Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Наконец до конца разобралась с программой построения нетрадиционных магических квадратов 4-го порядка из разных составных смитов.
Здесь были приведены квадраты с магическими константами 1195 и 1267. У меня получился ещё, например, квадрат с магической константой 1276:

22 454 535 265
274 382 58 562
346 319 517 94
634 121 166 355

Затем пошли квадраты с магическими константами 1284, 1384 и т. д.
Если увеличить массив смитов (я использовала в программе массив всего из 30 чисел), может быть, удастся построить четыре квадрата 4х4 с одинаковыми магическими константами, но составленные из разных чисел. Тогда из этих квадратов можно составить нетрадиционный магический квадрат 8-го порядка.
Это новая задача. Кстати, ещё не построен квадрат 5х5 из разных составных смитов (построен только из простых смитов; показан выше).

[tolstopuz]

Nataly-Mak в сообщении #228063 писал(а):

У меня получился ещё, например, квадрат с магической константой 1276:

Есть четыре разных квадрата с такой константой. Естественно, 8x8 из них сложить нельзя - много совпадающих чисел.

Nataly-Mak в сообщении #228063 писал(а):

Затем пошли квадраты с магическими константами 1284, 1384 и т. д.

1305, 1359, 1368, 1377 и целых восемь штук с константой 1384. А вот 1284 у меня нет.

-- Вс июл 12, 2009 16:09:09 --

Nataly-Mak в сообщении #228063 писал(а):

может быть, удастся построить четыре квадрата 4х4 с одинаковыми магическими константами, но составленные из разных чисел

Два уже получается, но дальше надо ускорять программу еще раз в десять, а лучше в сто.

355 1219 627 58   645 958 22 634
861 121 1111 166  85 346 913 915
778 825 202 454   1255 438 562 4
265 94 319 1581   274 517 762 706

Это с константой 2259. Есть еще 2329, 2457, 2851 и 2997. Причем для 2851 второй квадрат можно выбрать пятью способами, но все они имеют общие числа, поэтому трех квадратов не получается.

-- Вс июл 12, 2009 17:39:38 --

Хотя не все так безнадежно, как казалось вначале. Уже и три получается, константа 3888.

895 1795 663 535   1282 1642 645 319
690 94 2182 922    915 391 2227 355
2218 1086 526 58   985 636 634 1633
85 913 517 2373    706 1219 382 1581

861 2839 22 166
562 346 2326 654
1507 438 778 1165
958 265 762 1903

[tolstopuz]

Составной квадрат 8x8 из смитов найден. Но у меня есть интересная идея - вместо того, чтобы просто написать сюда ответ, можно попробовать предложить эту задачу на Project Euler. Моя программа на Питоне работает около 40 минут, то есть на нормальном языке она должна уложиться в рекомендуемую ими минуту.

[Nataly-Mak]

О-о-о!!!!
Я не сомневалась в том, что у вас получится! Вы молодчина.
Вашу идею поддерживаю, предлагайте задачу.
А я сегодня применила ваши квадраты типа "0-9" для построения диагональных латинских квадратов 4-го порядка. Давно собиралась их построить. И вот хорошая идея с вашими квадратами подвернулась. Программа выдала 24 квадрата, пока не смотрела, сколько среди них изоморфных.
Так что идея квадратов типа "0-9" мне очень пригодилась.
P.S. У меня тоже нет квадрата с магической константой 1284, ошиблась (мозги от жары расплавились )

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #226277 писал(а):

В одном из предыдущих постов приведён нетрадиционный магический квадрат 9-го порядка, построенный мной из квадрата, приведённого в книге Чебракова, путём исправления ошибок в этом квадрате. Чебраков утверждает, что приведённый им квадрат является наименьшим из квадратов подобного рода. Предполагаю, что под "наименьшим" автор имеет в виду то, что этот квадрат имеет минимальную магическую константу, возможную для квадратов подобного рода. Однако это утверждение в книге не доказывается. Вместе с тем, мне оно не кажется очевидным.

В статье на MathWorld http://mathworld.wolfram.com/PrimeMagicSquare.html приводятся три варианта минимальных квадратов 3x3 из простых чисел: в первом 1 считается простым числом (как это было принято столетие назад), второй - с классическим определением простых (без 1), в третьем используемые простые образуют арифметическую прогрессию. Минимальная константа во втором случае равна 177. Если у Чебракова она же, то он прав.

В этой связи интересна последовательность A073502 - минимальных возможных магических констант квадратов $n\times n$ из простых чисел (включая единицу), она вычислена вплоть до $n=10$. А вот для классического определения простых известено лишь значение 177 для $n=3$. Может, найдутся желающие вычислить минимальные константы для больших $n$?

Интересна также последовательность A073520 - минимальных возможных магических констант квадратов $n\times n$ составленных из последовательных простых чисел, вычисленная вплоть до $n=6.$ Сами минимальные квадраты такого типа тут такие: A073519 (3x3), A073521 (4x4), A073522 (5x5) и A073523 (6x6).

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #228601 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #226277 писал(а):

В одном из предыдущих постов приведён нетрадиционный магический квадрат 9-го порядка, построенный мной из квадрата, приведённого в книге Чебракова, путём исправления ошибок в этом квадрате. Чебраков утверждает, что приведённый им квадрат является наименьшим из квадратов подобного рода. Предполагаю, что под "наименьшим" автор имеет в виду то, что этот квадрат имеет минимальную магическую константу, возможную для квадратов подобного рода. Однако это утверждение в книге не доказывается. Вместе с тем, мне оно не кажется очевидным.

В статье на MathWorld http://mathworld.wolfram.com/PrimeMagicSquare.html приводятся три варианта минимальных квадратов 3x3 из простых чисел: в первом 1 считается простым числом (как это было принято столетие назад), второй - с классическим определением простых (без 1), в третьем используемые простые образуют арифметическую прогрессию. Минимальная константа во втором случае равна 177. Если у Чебракова она же, то он прав.

В моём сообщении речь идёт о минимальной константе для квадрата 9х9, а не для квадрата 3х3.
Квадрат в книге Чебракова 9х9 составляется из 9 квадратов 3х3, все они имеют разные магические константы. Магическая константа квадрата 9х9 у Чебракова равна 9171.

-- Вт июл 14, 2009 16:18:59 --

Цитата:

В этой связи интересна последовательность A073502 - минимальных возможных магических констант квадратов $n\times n$ из простых чисел (включая единицу), она вычислена вплоть до $n=10$. А вот для классического определения простых известено лишь значение 177 для $n=3$. Может, найдутся желающие вычислить минимальные константы для больших $n$?

Заменив в своей программе массив чисел-смитов на массив простых чисел, начала её выполнение. Первый квадрат, выданный программой:

 3  73  31  13 
 43  19  17  41 
 7  23  61  29 
 67  5  11  37

имеет магическую константу 120. Думаю, что это минимальная константа.
А что вы скажете, tolstopuz?
Для построения квадратов 5х5 у меня тоже есть программа, сейчас попробую построить квадрат с маленькой магической константой (меньше той, которая у квадрата, приведённого выше).

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #228735 писал(а):

Заменив в своей программе массив чисел-смитов на массив простых чисел, начала её выполнение. Первый квадрат, выданный программой:

3  73  31  13
43  19  17  41
7  23  61  29
67  5  11  37

имеет магическую константу 120. Думаю, что это минимальная константа.

Этот же квадрат указан на http://mathworld.wolfram.com/PrimeMagicSquare.html а вот больших квадратов там уже нет.

[Nataly-Mak]

Цитата:

В этой связи интересна последовательность A073502 - минимальных возможных магических констант квадратов $n\times n$ из простых чисел (включая единицу), она вычислена вплоть до $n=10$. А вот для классического определения простых известено лишь значение 177 для $n=3$. Может, найдутся желающие вычислить минимальные константы для больших $n$?

Ничего не понимаю! В вашем сообщении написано, что наименьшие квадраты известны только для 3-го порядка (если не считать число 1 простым числом). Или я читать разучилась? Или вы неправильно дали информацию?
По указанным вами ссылкам я не ходила и что там приведено, не знаю. Основывалась только на тексте вашего сообщения.

[maxal]

Nataly-Mak
Информация была из разных источников. В OEIS написано, что известна только константа 177 для квадратов 3x3, а на MathWorld приведен еще также квадрат 4x4.

[Nataly-Mak]

Сейчас попробовала найти арифметическую прогрессию из простых чисел просто так, без программы. Не так просто! Шесть чисел получились с ходу, например: $7,37,67,97,127,157$ или$11,71,131,191,251,311$. Если найти девять простых чисел, составляющих арифметическую прогрессию, то магический квадрат 3х3 из таких чисел элементарно строится методом террас. Как уже сообщили, такой квадрат построен.
А если удастся найти 25 простых чисел, составляющих арифметическую прогрессию, то можно построить и квадрат 5-го порядка методом террас. Но существуют ли 25 простых чисел, составляющих арифметическую прогрессию?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #228793 писал(а):

Но существуют ли 25 простых чисел, составляющих арифметическую прогрессию?

Существуют арифметические прогрессии из простых любой длины - это теоретически доказанный факт. Но вот найти их практически - проблематично. В частности, длина 25 на данный момент является рекордной - известно лишь две прогрессии такой длины и ни одной большей длины.
См. http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math/aprecords.htm

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #228601 писал(а):

... в первом 1 считается простым числом (как это было принято столетие назад), второй - с классическим определением простых (без 1)...

maxal, не могли бы вы уточнить, кем и когда было дано классическое определение простых чисел.
В знаменитом квадрате 12-го порядка из последовательных нечётных простых чисел, построенном в 1913 году Дж. Манси, число 1 присутствует.
По поводу арифметической прогрессии из 25 простых чисел. Я пошла на указанную вами страницу, но ничего там не поняла. Пожалуйста, приведите первый член и разность хотя бы одной такой арифметической прогрессии из двух известных. Как я поняла, это очень большие числа. Так?
Построить нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка из различных простых чисел (в классическом понимании) с маленькой магической константой мне пока не удалось - очень долго выполняется моя программа, пришлось её прервать.
В книге Чебракова приведены такие квадраты 5х5 с магической константой 845. Но о том, является ли эта константа минимальной, ничего на сказано. Скорее всего, это не так. Вот один из таких квадратов:

109 191 113 353 79
347 137 139 179 43
73 271 167 83 251
53 157 197 199 239
263 89 229 31 233

Кто построит квадрат 5х5 из различных простых чисел с меньшей константой?

[maxal]

Nataly-Mak
Определение на то и классическое, что его корни невозможно отследить. Сейчас общепринято (в частности, в любом современном учебнике по теории чисел), что простые числа начинаются с 2-ки.

Известные арифметические прогрессии длины 25 (для $n=0,1,\dots,24$):
$6171054912832631 + 81737658082080\cdot n$
$2960886048458003 + 523427853658710\cdot n$

[Nataly-Mak]

Спасибо за прогрессии! Можно считать, что два квадрата 5х5 из простых чисел, составляющих арифметическую прогрессию, у нас в кармане Как я уже сказала, они элементарно строятся методом террас.
По поводу классического определения простых чисел я спросила не из праздного любопытства. На форуме Портала ЕН возник спор по этому поводу. Всё началось с проблемы Гольдбаха. Я высказала предположение, что во времена Гольдбаха и Эйлера число 1 считалось простым числом. И, как видно, была права.
Aleks-Sid высказал там глубокомысленное утверждение, что и 2000 лет назад число 1 не считалось простым числом.
О том, что в современной теории чисел число 1 не является простым числом, написано, например, в книге М. Гарднера "Математические досуги".

[Nataly-Mak]

У меня технический вопрос. Только что в мой почтовый ящик пришло уведомление об ответе в этой теме (автор tolstopuz). Сказано, что новое сообщение находится по ссылке:
viewtopic.php?f=28&t=12959&p=228930&e=228930
Но когда я иду по этой ссылке, то прихожу на первую страницу темы.
Никаких новых сообщений в теме я не вижу. Что происходит? Это у меня глюк? Или на форуме?