Доказательство теорем Коши

[T_Anton]

Задача № 608 из Демидовича.
Доказать теоремы Коши: если функция f(x) определена в интервале (a, +$\infty$) и ограничена в каждом конечном интервале (a, b), то

а) $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} [f(x+1) - f(x)];$

б) $\lim\limits_{x \to \infty} [f(x)]^\frac{1}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x+1)}{f(x)};$ $(f(x)\geqslant C>0)$,

предполагая, что пределы в правых частях существуют.

Пункт б) я доказал, используя пункт а).
Пункт а) для функций, имеющих конечный предел при стремлении аргумента к бесконечности, очевиден. Но как доказать, что и для функции, имеющей бесконечный предел, теорема а) справедлива? (например, для функции f(x)=x она справедлива)
Ведь если х стремится к бесконечности, то ограниченность функции на любом КОНЕЧНОМ интервале не может помочь в доказательстве.

Объясните, плиз, где я не прав.

[Capella]

А что Вас беспокоит конкретно? То, что в левой части Вы получите вот такое выражение $\frac {\infty} {\infty}$? Оно решается с помощью Лопиталя. В правой части, надо полагать, следует сначала упростить выражение в скобках...
Вот несколько полезных правил:
$\lim\limits_{x\to a}f(x) \pm \lim\limits_{x \to a}g(x) = \lim\limits_{x \to a} (f(x) \pm g(x))$
$\frac {\lim\limits_{x \to a} f(x)} {\lim\limits_{x \to z} g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)}, \phantom{0} \text{если} \phantom{0} g(x) \ne 0 $

[bot]

Правило Лопиталя здесь не работает - функция может и не быть дифференцируемой. Кстати, аналог этой теоремы для последовательностей - это теорема Штольца.
Имхо, и то и другое должно быть в Фихтенгольце.

[Brukvalub]

Эту задачу нетрудно решить при помощи теоремы Теплица, которую вы легко отыщете в первом томе учебника Г.М.Фихтенгольца Курс дифференциального и интегрального исчисления.

[T_Anton]

Большое всем спасибо. Штольц помог.

Только возник вопрос: а для чего в условии задано, что функция ограничена? Ведь в доказательстве это не используется.

[bot]

Хм, если Штольц и может помочь, то вряд ли так прямо - скорее может на мысль натолкнуть. Похоже, по Тёплицу лучше.

А ограниченность здесь явно не лишняя. Например, положим

$f(x)=\tg \pi x$, если правая часть определена и
$f(x)=0$ - в противном случае.

Тогда $\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x+1) - f(x)] = 0 $, а $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ не существует.

[Руст]

Если существует предел правой части и он равен q, то для любого малого числа d начиная с x>N выполняется [x](q-d)-C1<f(x)<[x](q+d)+C2. Отсюда очевидно, что существует левый предел и он равен правому.

[T_Anton]

Цитата:

...теоремы Теплица, которую вы легко отыщете в первом томе учебника Г.М.Фихтенгольца...

Просмотрел алфавитный указатель, содержание, текст, но так и не нашёл. В Кудрявцеве точно этой теоремы нет, т.к. именно по нему я учусь. Подскажите параграф из Фихтенгольца, плиз. Интересно узнать, что за теорема такая.

2 Руст

Цитата:

Если существует предел правой части и он равен q, то для любого малого числа d начиная с x>N выполняется [x](q-d)-C1<f(x)<[x](q+d)+C2.

Вывод из этого утверждения очевиден. Только почему оно выполняется? Не доходит до меня.

[bot]

Руст по сути сказал следующее: теорему Коши лучше всего доказывать по Коши.
Возьмите $\epsilon$. Тогда при подходящем $\Delta$ будут выполняться неравенства $q-\frac{\epsilon}{2} < f(x+1)-f(x)< q+\frac{\epsilon}{2}$ для всех $x>\Delta$.
Для любого такого $x>\Delta$ возьмите $x_0 \in [\Delta, \Delta + 1]$ так, чтобы разность $x-x_0$ была целой и оцените разность значений
$f(x)-f(x_0) = f(x)-f(x-1)+ f(x-1)-f(x-2)+ ...$ с двух сторон.
У вас получится:
$q-\frac{\epsilon}{2} < \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}< q+\frac{\epsilon}{2}$
Теперь оцените разность:
$\frac{f(x)}{x} - \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
Вот здесь Вам и понадобится ограниченность $f(x)$ и потребуется увеличить исходное $\Delta$, чтобы сделать последнюю разность меньше $\frac{\epsilon}{2}$

[Brukvalub]

Точной ссылки на теорему Теплица сейчас дать не могу- под рукой нет 1-го тома Фихтенгольца. Приведу одну из эквивалентных формулировок, которая поможет Вам решить задачу о теореме Коши:
Пусть для всех точек полуинтервала ( с , с+1] выполнены условия:
1)$\phi _{n\;k} \geqslant 0,\;k = 1...n.$
2)$\sum\limits_{k = 1}^n {\phi _{n\;k} (x) \equiv 1} $
3) при каждом фиксированном к $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \phi _{n\;k} (x) = 0$
4) $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n (x) = a$
Тогда $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\phi _{n\;k} (x)} f_k (x) = a$
Теперь достаточно выбрать $\phi _{n\;1} (x) = \frac{{x + 1}} {{x + n}}$ и $\phi _{n\;k} (x) = \frac{1} {{x + n}}\quad k = 2...n$
Остальные детали додумайте Сами.

[T_Anton]

Цитата:

Вот здесь Вам и понадобится ограниченность $f(x)$ и потребуется увеличить исходное $\Delta$, чтобы сделать последнюю разность меньше $\frac{\epsilon}{2}$

Предыдущее соотношение я получил, благодаря Вашей помощи, но процитированное
честно скажу - не понимаю. Прежде всего потому, что в условии задачи указана ограниченность функции на конечном интервале. А интервал [$x_0$, $x$], как я понимаю, не является конечным, т.к. $x_0$ и $x$ больше, либо равно $\Delta$, которое может быть сколь угодно большим.

Вот если бы $x_0$ было бы конечным (а значит и $f(x_0)$ тоже было бы конечным, в силу ограниченности функции), то в $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ можно было бы "пренебречь" $x_0$ и $f(x_0)$ и тогда всё было бы доказано.

Кстати, по поводу доказательства по Штольцу.
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{f(x_n)}{x_n}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{f(x_n_+_1)-f(x_n)}{x_n_+_1-x_n}$
Полагаем, что $x_n=n$, тогда
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{f(x_n_+_1)-f(x_n)}{x_n_+_1-x_n}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n}=\lim\limits_{n \to \infty}[f(n+1)-f(n)]=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{f(n)}{n}$ , ч. т. д.
Правда $x$ в этом случае натуральное, а не действительное. Но в случае стремления к бесконечности разницы же нет?

[bot]

T_Anton писал(а):

процитированное честно скажу - не понимаю.

Действительно прокосячил - считал, что f ограничена на всём бесконечном интервале. Тогда всё работает.
По Тёплицу (тоже нет под рукой Фихтенгольца) - это примерно то же самое, как теорема Штольца вытекает из преобразования ряда треугольного типа с конечным числом коэффициентов в каждой строчке и с суммой, равной 1. Если правильно помню со студенческих времён - преобразованием Чезаро называется.

Цитата:

Кстати, по поводу доказательства по Штольцу.

Для функций не пойдёт, так как из существования предела по избранной последовательности точек не следует существование предела функции - требуется (определение предела по Гейне) чтобы предел существовал для любого выбора этой последовательности, убегающей в бесконечность, а у Вас

Цитата:

$x$ в этом случае натуральное, а не действительное. Но в случае стремления к бесконечности разницы же нет?

Есть разница. Не случайно в теореме Штольца нет требования ограниченности. Ну и пример с $\tg \pi x$, который я приводил, на это же указывает.

Я не знаю, есть ли возможность здесь уклониться от рассмотрения треугольного процесса - несколько попыток приводили к его неизбежности. Иначе говоря, следует воспользоваться подсказкой от Brukvalub. Можно конечно доказывать теорему Коши следуя доказательству теоремы Тёплица, но что-то мне не кажется, что это окажется проще доказательства самой теоремы Тёплица.

[T_Anton]

Спасибо всем за помощь.