Несобственный интеграл floor(x)*exp(-x)

[JollyRoger]

If $[x] $ denotes the greatest integer not exceeding $ x $, then $ \int\limits_0^{+\infty} [x] e^{-x} dx $ =

1. $ \frac{e}{e^2 - 1} $
2. $ \frac{1}{e - 1} $
3. $ \frac{e - 1}{e} $
4. $ 1 $
5. $+\infty $

К сожалению, у меня нет идей. Я только доказал, что он сходится. ($ \int\limits_0^{+\infty} \frac{x}{e^{x}} dx $ сходится, а $ \forall x \ge 0 $ выполняется неравенство $\frac{x}{e^{x}} \ge \frac{[x]}{e^{x}} $).
Подскажите, пожалуйста.

P.S.
В оригинале текста задания на самом деле было не $ [x] $, а несколько другое обозначение «максимального целого, не превышающего $ x $». Без палочек сверху. Но я не смог найти этих символов в справочнике.

[id]

JollyRoger
А возьмите его по кусочкам, где $[x]$ постоянен. Получится ряд из интегралов, посчитайте интегралы. Получится просто ряд, распишите его первые несколько сумм и все станет ясно.

[venco]

Разбейте интеграл на интервалы $[k,k+1]$, и просуммируйте получившийся ряд.

[JollyRoger]

Нужно найти $ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}e^{-n} $?
Это получилось у меня из того, что $ \int\limits_1^{2} \frac{1}{e^{x}} dx = -e^{-2} + e^{-1} $, $ \int\limits_2^{3} \frac{2}{e^{x}} dx = -2e^{-3} + 2e^{-2} $, $ \int\limits_3^{4} \frac{3}{e^{x}} dx = -3e^{-4} + 3e^{-3} $ и т.д.

[id]

JollyRoger
Да, оно.

[JollyRoger]

id, это очень простой ряд? Какой ответ получается, знаете? Мы просто ряды не проходили, я не в курсе.

[id]

JollyRoger
Ну это же геометрическая прогрессия со знаменателем меньше единицы. $S = \frac {a_1} {1-q}$

[JollyRoger]

id, Спасибо!

[ИСН]

Вот Вам заодно палочки, вдруг ещё пригодятся. $\lceil x\rceil, \lfloor x\rfloor$