Несобственный интеграл floor(x)*exp(-x)

JollyRoger · 21/06/09 60

If $[x]$ denotes the greatest integer not exceeding $x$ , then $\int\limits_0^{+\infty} [x] e^{-x} dx$ =

$\frac{e}{e^2 - 1}$
$\frac{1}{e - 1}$
$\frac{e - 1}{e}$
$1$
$+\infty$

К сожалению, у меня нет идей. Я только доказал, что он сходится. ( $\int\limits_0^{+\infty} \frac{x}{e^{x}} dx$ сходится, а $\forall x \ge 0$ выполняется неравенство $\frac{x}{e^{x}} \ge \frac{[x]}{e^{x}}$ ).
Подскажите, пожалуйста.

P.S.
В оригинале текста задания на самом деле было не $[x]$ , а несколько другое обозначение «максимального целого, не превышающего $x$ ». Без палочек сверху. Но я не смог найти этих символов в справочнике.

id · 05/06/08 1097

JollyRoger
А возьмите его по кусочкам, где $[x]$ постоянен. Получится ряд из интегралов, посчитайте интегралы. Получится просто ряд, распишите его первые несколько сумм и все станет ясно.

venco · 04/05/09 4589

Разбейте интеграл на интервалы $[k,k+1]$ , и просуммируйте получившийся ряд.

JollyRoger · 21/06/09 60

Нужно найти $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}e^{-n}$ ?
Это получилось у меня из того, что $\int\limits_1^{2} \frac{1}{e^{x}} dx = -e^{-2} + e^{-1}$ , $\int\limits_2^{3} \frac{2}{e^{x}} dx = -2e^{-3} + 2e^{-2}$ , $\int\limits_3^{4} \frac{3}{e^{x}} dx = -3e^{-4} + 3e^{-3}$ и т.д.