Ну чтож. Вот обещанное решение. Итак:
Дано: Невесомая цилиндрическая катушка радиусом R, на которую намотана нитка массой M, катится по горизонтальной неподвижной поверхности без проскальзывания таким образом, что нитка разматывается и остается лежать на поверхности. В начальный момент времени вся нитка намотана на катушку в N оборотов (N>0, N - не обязательно целое), конец нитки, с которого начинается разматывание, находится в точке касания катушки и поверхности, центр катушки движется со скоростью
![$\[v_0 \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/8/0c8fd19bef94c39a6be8b27450aa76a482.png "$\[v_0 \]$")
Задача:Исследовать движение катушки.
Решение:Схема системы представлена на следующем рисунке:
Сразу переведём угол намотки нити из оборотов в радианы и в дальнейшем будем оперировать этой величиной.
![$\[\Phi = 2\pi N\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/9/d19fd19fe1c1baf119b2bd6bd495526882.png "$\[\Phi = 2\pi N\]$")
Ось x направлена горизонтально влево, отсчёт ведется от начального положения центра катушки, ось y - вертикально вверх, отсчёт ведётся от опорной поверхности.
На рисунке изображен момент времени, когда центр катушки движется со скоростью v влево, при этом угловая скорость вращения катушки равна
![$\[\omega = \frac{v}{R}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/3/c6377f777a7e22f267b4e636150ff75082.png "$\[\omega = \frac{v}{R}\]$")
, угол намотки нити, ещё остающейся на катушке, равен
![$\[\varphi \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/f/edf5ca79880b61052bafaad6fd4df33482.png "$\[\varphi \]$")
Очевидно,
![$\[\omega = - \dot \varphi \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/a/f9ad6c6c45afbb79cc842595fabf05e982.png "$\[\omega = - \dot \varphi \]$")
Рассмотрим малый фрагмент нити (т.A на рисунке), занимающий на катушке угловой диапазон
![$\[d\alpha \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/e/34e6699da53bdd5681ca0f70366c947782.png "$\[d\alpha \]$")
и отстоящий от вертикали OO' на угол
![$\[\alpha \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/b/a0b2054e7bad2f2818e3ff801fa7a41882.png "$\[\alpha \]$")
. Вектор скорости этого фрагмента в его относительном движении относительно центра катушки (т.O) обозначим
![$\[{\vec u}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/1/7419d96a8f96dd502a543703533e47b782.png "$\[{\vec u}\]$")
, - очевидно,
![$\[u=v=\omega R\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/b/cfb3b381146b99369c9dee46a4c5ccaf82.png "$\[u=v=\omega R\]$")
, вектор скорости этого фрагмента относительно неподвижной опоры обозначим
![$\[{\vec u'}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/2/c32647cee754bf4d5df715845e0e9a1882.png "$\[{\vec u'}\]$")
, - очевидно,
![$\[u' = \omega l\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/1/871fe00de203218f49e870ffe648659682.png "$\[u' = \omega l\]$")
, где
l=|AO'| - расстояние от фрагмента до мгновенного центра вращения катушки, точки касания O'. Масса этого фрагмента, очевидно, равна
![$\[dm = \frac{m}{\Phi }d\alpha \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/a/1fac8ca7a19f71b12f123e79ec8fa93582.png "$\[dm = \frac{m}{\Phi }d\alpha \]$")
.
Для составления уравнения динамики катушки в качестве обобщенной переменной выберем
. Получим выражение для кинетической и потенциальной энергии рассматриваемого фрагмента:
![$\[dT = \frac{1}{2}u'^2 dm = \frac{m}{{2\Phi }}u'^2 d\alpha = \frac{m}{{2\Phi }}(\omega l)^2 d\alpha = \frac{{m\omega ^2 R^2 }}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/3/383b7b71bf4bdc93a080e96e26b7149582.png "$\[dT = \frac{1}{2}u'^2 dm = \frac{m}{{2\Phi }}u'^2 d\alpha = \frac{m}{{2\Phi }}(\omega l)^2 d\alpha = \frac{{m\omega ^2 R^2 }}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha \]$")
,
так как согласно теореме косинусов
![$\[l^2 = 2R^2 (1 - \cos \alpha )\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/3/5d37b41c0e5c41e7049b57dd58dd94e682.png "$\[l^2 = 2R^2 (1 - \cos \alpha )\]$")
![$\[d\Pi = ghdm = gR(1 - \cos \alpha )\frac{m}{\Phi }d\alpha \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/3/863dc8276f3337a8809875c701c975ee82.png "$\[d\Pi = ghdm = gR(1 - \cos \alpha )\frac{m}{\Phi }d\alpha \]$")
,
где
h=|O'B| - y-координата нашего фрагмента.
Интегрируем данные выражения в пределах от 0 до угла намотки, получаем выражение для кинетической и потенциальной энергии катушки с нитью:
![$\[T = \int\limits_{\alpha = o}^{\alpha = \phi } {dT = } \int\limits_o^\phi {\frac{{m\omega ^2 R^2 }}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha = } \frac{{m\omega ^2 R^2 }}{\Phi }(\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/9/2f9a18f0df9731189d3282faaf391b9f82.png "$\[T = \int\limits_{\alpha = o}^{\alpha = \phi } {dT = } \int\limits_o^\phi {\frac{{m\omega ^2 R^2 }}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha = } \frac{{m\omega ^2 R^2 }}{\Phi }(\phi - \sin \phi )\]$")
![$\[\Pi = \int\limits_{\alpha = o}^{\alpha = \phi } {d\Pi = } \int\limits_o^\phi {\frac{{mgR}}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha = } \frac{{mgR}}{\Phi }(\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/4/054b57ad2f22ea215ce67e28490637db82.png "$\[\Pi = \int\limits_{\alpha = o}^{\alpha = \phi } {d\Pi = } \int\limits_o^\phi {\frac{{mgR}}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha = } \frac{{mgR}}{\Phi }(\phi - \sin \phi )\]$")
Далее составляем уравнение динамики. Прежде всего отметим, что со стороны опоры на катушку действует нормальная реакция и сила трения покоя. Обе эти силы не совершают работы, т.е. связи, обусловленные ими, являются идеальными, поэтому в уравнение динамики они не войдут.
Записываем выражение для лагранжиана:
![$\[L = T - \Pi = \frac{{mR^2 }}{\Phi }(\omega ^2 - \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi ) = \frac{{mR^2 }}{\Phi }(\dot \phi ^2 - \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/0/900e9eff0d93f0c1d2ab8c11d5f645f482.png "$\[L = T - \Pi = \frac{{mR^2 }}{\Phi }(\omega ^2 - \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi ) = \frac{{mR^2 }}{\Phi }(\dot \phi ^2 - \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi )\]$")
Составляем уравнение Лагранжа II рода:
![$\[\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} = \frac{{mR^2 }}{\Phi }2\dot \phi (\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/b/adb0e20b0f728ac8741f417e1491ad9a82.png "$\[\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} = \frac{{mR^2 }}{\Phi }2\dot \phi (\phi - \sin \phi )\]$")
![$\[\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} = \frac{{2mR^2 }}{\Phi }(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi ))\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/a/ffaf095cf47babfcec0e2ea3447c69b382.png "$\[\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} = \frac{{2mR^2 }}{\Phi }(\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + \dot \phi ^2 (1 - \cos \phi ))\]$")
![$\[\frac{{\partial L}}{{\partial \phi }} = \frac{{mR^2 }}{\Phi }(\dot \phi ^2 - \frac{g}{R})(1 - \cos \phi )\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/0/9009bc008f9d53a4a3c1211b0e35e57682.png "$\[\frac{{\partial L}}{{\partial \phi }} = \frac{{mR^2 }}{\Phi }(\dot \phi ^2 - \frac{g}{R})(1 - \cos \phi )\]$")
![$\[\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} - \frac{{\partial L}}{{\partial \phi }} = \frac{{mR^2 }}{\Phi }(2\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + (\dot \phi ^2 + \frac{g}{R})(1 - \cos \phi )) = 0\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/6/016b2cfd2ec58c82b1f65d4b41603fa182.png "$\[\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi }} - \frac{{\partial L}}{{\partial \phi }} = \frac{{mR^2 }}{\Phi }(2\ddot \phi (\phi - \sin \phi ) + (\dot \phi ^2 + \frac{g}{R})(1 - \cos \phi )) = 0\]$")
Обращаем внимание, что если домножить полученное уравнение динамики на
![$\[\dot \varphi \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/9/52941554be647ebe09654bd5a4a698b482.png "$\[\dot \varphi \]")
мы получим полный дифференциал:
![$\[\frac{d}{{dt}}((\dot \phi ^2 + \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi )) = 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/9/18901c7fa2562414358017fcb3f0660182.png "$\[\frac{d}{{dt}}((\dot \phi ^2 + \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi )) = 0\]$")
Отсюда получаем первый интеграл уравнения движения:
![$\[(\dot \phi ^2 + \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi ) = const\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/f/1cfa8a05a92c1dd931a0b5612c51090382.png "$\[(\dot \phi ^2 + \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi ) = const\]$")
Легко убедиться, что он выражает закон сохранения энергии, поэтому может быть получен гораздо проще:
![$\[E = T + \Pi = \frac{{mR^2 }}{\Phi }(\dot \phi ^2 + \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi ) = const\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/5/b8505a45a1981aabcfc0094c715eb48d82.png "$\[E = T + \Pi = \frac{{mR^2 }}{\Phi }(\dot \phi ^2 + \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi ) = const\]$")
Подставляем в это уравнение данные для начальных условий:
![$\[\begin{array}{l} \phi (0) = \Phi \\ \omega (0) = \omega _0 = \frac{{v_0 }}{R} \\ \end{array}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/f/ddfba1f0e008424aebc2bfc3263a032c82.png "$\[\begin{array}{l} \phi (0) = \Phi \\ \omega (0) = \omega _0 = \frac{{v_0 }}{R} \\ \end{array}\]$")
Получаем:
![$\[(\frac{{v^2 }}{{R^2 }} + \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi ) = (\frac{{v_0 ^2 }}{{R^2 }} + \frac{g}{R})(\Phi - \sin \Phi )\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/4/dc45c103479393ac76cb1a7ca57d30dd82.png "$\[(\frac{{v^2 }}{{R^2 }} + \frac{g}{R})(\phi - \sin \phi ) = (\frac{{v_0 ^2 }}{{R^2 }} + \frac{g}{R})(\Phi - \sin \Phi )\]$")
Данное уравнение существенно нелинейное, поэтому проинтегрировать его ещё раз и получить явную зависимость
![$\[\phi (t)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/2/ae2ec97c1dbc7f95e49c7a56e5bf735582.png "$\[\phi (t)\]$")
в элементарных функциях невозможно. Однако определённые параметры движения можно найти и из такого выражения.
Запишем выражение для скорости в зависимости от угла намотки:
![$\[v = \sqrt {(v_0 ^2 + gR)\frac{{\Phi - \sin \Phi }}{{\phi - \sin \phi }} - gR} \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/5/1f586b16e4732ff2ed59872c0fd80e6b82.png "$\[v = \sqrt {(v_0 ^2 + gR)\frac{{\Phi - \sin \Phi }}{{\phi - \sin \phi }} - gR} \]$")
Из этого выражения очевидно, что скорость катушки монотонно возрастает по мере разматывания нити, т.к. функция
![$\[{\phi - \sin \phi }\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/2/6f2ba1b70d4d40a913dcc1de4752ec8e82.png "$\[{\phi - \sin \phi }\]$")
является возрастающей. Теперь исследуем, как ведет себя горизонтальная составляющая импульса катушки с ниткой. Для подсчета этой компоненты импульса сначала запишем выражение для импульса малого фрагмента нити:
![$\[dp_x = dm \cdot v(1 - \cos \alpha ) = \frac{{mv}}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/8/b380cb4aef3fab68b99af6363f989fae82.png "$\[dp_x = dm \cdot v(1 - \cos \alpha ) = \frac{{mv}}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha \]$")
Интегрируем по углу намотки, получаем:
![$\[p_x = \int\limits_{\alpha = o}^{\alpha = \phi } {dp_x = } \int\limits_o^\phi {\frac{{mv}}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha = } \frac{{mv}}{\Phi }(\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/0/1b0bf76f3f20dd5bcf30955cab8c2fc482.png "$\[p_x = \int\limits_{\alpha = o}^{\alpha = \phi } {dp_x = } \int\limits_o^\phi {\frac{{mv}}{\Phi }(1 - \cos \alpha )d\alpha = } \frac{{mv}}{\Phi }(\phi - \sin \phi )\]$")
Подставляем выражение для
v, получаем:
![$\[p_x = \frac{m}{\Phi }\sqrt {(v_0 ^2 + gR)(\Phi - \sin \Phi )(\phi - \sin \phi ) - gR(\phi - \sin \phi )^2 }\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/d/d6d2874af788f826de56ded315ff8ca182.png "$\[p_x = \frac{m}{\Phi }\sqrt {(v_0 ^2 + gR)(\Phi - \sin \Phi )(\phi - \sin \phi ) - gR(\phi - \sin \phi )^2 }\]$")
Исследуем это выражение на экстремум, для этого находим положения, в которых его производная обращается в нуль, для удобства берем производную от квадрата импульса, чтобы не "тащить" в уравнение корни:
![$\[\frac{{\Phi ^2 }}{{m^2 }}\frac{{d(p_x ^2 )}}{{dt}} = \dot \phi (1 - \cos \phi )((v_0 ^2 + gR)(\Phi - \sin \Phi ) - 2gR(\phi - \sin \phi )) = 0\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/c/aec5bd8998bd2ba33990cd338a00037182.png "$\[\frac{{\Phi ^2 }}{{m^2 }}\frac{{d(p_x ^2 )}}{{dt}} = \dot \phi (1 - \cos \phi )((v_0 ^2 + gR)(\Phi - \sin \Phi ) - 2gR(\phi - \sin \phi )) = 0\]$")
![$\[{\dot \phi }\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/3/b13ecd4189129abe087af4c1141e3c3282.png "$\[{\dot \phi }\]$")
всюду в исследуемой области отрицательна, поэтому мы можем сократить его. Решение
![$\[\cos \phi = 1\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/b/5fb0204a0efe1737a3f272a2aec01df882.png "$\[\cos \phi = 1\]$")
соответствует моменту времени, когда на катушке остается целое число витков (
![$\[\cos = 2\pi k\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/d/10d3d592ab0907e3aa7496ca5918132d82.png "$\[\cos = 2\pi k\]$")
), катушка с ниткой цилиндрически симметрична, сил трения покоя не возникает и мгновенное изменение импульса равно нулю. Это решение не может соответствовать экстремуму импульса, т.к. производная не может для него изменить знак, поскольку
![$\[\forall \phi :1 - \cos \phi \ge 0\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/c/6bc35f7170607e7ab811f3587a48d45382.png "$\[\forall \phi :1 - \cos \phi \ge 0\]$")
. Остается следующее решение:
![$\[(v_0 ^2 + gR)(\Phi - \sin \Phi ) = (v^2 + gR)(\phi - \sin \phi ) = 2gR(\phi - \sin \phi )\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/8/da892c85085a878e7dc449176b9a2d1382.png "$\[(v_0 ^2 + gR)(\Phi - \sin \Phi ) = (v^2 + gR)(\phi - \sin \phi ) = 2gR(\phi - \sin \phi )\]$")
,
откуда получаем условие для граничного значения скорости:
![$\[ v_{lim} = \sqrt {gR} \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/6/646fe4627cf000e7d969511b393ddee982.png "$\[ v_{lim} = \sqrt {gR} \]$")
.
Если скорость катушки меньше этого значения, то возникающая в системе сила трения покоя работает на ускорение катушки (направлена влево на рисунке), вследствие чего её горизонтальный импульс растёт, если же она превышает это значение, то сила трения покоя работает на торможение катушки (направлена вправо на рисунке), вследствие чего её горизонтальный импульс уменьшается (а скорость всё равно растёт при этом!). Очевидно, такой момент времени может быть только один (ну если начальная скорость не выше критической, конечно - тогда ни одного).
Найти угол намотки, при котором сила трения покоя меняет свое направление и горизонтальный импульс катушки начинает уменьшаться по величине, можно из следующего уравнения:
![$\[\phi - \sin \phi = \frac{1}{2}(1 + \frac{{v_0 ^2 }}{{gR}})(\Phi - \sin \Phi )\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/9/9099c459eb7d8a4c013e404bdf23b7fa82.png "$\[\phi - \sin \phi = \frac{1}{2}(1 + \frac{{v_0 ^2 }}{{gR}})(\Phi - \sin \Phi )\]$")
Максимальный горизонтальный импульс при этом составит следующую величину:
![$\[p_x _{\max } = \frac{m}{{2\sqrt {gR} }}(1 - \frac{{\sin \Phi }}{\Phi })\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/1/b214b64d7bca3df68519e20ab53e528682.png "$\[p_x _{\max } = \frac{m}{{2\sqrt {gR} }}(1 - \frac{{\sin \Phi }}{\Phi })\]$")
Больше у меня никаких мыслей на эту тему нет.
PS. Вопрос о вертикальном импульсе и о том, подпрыгнет катушка или нет, пока оставлю открытым. У меня получается, что подпрыгнет. Но никакую часть тела на отсечение не дам.
Потому как к такому выводу я пришёл на основании "анализа бесконечно малых", вполне мог и ошибиться. Так что дискуссия по этому вопросе остаётся открытой.
. Соответственно для нормальной реакции опоры получаем 
. Пробовал строить график для 
. Отрицательных значений не видно. Поэтому, если я ничего не напутал, то отрыв может и не происходить.
![$\[{\phi - \sin \phi }\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/f/57fab5dc089dedb932bbce1b00d4bb7782.png "$\[{\phi - \sin \phi }\]$")
является возрастающей. 
Это нестрого, но для меня достаточно убедительно.![$\[v(\phi )\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/0/470c41fc210f2a3258a4c8491c8aaae982.png "$\[v(\phi )\]$")
- убывающая функция. Но катушка-то разматывается, 
убывает, ![$\[\frac{{dp_y }}{{dt}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/0/030c5f6a9658df14108a23721f9d999882.png "$\[\frac{{dp_y }}{{dt}}\]$")
как функции ![$\[\phi \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/380cf34290c3fd3b043e15c8446aca2382.png "$\[\phi \]$")
для чего формально продифференцируйте по времени выражение для ![$\[{p_y (t)}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/8/0087a512433738ea4113fe868943f78b82.png "$\[{p_y (t)}\]$")
, затем замените ![$\[{\ddot \phi }\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/5/ff54bf733116f9f7af9defc31dd21eea82.png "$\[{\ddot \phi }\]$")
выражением, полученным из уравнения динамики, затем замените ![$\[\dot \phi ^2 \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/c/59c94e23fb54333d0a729c1a1c30dfaf82.png "$\[\dot \phi ^2 \]$")
эквивалентным выражением, не содержащим производных по времени - его можно получить из формулы для ![$\[\phi \to 0\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/8/bd8a0d3e2e87891ea4bf015d68c68f3182.png "$\[\phi \to 0\]$")
и выложите результат здесь. 
. Предел я искал получается бесконечность со знаком плюс. Ошибиться со знаком, кстати, очень легко, но я проверял три раза. Построение графика подсказало мне, что я не ошибся.