Квадратичное расширение и геометрические построения

[e7e5]

При чтении книги "Высшая Алгебра":
"в теории геометрических построений доказывается, что некоторое выражение $\alpha$ тогда и только тогда может быть построено при помощи циркуля и линейки, когда оно получается в результате решения уравнений не выше второй степени."

Например, задача об удвоении куба неразрешима при помощи циркуля и линейки.

Хотелось бы понять, как в теории геометрических построений доказывается это общее утверждение.

[мат-ламер]

Интересно, как правильный 17-угольник построить через решения квадратного уравнения? Там, вроде, нужно решить уравнение $z^{17}-1=0$. Вероятно, оно сводится к квадратному (типа как биквадратное, т.е. последовательным группировкой членов). В журнале "Квант" есть статья на эту тему (про успех юного Гаусса).

-- Пт июл 10, 2009 11:27:58 --

См. также Аргунов, Балк. Геометрические построения на плоскости.

-- Пт июл 10, 2009 11:48:27 --

Извините. Возможно ввёл в заблуждение. Как и в статье Гиндикина в Кванте о Гауссе (1972г. N1), так и в книге Аргунова и Балка рассказывается, как построить число, являющееся корнем данного квадратного уравнения. Невозможность построения не доказывается. Но в сети есть ещё энциклопедия элементарной математики в 5-и томах. Может там что есть?

-- Пт июл 10, 2009 11:55:18 --

Можно ещё посмотреть - Курант и Робинс. Что такое математика Гл.3. Геометрические построения.

-- Пт июл 10, 2009 12:23:29 --

Цитата:

При чтении книги "Высшая Алгебра":
"в теории геометрических построений доказывается, что некоторое выражение тогда и только тогда может быть построено при помощи циркуля и линейки, когда оно получается в результате решения уравнений не выше второй степени."

. Но это не совсем точная формулировка. Корни некоторых кубических уравнений можно построить (если один корень рациональный).

[e7e5]

мат-ламер в сообщении #227697 писал(а):

Но это не совсем точная формулировка. Корни некоторых кубических уравнений можно построить (если один корень рациональный).

Да, это так. Более того возникает вопрос об условиях, необходимых и достаточных, когда алгебраическое уравнение степени $n>2$

$a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n=0$ решается в квадратных радикалах.

Если какое-то ур. решается ( при $n>2$) в квадратных радикалах, то может ли кто-нибудь привести пример геометрических построений для $n=3$, $n>3$?

У меня под рукой больше примеров, когда такие построение невозможны. Например задача трисекции угла.

[fiktor]

Пример 1, уравение $x^4 - 1 = 0$.

Единственное положительное решение: x=1 строится при помощи циркуля и линейки (подразумевается, что нарисован где-то единичный отрезок): ничего делать не надо, единичный отрезок уже дан.

Пример 2, уравнение $x^4 - 2 = 0$.

Единственное положительное решение:$ x=\sqrt{\sqrt{2}}$.
Чтобы построить, достаточно научиться по двум отрезком с длинами a и b строить отрезок длины $\sqrt{ab}$. Пусть для определенности a>b. Отрезки с длинами a-b и a+b строятся тривиальным образом.

Строим прямоугольный треугольник с катетом a-b и гипотенузой a+b. (здесь я предполагаю, что Вы уже умеете строить прямые углы. В этом случае откладываете "катет" на одной его стороне и рисуете окружность с радиусом "гипотенуза" и центром в конце отложенного катета. Вершины искомого треугольника --- вершина прямого угла, конец нарисованного "катета" и пересечение нарисованной окружности со второй стороной угла.)

Второй катет этого прямоугольного треугольника имеет длину $\sqrt{(a+b)^2-(a-b)^2}=2\sqrt{ab}$. Деля этот катет пополам получаем искомый отрезок длины $\sqrt{ab}$.

Осталось представить $\sqrt{\sqrt{2}}$ как $\sqrt{1\cdot\sqrt{1\cdot(1+1)}}$

[e7e5]

fiktor в сообщении #227851 писал(а):

Пример 2, уравнение $x^4 - 2 = 0$.

Интересно, какие геометрические построения скрываются за многочленами, решаемых в квадратных радикалах.

Например, построение правильных n-угольников с помощью циркуля и линейки - какие многочлены можно поставить в соответствие разным n?

$n=5$;
$n=7$; и вообще $n=m$?

Для $n=5$ --- $x^4+x^3+x^2+x+1$ - не понял как получился...

[fiktor]

Решаем $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ (исходное уравнение).

Вариант 1: делим на $x^2$ и получаем
$y^2+y-1=0$, где $y=x+\frac{1}{x}$.
Решение --- $y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$. Получаем, что оба решения лежат в интервале от -2 до 2, то есть уравнение $y=x+\frac{1}{x}$ (как уравнение на x при данном y) не имеет вещественных решений при подстановке в качестве y одного из вышеописанных корней. Комплексные корни выражаются в квадратных корнях (поскольку уравнение $y=x+\frac{1}{x}$ несложно преобразовать к квадратному).

Вариант 2 (для изучавших комплексные числа): умножаем на x-1. Получаем уравнение $x^5=1$. Его корни --- корни пятой степени из 1, то есть $e^{2 \pi i k/5}$ при $k=0,1,2,3,4$. Все они, кроме корня при k=0 (который равен 1), не являются вещественными. Кроме того 1 не является корнем исходного уравнения. Вывод: исходное уравнение не имеет вещественных корней.

-- Сб июл 11, 2009 01:12:23 --

Да, совсем забыл. Вам же надо построить корни этого уравнения на плоскости (то есть, рассматривая плоскость, как комплексную плоскость, вам надо построить эти комплексные корни. Они, вместе с x=1 будут образовывать правильный пятиугольник)

Давайте построим y. Для этого достаточно построить отрезок длины $\sqrt{5}$: остальное сводится к половинному делению отрезка и сложению (вычитанию), получающемуся простым "пририсовыванием" одного отрезка к другому. $\sqrt{5}$ можно построить 2-мя способами:
1. $\sqrt{5}=\sqrt{1^2+2^2}$, строите катеты 1 и 2, гипотенуза --- искомый отрезок.
2. $\sqrt{5}=\sqrt{1\cdot 5}$. Как строить $\sqrt{ab}$ я уже писал в 22:27.

Итак $y$ (2 варианта) построили (построили отрезок длиной |y| и запомнили знак).
Осталось построить x = (тут мы решаем квадратное уравнение) = $\frac{y\pmi\sqrt{4-y^2}}{2}$.
То есть отрезки длиной |Re x| и |Im x|.
Как и в прошлый раз все кроме корня строить умеем. Хотя, сам корень тоже умеем строить. Для этого достаточно построить треугольник с гипотенузой 2 и катетом |y|. Другой катет --- искомый корень.

Все такие построения можно свести к трем элементарным операциям:
1. По заданным a и b построить a+b, a-b
2. По заданным a и b построить $\sqrt{ab}$
3. По заданным a, b, c построить $\frac{ab}{c}$.
Действия вида "построить x/5" сводятся к 3: x/5 = (x x)/(x+x+x+x+x). Если у Вас есть действие вида $\sqrt{a}$, то должен быть непременно единичный отрезок (без него "размерность не сходится"). Действия вида "по x и y построить xy (или x/y)" также требуют единичного отрезка, и с его помощью сводятся к 3.

То есть утверждается, что построение любого выражения, содержащего только арифм. действия и квадратные корни сводится к операциям 1,2,3. С 1,2 Вы уже разобрались?

Операция 3 делается так: рисуете угол AOC. Величина угла не важна (любой, от 0 до 180 градусов, не включая 0 и 180). OA = a, OC = c. На луче OC строите отрезок OB длины B и проводите через B прямую, параллельную AC. Пересечение OA и этой прямой обозначаете за D. Проверьте, получается ли из подобия треугольников, что OD имеет длину $\frac{ab}{c}$.

[e7e5]

Занимательно! Действительно, корни степени $n$ из комлексного числа
$z$ на комплексной плосксти расположены в вершинах правильного n-угольника.

Если взять многочлен $z^5+z^4+z^3+z^2+z+1$, он шестиугольнику соответствует.
$z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$
$z_0=1$ не является корнем уравения, домножаем на $z-1$
$(z-1)(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0$ или $z^6=1$
Корни исходного уравнения
$z_1=1/2+ \frac {\sqrt 3} {2}i$
$z_2=-1/2+ \frac{\sqrt 3} {2}i$
$z_3=-1$


$z_4=-1/2+ \frac{-\sqrt 3} {2}i$
$z_5=1/2+ \frac{-\sqrt 3} {2}i$ Т.е. построить все-таки можно.

А что с семиугольником? Его вроде не построить циркулем и линейкой.

[мат-ламер]

Для семиугольника после подстановки $y=z+1/z$ приходим к уравнению $y^3+y^2-2y-1=0$. Теперь от противного можно попробовать доказать, что это уравнение не имеет рацинальных корней.
Вопрос знатокам. Сколько правильных $n$ -угольников с нечётным числом углов допускает построение с помощью циркуля и линейки? Их число - конечно или бесконечно? Как показал Гаусс, задача сводится к вопросу, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма. Возможно, что проблема её не решена.

[Батороев]

fiktor в сообщении #227851 писал(а):

Чтобы построить, достаточно научиться по двум отрезком с длинами a и b строить отрезок длины $\sqrt{ab}$.

Также возможно такое построение.
Откладываем отрезок $a+b$. Делим его пополам. Используя середину отрезка в качестве центра, проводим окружность радиуса $\dfrac{a+b}{2}$. Из т. $b$ проводим перпендикуляр к исходному отрезку до пересечения с окружностью. Соединяем полученную точку на окружности с концами исходного отрезка. Получили прямоугольный треугольник с проекциями катетов на гипотенузу, равными $a$ и $b$, и высотой, опущенной из прямого угла на гипотенузу, соответственно равной $\sqrt {ab} $.

-- Пн июл 13, 2009 21:11:39 --

fiktor в сообщении #227851 писал(а):

Осталось представить $\sqrt{\sqrt{2}}$ как $\sqrt{1\cdot\sqrt{1\cdot(1+1)}}$

А можно представить и как высоту прямоугольного треугольника с проекциями катетов на гипотенузу, равными $\sqrt 2$ и $1$, где первая проекция была получена в качестве высоты прямоугольного треугольника с проекциями катетов на гипотенузу, равными $2$ и $1$.

[e7e5]

мат-ламер в сообщении #228240 писал(а):

Для семиугольника после подстановки $y=z+1/z$ приходим к уравнению $y^3+y^2-2y-1=0$.

Правильно ли понимаю, что для правильного n-угольника нужно рассмотреть уравнение
$x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1=0$ и тогда выяснить возможность решения в квадратных радикалах?

И еще один вопросик
Если $z$ - комплексное число отличное от 1, то как доказать:
$z^n+...+z^2+z+1=\frac {1-z^{n+1}} {1-z}$, $n \ge 1$ ? - просто раскрыть скобки?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #228497 писал(а):

...как доказать:
$z^n+...+z^2+z+1=\frac {1-z^{n+1}} {1-z}$?

Написанное есмь геометрическая прогрессия.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #228567 писал(а):

есмь

было бы и верно, коль не именительный бы падеж

[Алексей К.]

ewert в сообщении #228571 писал(а):

было бы и верно, коль не именительный бы падеж

В смысле, коль не третье бы лицо бы? (Почитал грамоту.ru)

[fiktor]

e7e5 в сообщении #228497 писал(а):

Если $z$ - комплексное число отличное от 1, то как доказать:
$z^n+...+z^2+z+1=\frac {1-z^{n+1}} {1-z}$, $n \ge 1$ ? - просто раскрыть скобки?

Да. Раскрыть скобки в выражении $(z-1)(z^n+...+z^2+z+1)$.
Получится $z^{n+1}-z^n+z^n-z^{n-1}+...+z^3-z^2+z^2-z+z-1$, что равно $z^{n+1}-1$,
поскольку все слагаемые кроме первого и последнего сокращаются.

[ewert]

нет, именно первое лицо (хоть я грамматику давно уж и сдал). Вы всерьёз считаете, что лично Вы -- и есть та прогрессия?...

(отвечать, естественно, не нужно)