Метатеория

[6675636b]

Что такое метатеория (формально)?

(далее не для слабонервных)
У каждой теории есть метатеория. Есть ли теория, которая является метатиорией всех теорий, или метатеорий входящих в них?

[epros]

6675636b в сообщении #228022 писал(а):

Что такое метатеория (формально)?

http://slovari.yandex.ru/dict/bse/artic ... /56900.htm

6675636b в сообщении #228022 писал(а):

У каждой теории есть метатеория. Есть ли теория, которая является метатиорией всех теорий, или метатеорий входящих в них?

В каком смысле употреблено слово "есть"? "Существует в некоем независимом от нас идеальном мире"? Или в смысле "построена"/"записана на бумаге"?

[6675636b]

epros в сообщении #228380 писал(а):

http://slovari.yandex.ru/dict/bse/artic ... /56900.htm

Это формальное определение? Или его вообще нет и я могу додумать, что захочу?

epros в сообщении #228380 писал(а):

Или в смысле "построена"/"записана на бумаге"?

Да.

[epros]

6675636b в сообщении #228384 писал(а):

epros в сообщении #228380 писал(а):

http://slovari.yandex.ru/dict/bse/artic ... /56900.htm

Это формальное определение? Или его вообще нет и я могу додумать, что захочу?

Ну, не совсем формальное, но формализуемое вполне понятным образом (если не слишком извращаться). Там уже в первом предложении сказано всё, что для этого нужно.

6675636b в сообщении #228384 писал(а):

epros в сообщении #228380 писал(а):

Или в смысле "построена"/"записана на бумаге"?

Да.

Очевидно, что не для всякой предметной теории определяющая её (тем более - формально определяющая) метатеория в настоящий момент записана на бумаге.

[6675636b]

epros в сообщении #228387 писал(а):

Очевидно, что не для всякой предметной теории определяющая её (тем более - формально определяющая) метатеория в настоящий момент записана на бумаге.

Да, но можно же ведь записать? Просто интересно, что будет "на дне": теория, что все возможно с множеством аксиом мощности континуума .

[epros]

6675636b в сообщении #228388 писал(а):

epros в сообщении #228387 писал(а):

Очевидно, что не для всякой предметной теории определяющая её (тем более - формально определяющая) метатеория в настоящий момент записана на бумаге.

Да, но можно же ведь записать?

А откуда Вы знаете?
Я ведь не случайно задал вопрос о смысле слова "есть". Если Вы считаете, что "можно записать", то это примерно то же самое, что считать, будто эти самые метатеории уже существуют в некоем идеальном мире, просто на бумагу в реальном мире пока не переписаны.

Может быть можно. А может быть, кто знает, при попытке формально определить какую-нибудь вполне, казалось бы, рабочую теорию мы натолкнёмся на невозможность это сделать непротиворечиво? Есть же примеры логических парадоксов, которые сформулированы, казалось бы, вполне разумно, а когда дело доходит до формализации языка и аксиоматики, то не получается...

6675636b в сообщении #228388 писал(а):

Просто интересно, что будет "на дне": теория, что все возможно с множеством аксиом мощности континуума .

Что это за "дно"?

[6675636b]

Вот видите, мы по разному с вами понимаем, что такое метатеория, именно поэтому я и просил формального определения.
Я понимаю так, что метатеория-Х теории-Y - это тоже некоторая теория-T (которую можно "записать") у которой также есть метатеория-M.
"На дне" - это значит теория не нуждающаяся в метатеории.

[conviso]

"по разному понимаем...". А почему...?
Уважаемый epros, похоже, Вы еще "что-то знаете", кроме аксиоматики . И Вы в этом не одиноки на Форуме.
Однако, мне все время в глаза лезет одна и та же фраза...: кто знает.., а может быть натолкнемся...и прочие сожаления.
Вы считаете - это обреченность пути математики или это обреченность такого аристотелевского типа языка, постороенного на категориях "без связи"...?

[6675636b]

>А почему...?
см. выше

conviso, пожалуйста, высказывайтесь по теме.

[epros]

6675636b в сообщении #228402 писал(а):

Вот видите, мы по разному с вами понимаем, что такое метатеория, именно поэтому я и просил формального определения.
Я понимаю так, что метатеория-Х теории-Y - это тоже некоторая теория-T (которую можно "записать") у которой также есть метатеория-M.

Непонятно, в чём именно Вы углядели различие? Там по ссылке в первом предложении сказано, что мететеория - это тоже некая теория. Есть ли у неё самой метатеория мы узнаем, когда сформулируем её. Скорее всего, конечно есть. По крайней мере, мы обычно исходим из того, что осмысленные теории формализуемы, т.е. их язык и аксиоматику можно однозначно описать, а поскольку такое описание - это и есть метатеория, значит мы исходим из предположения, что метатеория существует.

Однако, повторюсь, на деле ещё неизвестно как может получиться. Предположения-то предположениями ...

6675636b в сообщении #228402 писал(а):

"На дне" - это значит теория не нуждающаяся в метатеории.

Это как Вы себе представляете?
Язык и аксиоматика теории самоочевидны даже младенцу (врождённое знание)?

-- Пн июл 13, 2009 17:28:12 --

conviso в сообщении #228406 писал(а):

Уважаемый epros, похоже, Вы еще "что-то знаете", кроме аксиоматики .

Э-ээ, в смысле? Что знаю?

[6675636b]

epros в сообщении #228411 писал(а):

Непонятно, в чём именно Вы углядели различие?

epros в сообщении #228393 писал(а):

Я ведь не случайно задал вопрос о смысле слова "есть".

Различие в том, что я считаю, что у каждой теории есть метатеория, т.е. теорию нельзя построить без метатеории, а Вы спрашиваете у меня, что значит "есть".

epros в сообщении #228393 писал(а):

Может быть можно. А может быть, кто знает, при попытке формально определить какую-нибудь вполне, казалось бы, рабочую теорию мы натолкнёмся на невозможность это сделать непротиворечиво?

По второй теореме Гёделя о неполноте все получится: имеем непротиворечивую теорию, "записываем на бумаге" метатеорию и делаем ее непротиворечивой "подбирая" для этого "подходящую" более общую теорию (метатеорию) и т.д.
И, значит, я подумал, что будет, если мы проделаем процесс формализации новых метатеорий, то что за теорию мы получим в пределе, если будем продолжать этот процесс бесконечно и сходится ли этот процесс вообще? У меня есть гипотеза, что процесс сходится и мы получим непротиворечивую теорию, для которой теорема Геделя о неполноте не верна (т.е. теория непротиворечива и это можно доказать ее же средствами), но мне важно Ваше мнение.

[epros]

6675636b в сообщении #228452 писал(а):

Различие в том, что я считаю, что у каждой теории есть метатеория, т.е. теорию нельзя построить без метатеории

Вы сами себе противоречите. Выше Вы утверждали, что есть теории, не нуждающиеся в метатеории. Если для каждой теории "есть" метатеория, которая её определяет, то очевидно, что цепочка мета-мета-мета-... никогда не кончится.

6675636b в сообщении #228452 писал(а):

По второй теореме Гёделя о неполноте все получится: имеем непротиворечивую теорию, "записываем на бумаге" метатеорию и делаем ее непротиворечивой "подбирая" для этого "подходящую" более общую теорию (метатеорию) и т.д.

Я не понял, причём тут теорема Гёделя? То, что теория неполна, мы докажем в метатеории. Но почему последняя должна быть "более общей"? Тот же самый вывод о неполноте ZFC (при условии непротиворечивости) - следствие из теоремы Гёделя - мы можем получить в метатеории, не содержащей всех выводов ZFC, т.е. в чём-то менее содержательной.

[PAV]

Пользователь 6675636b заблокирован за мат.

[6675636b_new]

>Вы сами себе противоречите. Выше Вы утверждали, что есть теории, не нуждающиеся в метатеории. Если для каждой теории "есть" метатеория, которая её определяет, то очевидно, что цепочка мета-мета-мета-... никогда не кончится.
Нет, не противоречу. Я имел ввиду теорию, которую мы получим в пределе (если он есть).

>Я не понял, причём тут теорема Гёделя? То, что теория неполна, мы докажем в метатеории. Но почему последняя должна быть "более общей"? Тот же самый вывод о неполноте ZFC (при условии непротиворечивости) - следствие из теоремы Гёделя - мы можем получить в метатеории, не содержащей всех выводов ZFC, т.е. в чём-то менее содержательной.

Нет, наоборот, мы специальным образом построим метатеорию, которая будет доказывать, что теория непротиворечива (из второй теоремы Г. следует, что в самой теории, формулы доказывающей ее непротиворечивость нет, но есть другая теория, в которой эта формула есть).
"метатеория" = "более общая теория". Это просто я так выразился для ясности, честно говоря вы правы: выражение не совсем удачное, скорее "более мощная теория" чем общая, но это не суть важно, извините, если я вас смутил.

[epros]

6675636b_new в сообщении #228546 писал(а):

Я имел ввиду теорию, которую мы получим в пределе (если он есть).

Понятие предела для теорий не определено.

6675636b_new в сообщении #228546 писал(а):

мы специальным образом построим метатеорию, которая будет доказывать, что теория непротиворечива (из второй теоремы Г. следует, что в самой теории, формулы доказывающей ее непротиворечивость нет, но есть другая теория, в которой эта формула есть).

Не понимаю, какое это имеет отношение к "общности" или к "мощности" теории. Некая теория может доказать, что некая другая теория непротиворечива. Но это может не значить ничего, если сама первая теория противоречива.