Блочная матрица

[Ulrih]

Имеется симметричная матрица $U$ размерностью $3 \times 3$.
Нужно привести ее к виду:

$$U \to H = H_1 \oplus H_2 = \left( \begin{array}{cc} H_1 & 0 \\ 0 & H_2 \end{array} \right) , $$

$$ H_1 = \left( \begin{array}{cc} H_{11} & H_{12} \\ H_{12} & H_{22} \end{array} \right) $$

$$ H_2 = H_{33} $$

Тупо в лоб делать, на подобии схемы приведения к треугольному виду, не выходит, по числам видно, что есть ошибка. Несколько раз выводил и одна и таже канитель.

[Полосин]

Что означает "привести"? Если допускаются преобразования вида $S=Q^{-1}HQ$, то просто найдите собственные значения (все они окажутся вещественными, в силу симметричности матрицы), постройте базис из собственных векторов и приведите матрицу к диагональному виду. Если допускаются элементарные преобразования (метод Гаусса), т.е. преобразования вида $S=QH$ (или $S=HQ$), где $Q$ - невырожденная, то исходная матрица приводится к диагональному виду с единицами или нулями на главной диагонали (число единиц равно рангу матрицы). Уточните задание и откройте учебник.

[Lyoha]

Ulrih в сообщении #228586 писал(а):

Тупо в лоб делать, на подобии схемы приведения к треугольному виду, не выходит, по числам видно, что есть ошибка. Несколько раз выводил и одна и таже канитель.

Тупо в лоб - это найти собственные значения, из которых хотя бы одно - вещественное, и соответсвующие собственные подпространства.

[bot]

Полосин уже всё сказал ...

Lyoha в сообщении #228603 писал(а):

из которых хотя бы одно - вещественное

Из которых все вещественные.

[TOTAL]

bot в сообщении #228622 писал(а):

Полосин уже всё сказал ...

Lyoha в сообщении #228603 писал(а):

из которых хотя бы одно - вещественное

Из которых все вещественные.

[Ulrih]

Полосин
это Вы описали процедуру диагонализации...
мне же нужно "привести", то есть подвергнуть преобразованию (с или без $Q$) матрицу

$$ \left( \begin{array}{ccс} H_{11} & H_{12} & H_{13} \\ H_{12} & H_{22} & H_{23} \\ H_{13} & H_{23} & H_{33} \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccс} U_{11} & U_{12} & 0 \\ U_{12} & U_{22} & 0 \\ 0 & 0 & U_{33} \end{array} \right) $$

[ИСН]

Ulrih, диагонализация есть частный случай того, что Вы хотите.

[Ulrih]

От того что я хочу, до диагонализации пару знаков равенства...
тога как мне понять:
можно ли применять $U = Q^{-1}H Q$ или $HQ$ или $QH$?
искать собственные значения матрицы $U$ или $Q$?
учебник у меня есть, прочитал параграф о диагонализации и про блочные матрицы.

А почему просто не искать матрицу $Q$ из условия, что элементы матрицы $U$ --- $U_{13}= U_{23}= U_{31}= U_{32} \equiv 0$

[ewert]

Ulrih в сообщении #228871 писал(а):

тога как мне понять:
можно ли применять $U = Q^{-1}H Q$ или $HQ$ или $QH$?

Вам надо просто понять, чего Вы хотите. Т.е. какие преобразования считаются у Вас допустимыми. До тех пор, пока задача не поставлена (а у Вас она не поставлена) -- говорить о её решении бессмысленно.