Сумма прикольных косинусов...

[Alhimik]

В общем известно точно, что
$e^{- \frac {2 \pi i} N} + e^{- \frac {4 \pi i } N}+ e^{- \frac {6 \pi i } N}+...+e^{- \frac {2 (N-1) \pi i } N }=0$, N - натуральное число. i - мнимая единица.
И я хочу понять, почему именно так. Воспользовавшись формулой Euler'a я пришел к необходимости доказать следующие суммы:
1)
$\cos {\frac {2 \pi} N + \cos {\frac {4 \pi}N} + \cos {\frac {6 \pi }N}+...+\cos {\frac {2(N-1) \pi}N}=0 $
2)
$\sin {\frac {2 \pi} N + \sin {\frac {4 \pi}N} + \sin {\frac {6 \pi }N}+...+\sin {\frac {2(N-1) \pi}N}=0 $
Что-то мне подсказывает, что эти формулы 1) и 2) доказываются аналогичными способами.
Подскажите, как доказать хотя-бы одну из этих формул.

[jetyb]

Домножьте первый пример на $\sin\frac{2\pi}{N}$ .
А насчет суммы векторов: примените теорему Виета к уравнению $x^n-1=0$ .

[fiktor]

Если задача в том, чтобы доказать верхнее тождество, то давайте доказывать именно его. Добавим к левой части 1. Тогда получится геометрическая прогрессия с первым членом 1 и отношением $e^{-\frac{2 \pi i}{N}}$. Ее сумма равна
$\frac{1-e^{-\frac{2 N \pi i}{N}}}{1-e^{-\frac{2 \pi i}{N}}} = 0$
То есть Ваша сумма равна 1, а не 0. И оно доказывается вычислением суммы геометрической прогрессии.
Если Ваша цель заключается не в том, чтобы доказать эти тождества как можно проще, а в том, чтобы доказать их не используя комплексных чисел, то...

равенство с синусами доказывается по принципу: первый член сокращается с последним, второй с предпоследним и т.д.
Для косинуса надо поэксперементировать с домножением на $1-\cos(\frac{2\pi}{N})$ или на $\sin \frac{2\pi}{N}$, как jetyb советует.

-- Вс июл 12, 2009 16:15:32 --

Да, и сумма косинусов тоже должна не нулю равняться, а 1.

[Alhimik]

Доказать надо именно первое равенство. Спасибо большое за идею с геометрической прогрессией. И как это я сам не додумался? Вы, fiktor, наверное сделали отпечатку, - сумма равна -1. Проверено на примере N=4.

[Виктор Викторов]

Alhimik в сообщении #228064 писал(а):

В общем известно точно, что
$e^{- \frac {2 \pi i} N} + e^{- \frac {4 \pi i } N}+ e^{- \frac {6 \pi i } N}+...+e^{- \frac {2 (N-1) \pi i } N }=0$, N - натуральное число. i - мнимая единица.

Что Вы имеете в виду? $e^{- \frac {2 (N-1) \pi i } N }= e^{\frac {2\pi i } N }$ (проверьте!). Сколько членов в Вашей сумме? Первый член Вашей суммы меняется в зависимости от N? При N=1 $e^{- \frac {2 \pi i} N} =1$, а при N=4 $e^{- \frac {2 \pi i} N} = - i$?

[ewert]

Alhimik в сообщении #228064 писал(а):

В общем известно точно, что
$e^{- \frac {2 \pi i} N} + e^{- \frac {4 \pi i } N}+ e^{- \frac {6 \pi i } N}+...+e^{- \frac {2 (N-1) \pi i } N }=0$

Вообще-то всех нас в детстве учили, что e^{- \frac {2 \pi i} N} + e^{- \frac {4 \pi i } N}+ e^{- \frac {6 \pi i } N}+...+e^{- \frac {2 \pi i } N \cdot (N-1)}=e^{- \frac {2 \pi i} N}\cdot{1-e^{- \frac {2\pi i}N\cdot(N-1)}\over1-e^{- \frac {2 \pi i} N}}$ (это независимо от того, что есть "и" и что есть "эН" или даже "пи"). Что, конечно, нулю не равняется. Вот если добавить единичку слева или хотя бы справа -- тогда дело другое.

[fiktor]

Цитата:

Вы, fiktor, наверное сделали отпечатку, - сумма равна -1.

Да.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #228103 писал(а):

Alhimik в сообщении #228064 писал(а):

В общем известно точно, что
$e^{- \frac {2 \pi i} N} + e^{- \frac {4 \pi i } N}+ e^{- \frac {6 \pi i } N}+...+e^{- \frac {2 (N-1) \pi i } N }=0$

Вообще-то всех нас в детстве учили, что e^{- \frac {2 \pi i} N} + e^{- \frac {4 \pi i } N}+ e^{- \frac {6 \pi i } N}+...+e^{- \frac {2 \pi i } N \cdot (N-1)}=e^{- \frac {2 \pi i} N}\cdot{1-e^{- \frac {2\pi i}N\cdot(N-1)}\over1-e^{- \frac {2 \pi i} N}}$ (это независимо от того, что есть "и" и что есть "эН" или даже "пи"). Что, конечно, нулю не равняется. Вот если добавить единичку слева или хотя бы справа -- тогда дело другое.

Уважаемый ewert! Чему равно Ваше выражение справа при N=1? Сколько элементов суммы (слева) при N=2 и чему они равны? Чему равна правая часть Вашего выражения при N=2? Буду благодарен за ответы.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #228113 писал(а):

Чему равно Ваше выражение справа при N=1?

А при $N=1$ оно попросту не определено, ну и бог с ним. Начиная с $N=2$ всё корректно. Деццкий же вопрос, причём в прямом смысле (в смысле школьный).

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #228114 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #228113 писал(а):

Чему равно Ваше выражение справа при N=1?

А при $N=1$ оно попросту не определено, ну и бог с ним. Начиная с $N=2$ всё корректно. Деццкий же вопрос, причём в прямом смысле (в смысле школьный).

Будем считать, что я ребёнок с незаконченным средним. А теперь к делу.

Alhimik в сообщении #228064 писал(а):

В общем известно точно, что
$e^{- \frac {2 \pi i} N} + e^{- \frac {4 \pi i } N}+ e^{- \frac {6 \pi i } N}+...+e^{- \frac {2 (N-1) \pi i } N }=0$, N - натуральное число. i - мнимая единица.

При N=2 сколько у нас членов этой суммы?
Например: $e^{- \frac {2 \pi i} 2} + e^{- \frac {4 \pi i } 2}+ e^{- \frac {6 \pi i } 2}+...+e^{- \frac {2 (2-1) \pi i } 2 }$, но тогда $e^{- { \pi i} } + e^{- {2 \pi i } }+ e^{- {3 \pi i } }+...+e^{- {\pi i } }$ и, наконец, -1 + 1 -1+ …-1.
Мы зависим от того, сколько членов в этой сумме. Или число членов 2? Но тогда второй член $e^{- \frac {4 \pi i } 2}= e^{- \frac {2 (2-1) \pi i } 2 }$.

[jetyb]

А в чем состоит проблема? Все эти $e^{\frac{2i\pi j}{N}}$ являются корнями уравнения $x^n-1=0$. Их сумму(ничего что без одного) можно легко посчитать через теорему Виета.

[fiktor]

При N=2 --- одно. В общем случае N-1 слагаемое.

В случае N=2 сумма принимает вид $e^{-\frac{2 \pi}{2}} = -1$.

P.S. Да, в случае N=1 в сумме 0 слагаемых, т.е. сумма равна 0 а не -1, поэтому логично считать, доказывая равенство, что$N\geq 2$

[ewert]

хоссподи, какая философия и на какой воде. Там попросту одно слагаемое было потеряно.

[Виктор Викторов]

fiktor в сообщении #228124 писал(а):

При N=2 --- одно. В общем случае N-1 слагаемое.

В случае N=2 сумма принимает вид $e^{-\frac{2 \pi}{2}} = -1$.

P.S. Да, в случае N=1 в сумме 0 слагаемых, т.е. сумма равна 0 а не -1, поэтому логично считать, доказывая равенство, что$N\geq 2$

А как же общий член при N=2? Чему он равен? Тогда $e^{- \frac {4 \pi i } 2}= e^{- \frac {2 (2-1) \pi i } 2 }$?

ewert в сообщении #228127 писал(а):

хоссподи, какая философия и на какой воде. Там попросту одно слагаемое было потеряно.

Причём здесь философия? По какой формуле вычислять общий член суммы? Например, при N=3 первый член $e^{- \frac {2 \pi i } 2}$ или $e^{- \frac {2 \pi i } 3}$?
А вот это правильно или я вру? $e^{- \frac {2 (N-1) \pi i } N }= e^{\frac {2\pi i } N }$ Если вру, скажите. А если верно может быть упростим общий член?

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #228132 писал(а):

По какой формуле вычислять общий член суммы?

По стандартной и вполне школьной. Для суммы $(n+1)$-го слагаемого (начиная с $0$-го и кончая $n$-ным) имеем $\displaystyle b_1\cdot{1-q^{n+1}\over1-q}.$