Квадратичное расширение и геометрические построения

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #230673 писал(а):

Какое надо наложить условие на коэффициенты, чтобы кубическая резольвента не имела рациональных корней? (Искажение цитаты моё. АК)

Не знаю. Если корни исходного уравнения рациональны (а именно их рацональность Вас интересует), то корни резольвенты рациональны. В обратном не уверен. Не, ничо не знаю.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #230701 писал(а):

Не знаю. Если корни исходного уравнения рациональны (а именно их рацональность Вас интересует), то корни резольвенты рациональны.

Вот два примера:
1) $f(x)=x^4+x^3-2x^2-4x-2$
2)$f(x)=x^4-4x^3+6x^2-7x+1$
Для первого случая можно построить с помощью циркуля и линейки один корень, а вот для второго - ни одного не построить.

Несколькими постами выше у меня тоже получилось уравнение четвертой степени. Вот именно для него то и хотелось понять возможность построения корней циркулем и линейкой ( для разных $s, x_0, y_0$.

Более того, в задачнике ( у меня под рукой) есть такая задача:
"Покажите, что если многочлен $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ не имеет корней в области его рациональности, то либо все корни $f(x)$ могут быть построены с помощью циркуля и линейки, либо ни один корень не может быть этим способом построен".

Читая алгебру, может где то упустил, что вообще есть область рациональности многочлена? Можете ли на простом примере пояснить.