Помогите разобраться с дифференцируемостью

[мат-ламер]

Показать, что функция $f(x,y)= \sqrt[3]{x^3+y^3}$ не дифференцируема в нуле (Тер-Крикоров, Шабунин. Курс матанализа. стр.244). Имеется в виду дифференцируемость по Фреше. Попытки решения. 1) Пробовал прочитать в учебнике. Не догоняю. 2) Пробовал продифференцировать по Гато в нуле. Получилось. Более того, по-видимому, эта производная непрерывна от угла и заключена в некоторых пределах, откуда возможно следует и дифференцируемость по Фреше. 3) Maple показывает гладкий график. Посмотрел первую страницу учебника. Издание третье, исправленное. Была бы ошибка в книге - уже бы давно исправили.

[Anna Andrevna]

Мне кажется, тут нужно аккуратно написать, по определению, приращение функции в точке $(0,0)$ и посмотреть на остаток, будет ли он бесконечно малым пр одновременном стремлении приращения по x и по y к нулю.

[ewert]

Очевидно, что частные производные по иксу и по игреку в начале координат существуют и равны единице. Это означает вот что: если бы была дифференцируемость по Фреше в начале координат, то должно было бы быть $\sqrt[3]{x^3+y^3}=1\cdot x+1\cdot y+o(r),$ где $r\equiv\sqrt{x^2+y^2}\to0.$ Т.е. $\sqrt[3]{\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}=\cos\varphi+\sin\varphi+o(1)$ при $r\to0.$ Ну последнее утверждение очевидно неверно.

Или то же самое, но чуть иначе. Из дифференцируемости по Фреше следует существование производных по любому направлению, причём эти производные зависят от угла вполне определённым образом. Здесь же производные по всем направлениям действительно существуют, но их зависимость от угла -- "неправильная".

[мат-ламер]

Anna Andrevna в сообщении #228923 писал(а):

Мне кажется, тут нужно аккуратно написать, по определению, приращение функции в точке $(0,0)$

. Может кто подскажет, как это сделать? Формула Тейлора напрямую неприменима. Попытки перейти к полярным координатам пока успехом не увенчались (из-за слабости в тригонометрии).

ewert в сообщении #228924 писал(а):

Т.е. $\sqrt[3]{\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}=\cos\varphi+\sin\varphi+o(1)$ при $r\to0.$

Что означает эта запись?
Вспоминается теорема, что если у функции в окрестности точки существуют частные производные по каждой из координат, (непрерывные в этой окрестности), то существует и произоводная по совокупности переменных (по Фреше). Попробую подумать в этом направлении.

-- Ср июл 15, 2009 11:23:53 --

Цитата:

Здесь же производные по всем направлениям действительно существуют, но их зависимость от угла -- "неправильная".

Пока мне это не очевидно. Буду разбираться. Линии уровня $x^3+y^3=c$ достаточно гладкие.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #228933 писал(а):

ewert в сообщении #228924 писал(а):

Т.е. $\sqrt[3]{\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}=\cos\varphi+\sin\varphi+o(1)$ при $r\to0.$

Что означает эта запись?

Запись "$o(1)$ при $r\to0$" означает, что это слагаемое стремится к нулю при $r\to0$ равномерно по всему остальному (в данном случае -- равномерно по всем $\varphi$). Однако два других выражения в том равенстве при каждом угле существенно различаются, и разность между ними никак не может стремится к нулю при $r\to0$ -- просто потому, что она вообще от $r$ не зависит.

мат-ламер в сообщении #228933 писал(а):

Вспоминается теорема, что если у функции в окрестности точки существуют частные производные по каждой из координат, (непрерывные в этой окрестности), то существует и произоводная по совокупности переменных (по Фреше). Попробую подумать в этом направлении.

В эту сторону даже и не думайте думать -- логика неправильная. Вам понадобилось бы обратное утверждение: дескать, из дифференцируемости по Фреше следует существование и непрерывность частных производных. Но это утверждение неверно.

мат-ламер в сообщении #228933 писал(а):

Линии уровня $x^3+y^3=c$ достаточно гладкие.

Да гладкие-то они гладкие, только вот их гладкость "ухудшается" по мере приближения к нулю. Так что ни о чём эта гладкость сама по себе не говорит.

[Anna Andrevna]

$f(x,y) - f(0,0) = f_x\,x + f_y\,y + \alpha(x,y) \sqrt{x^2+y^2}$
Осталось показать, что $\alpha$ не стремится к нулю хотя бы при каком-то стремлении к нулю переменных. Например, $x_k=y_k = 1/k$

[мат-ламер]

Если исходную функцию записать в полярных координатах и взять производную от $R$, то получим выражение $ \sqrt[3]{ \cos^3 \phi + \sin^3 \phi}$, что является непрерывной функцией от $\phi$. Т.е. производная по Гато непрерывна. Пока склоняюсь к мысли о дифференцируемости исходной функции.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #229004 писал(а):

Т.е. производная по Гато непрерывна. Пока склоняюсь к мысли о дифференцируемости исходной функции.

Ну непрерывна по "фи", и что? -- это вовсе не означает дифференцируемости по Фреше, с какой стати-то.

[мат-ламер]

Алексеев, Тихомиров и Фомин. Оптимальное управление. Стр. 149. Следствие 2. Если по простому сказать то, что они там пишут, то из непрерывной дифференцируемости по Гато следует дифференцируемость по Фреше. Но там заумно сформулировано. Может я не так понял. Посмотрю Зорича.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #229035 писал(а):

из непрерывной дифференцируемости по Гато следует дифференцируемость по Фреше.

ну следует, только Вам-то это зачем -- Вам же нужно обратное.

----------------------------------------------------
А-а, кажется, понял. Вам вроде кажется, что из непрерывности по углам следует непрерывность ваще. Ну так и нет. Вот Ваша задачка -- и контрпример.

[мат-ламер]

Сейчас уже склоняюь к недифференцируемости. Во-первых, посмотрел внимательнее Тер-Крикорова. Хотя бы положить $x=y$. Если есть дифференцируемость, то имели бы $ \sqrt[3]{2x^3}=2x+o( \sqrt{x^2+y^2})$, что ерунда. Во-вторых, внимательнее посмотрел предыдущие посты и Анна Андреевна об этом уже писала. В третьих, попытаюсь разобраться с Алексевым. Что-то там я не так понял. Ввело в заблуждение, что MAPLE нарисовал очень гладкий график.

-- Ср июл 15, 2009 15:52:23 --

Кстати, цитата из Алексеева. (Оптимальное управление, стр.150.). "Этим замечанием постоянно пользуются при проверке дифференцируемости конкретных функционалов: доказывается существование производной Гато и проверяется её непрерывность, а это уже гарантирует строгую дифференцируемость (и, значит, существование производной Фреше)". Может я не так понял производную по Гато?