 26840, 26892, 26905, 26914, 26943, 26995, 26999, 27045, 27049, 27085, 27156, 27189, 27193, 27209, 27238, 27247, 27261, 27267, 27270, 27280, 27285, 27296, 27319, 27321, 27355, 27357, 27382, 27418, 27468, 27526, 27535, 27546, 27555, 27562, 27589, 27598, 27621, 27639, 27666, 27696, 27756, 27768, 27792, 27804, 27814, 27828, 27846, 27855, 27882, 27915, 27950, 27994, 28039, 28068, 28102, 28174, 28182, 28208, 28236, 28255, 28280, 28284, 28318, 28336, 28354, 28380, 28392, 28449, 28574, 28595, 28635, 28662, 28705, 28716, 28749, 28784, 28808, 28809, 28833, 28840, 28849, 28905, 28920, 28952, 28960, 28980, 29038, 29065, 29074, 29078, 29139, 29166, 29172, 29182, 29193, 29227, 29254, 29265, 29344, 29364, 29371, 29398, 29424, 29434, 29456, 29461, 29484, 29506, 29515, 29529, 29538, 29540, 29542, 29551, 29565, 29583, 29607, 29623, 29624, 29634, 29695, 29706, 29748, 29758, 29760, 29772, 29794, 29826, 29890, 29893, 29902, 29938, 29960, 30055, 30138, 30258, 30262, 30288, 30298, 30384, 30390, 30393, 30397, 30505, 30523, 30658, 30687, 30739, 30766, 30802, 30811, 30865, 30879, 30906, 30930, 30946, 30957, 30991, 31096, 31099, 31119, 31257, 31476, 31488, 31585, 31598, 31639, 31648, 31693, 31724, 31746, 31765, 31846, 31956, 31959, 31976, 31980, 32017, 32118, 32197, 32206, 32226, 32278, 32283, 32386, 32418, 32454, 32458, 32552, 32593, 32602, 32638, 32648, 32696, 32697, 32724, 32755, 32786, 32793, 32827, 32854, 32883, 32896, 32899, 32962, 32976, 32982, 32989, 32991, 33027, 33045, 33056, 33063, 33090, 33097, 33169, 33315, 33378, 33384, 33387, 33462, 33486, 33528, 33585, 33632, 33633, 33635, 33646, 33657, 33669, 33672, 33680, 33727, 33747, 33760, 33862, 33880, 33907, 33918, 33992, 34042, 34051, 34182, 34186, 34249, 34317, 34339, 34359, 34366, 34395, 34424, 34458, 34555, 34575, 34582, 34609, 34654, 34663, 34717, 34776, 34784, 34832, 34834, 34861, 34942, 34956, 34978, 34987, 35005, 35095, 35187, 35239, 35293, 35358, 35364, 35383, 35397, 35432, 35466, 35469, 35478, 35538, 35545, 35547, 35594, 35635, 35680, 35696, 35745, 35775, 35784, 35790, 35793, 35796, 35805, 35806, 35842, 35878, 35979, 36090, 36094, 36099, 36139, 36193, 36238, 36265, 36296, 36306, 36335, 36382, 36393, 36409, 36464, 36481, 36498, 36535, 36537, 36555, 36654, 36680, 36706, 36742, 36762, 36870, 36876, 36890, 36922, 36990, 37095, 37098, 37129, 37165, 37167