Почему радианы?

[Евгеша]

Здравствуйте! Меня мучает такой глупый вопрос:

В математике основной единицей измерения углов выступает радиан. Любая тригонометрическая функция вещественному числу x сопоставляет её значение от x радиан, а не, допустим, градусов. Так вот вопрос: почему именно радиан? Он чем-то удобнее или так сложилось исторически?

Сильно не бейте

[VAL]

Евгеша в сообщении #228594 писал(а):

Здравствуйте! Меня мучает такой глупый вопрос:

В математике основной единицей измерения углов выступает радиан. Любая тригонометрическая функция вещественному числу x сопоставляет её значение от x радиан, а не, допустим, градусов. Так вот вопрос: почему именно радиан? Он чем-то удобнее или так сложилось исторически?

Сильно не бейте

А представьте себе синусоиду, которая при изменении аргумента от 0 до 90 меняет свое значение от 0 до 1. Да мы бы ее от прямой не отличили!
А при радианной мере аргумент и значение тригонометрических функций выражены в одних и тех же единицах.

[Lyoha]

Евгеша в сообщении #228594 писал(а):

В математике основной единицей измерения углов выступает радиан. Любая тригонометрическая функция вещественному числу x сопоставляет её значение от x радиан, а не, допустим, градусов. Так вот вопрос: почему именно радиан? Он чем-то удобнее или так сложилось исторически?

Любая функция от радиан замечательно работает от градусов. Но да, радианы любят больше. Для начала стоит записать с использованием различных единиц простейшие выражения: зависимость длины дуги от угла, скорость и ускорение точки, движущейся по окружности. Потом можно будет найти приблизительное значение какой-нибудь тригонометрической функции, в ряд её разложить. Останутся вопросы - спрашивайте.

[TOTAL]

Евгеша в сообщении #228594 писал(а):

Так вот вопрос: почему именно радиан? Он чем-то удобнее или так сложилось исторически?

Удобнее пользоваться градусами. Скажем, при заточке ножа говорят об угле в 15 градусов, при этом все нормальные люди понимают, о чем идет речь. Радианы же придуманы для тех, кто не умеет пользоваться градусами.

[MGM]

TOTAL в сообщении #228612 писал(а):

Евгеша в сообщении #228594 писал(а):

Так вот вопрос: почему именно радиан? Он чем-то удобнее или так сложилось исторически?

Удобнее пользоваться градусами. Скажем, при заточке ножа говорят об угле в 15 градусов, при этом все нормальные люди понимают, о чем идет речь. Радианы же придуманы для тех, кто не умеет пользоваться градусами.

Спорно.
Радианами пользуются трезвенники. Минутами - бизнесмены.
По сути градусы давно стоило бы переименовать в часы.
Тода полный цикл синуса равнялся бы 15 дням, или грубо половине цикла Луны.
Год 24 цикла синуса.
Всё логично.

[vvvv]

Евгеша - это традиция и изьян обучения. Если задана функция y=sin(x), то под (х ) подразумевается ( x есть) вещественное (или комплексное) число, о слове "радиан" можно забыть.Обычно это не подчеркивается, вот и возникают вопросы подобные Вашему.
P.S.
Вышесказанное верно, если не оговорено (не записано), что x задано в градусах.

[MGM]

vvvv в сообщении #228643 писал(а):

Евгеша - это традиция и изьян обучения. Если задана функция y=sin(x), то под (х ) подразумевается ( x есть) вещественное (или комплексное) число, о слове "радиан" можно забыть.Обычно это не подчеркивается, вот и возникают вопросы подобные Вашему.
P.S.
Вышесказанное верно, если не оговорено (не записано), что x задано в градусах.

Но согласитесь, в геометрии всем известно, что синус тридцати градусов равен одной второй.
Вы можете здесь изобразить число (а не символ), которое будучи аргументом функции sin дало бы
ровно 0.5.
Не уверен, что это вообще возможно.

[AKM]

Евгеша в сообщении #228594 писал(а):

Меня мучает такой глупый вопрос:

В математике основной единицей измерения углов выступает радиан. Любая тригонометрическая функция вещественному числу x сопоставляет её значение от x радиан, а не, допустим, градусов. Так вот вопрос: почему именно радиан? Он чем-то удобнее или так сложилось исторически?

Вопрос вовсе не глупый. Замечу, что $360^\circ$ вовсе не всеобщая единица. Геодезисты делят круг на 400 частей (гоны, кажется, они называются).
Радиан же --- единица вроде как естественная: отношение длины дуги, захватываемой углом, к радиусу. От радиуса, заметим, эта величина не зависит.
Нарисуйте окружность, отмеряйте на ней (ниткой) длину в 0.1 радиуса, получите угол 0.1 радиана.

А почему не длину хорды взять, спросите Вы, --- тогда линейкой мерять можно было бы, а не ниткой? А попробуйте сами ответить.
Кстати, от того, что мера естественная, и формулы красивые получаются вроде

$$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dfrac{x^9}{9!}-\dfrac{x^{11}}{11!}+\ldots$$

[vvvv]

MGM, ну Вы даете...
По-Вашему pi/6 - это что такое?

[ewert]

Евгеша в сообщении #228594 писал(а):

Любая тригонометрическая функция вещественному числу x сопоставляет её значение от x радиан, а не, допустим, градусов. Так вот вопрос: почему именно радиан?

Правильнее был бы вопрос: а почему, собственно, именно градусы? или почему именно грады?

Ответом было бы: потому, что так исторически сложилось (соответственно, примерно в Вавилоне или во Франции).

В отличие от этого, радианная мера в известном смысле абсолютна: это -- отношение соответствующих длин.

Ну и с чисто утилитарной точки зрения: чему равна, скажем, производная от косинуса?...

[TOTAL]

ewert в сообщении #228653 писал(а):

Ну и с чисто утилитарной точки зрения: чему равна, скажем, производная от косинуса?...

Здесь не принято давать готовые ответы, сначала скажите, что Вы сами думаете по этому вопросу, что уже сделали, что именно не получается?

[ewert]

TOTAL в сообщении #228654 писал(а):

Здесь не принято давать готовые ответы, сначала скажите, что Вы сами думаете по этому вопросу,

Да, но здесь и не принято говорить прямым текстом, что именно думаешь по таким поводам. Что делать, цензура-с...

[MGM]

AKM в сообщении #228648 писал(а):

Вопрос вовсе не глупый. Замечу, что $360^\circ$ вовсе не всеобщая единица. Геодезисты делят круг на 400 частей (гоны, кажется, они называются).

Кстати, от того, что мера естественная, и формулы красивые получаются вроде

$$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dfrac{x^9}{9!}-\dfrac{x^{11}}{11!}+\ldots$$

Вообще-то гон - сотая часть прямого угла. Если быть точным в этимологии величины (устарела, как и лошадиная сила)
Мне бы от Вашей "красивой" формулы поплохело, узнай я о её существовании до того, как понял существенную разницу между радианами и градусами.

-- Вт июл 14, 2009 12:16:31 --

vvvv в сообщении #228649 писал(а):

MGM, ну Вы даете...
По-Вашему pi/6 - это что такое?

Плохо читаете.
Я же сказал, число, а не символ

[vvvv]

MGM, вот число 0.523598775598299 , к которому можно приписать, если угодно, пару миллионов десятичных знаков

[MGM]

vvvv в сообщении #228663 писал(а):

MGM, вот число 0.523598775598299 , к которому можно приписать, если угодно, пару миллионов десятичных знаков

Ровно 0.5 всё равно не получите.
Как ни старайтесь.