Полугруппы

[Профессор Снэйп]

В полугруппе (то есть системе с одной ассоциативной бинарной операцией) $S$ выполнено следующее: для любого $a \in S$ существует единственный $b \in S$, такой что $a = aba$. Может ли $S$ не быть группой?

[juna]

Пусть $c=ab, d=ba$, по определению $a=ca=ad$.
$c=ab=cab=c^2=c^3=...$,
аналогично
$d=ba=bad=d^2=d^3=...$
Пусть $d\not = c\to ab\not = ba$, умножим последнее справа и слева на $a$
получим $aaba\not = abaa\to a^2\not = a^2$ - противоречие.
Таким образом, доказали, что $ca=ac=a$, значит $S -$ моноид.
По определению $b$ - единственный обратный элемент.

[Руст]

juna вы ошибаетесь
вот пример требуемой полугруппы, не являющейся группой:

$$\begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline & x & y & z\\ \hline\hline x & x & y & z\\ \hline y & y & y & z\\ \hline z & z & z & y\\ \hline \end{tabular}$$

[Профессор Снэйп]

Руст, Ваша полугруппа не удовлетворяет требуемому в задаче условию. У Вас $y = yxy$ и $y = yyy$, а по условию элемент $b$ должен быть единственным.

-- Ср июл 08, 2009 10:00:07 --

juna, Вы не доказали существование единицы! Вы всего лишь нашли для каждого $a$ некий элемент $c$, такой что $ac=ca=a$. Этот $c$ может зависеть от $a$ и являться для каждого $a$ своим. А между тем единица в группе одна и та же для всех её элементов.

И ещё. Как это Вы так ловко домножаете неравенство слева и справа на $a$ и получаете неравенство? Вот если бы Вы равенство домножили, то получили бы равенство, тут без разговоров. А неравенство... Что мешает разным элементам при домножении на $a$ давать одинаковые элементы?

[Руст]

Да, я пропустил условие единственности. С этим условием получается группа при наличии единицы.
Пусть е единица моноида. Тогда из единственности $ab=ababab=abeab\to ab=e$, т.е. этот b есть обратный элемент и моноид группа.

[juna]

Руст в сообщении #227497 писал(а):

Пусть е единица моноида. Тогда из единственности $ab=ababab=abeab\to ab=e$, т.е. этот b есть обратный элемент и моноид группа.

Что мешает каждому $a$ иметь свое единственное $b$ и соответственно для каждого $a$ свое единственное $ab$?

-- Чт июл 09, 2009 08:02:37 --

В принципе, если можно было бы показать, что $\varphi: a\to b$ автоморфизм, или хотя бы перестановка из одних транспозиций, отсюда бы легко следовало, что это группа.

[Профессор Снэйп]

Руст в сообщении #227497 писал(а):

С этим условием получается группа при наличии единицы.

А единица-то всегда есть или её может не быть?

-- Чт июл 09, 2009 12:37:51 --

juna в сообщении #227507 писал(а):

В принципе, если можно было бы показать...

Ну так покажите

Вообще ответ отрицательный. То есть $S$ всегда будет группой. Это, кстати, довольно интересно. Ни разу такого определения группы не встречал

[juna]

$a=aba$, $\forall n: ab=(ab)^n$ пусть $c=bab\not= b$
Для элемента $a$ существуют некоторые $E_{a}^1,E_{a}^2$ такие, что $a=E_{a}^1a=aE_{a}^2$. Аналогично для $c$ существуют $E_{a}^1,E_{a}^2$ такие, что $c=E_{a}^2c=cE_{a}^1$, где $E_{a}^1=ab, E_{a}^2=ba$.
Рассмотрим элементы:
$E_{a}^1aE_{a}^2=aba$
$E_{a}^2cE_{a}^1=bab$
Найдем их произведение:
$E_{a}^2cE_{a}^1E_{a}^1aE_{a}^2=bababa$
$E_{a}^2caE_{a}^2=bababa=ba$ поскольку $ba$ раскладывается так единственным образом, то $ca=ba$, а поскольку $b$ для $a$ тоже единственный, то $c=b$, иначе $a=aba=aca$.
Поэтому, доказали, что если $a=aba$, то $b=bab$, а значит перестановка состоит из транспозиций и неподвижных точек.

-- Чт июл 09, 2009 14:35:02 --

К равенству $ca=ba$ можно вообще тривиально придти:
$c=bab\to ca=baba=ba$.

[Профессор Снэйп]

juna, я Вас очень плохо понял.

То, что $b = bab$, доказывается очень легко. Действительно, $a =a(ba) = (aba)(ba) = a(bab)a$ и $b = bab$ следует из единственности $b$.

Ну и что дальше? Дальше начинается, собственно, решение задачи, а у Вас про это ничего нет. Кроме начисто лишённой смысла фразы "перестановка состоит из транспозиций и неподвижных точек". Вы уж меня извините, но это, воистину, выражаясь словами классика, "набор слов почище всякого смысла"

[Sonic86]

По-моему, примером является любая моногенная полугруппа $S = \{ x^p,...,x^q\}$

[Профессор Снэйп]

Sonic86 в сообщении #227597 писал(а):

По-моему, примером является любая моногенная полугруппа $S = \{ x^p,...,x^q\}$

Пардон, не понял. Увы, не знаком с понятием "моногенной полугруппы". Не поясните?

[Alexiii]

Судим так:так как тут доказал,что идемпотент единственный,то из $ab=abab,ba=baba \Rightarrow ab=ba$.Для любого элемента $a\in S \Rightarrow a(ab)=(ab)a=a,(a)(b)=ab,(b)(a)=ba$,притом $b$ единственный!
В итоге получили для $S$:
1)$\forall a,b,c\in S ((ab)c=a(bc))$ - Ассоциативность
2)$\forall a\exists ! b((ab)a=a(ab)=a)$ - Существо единичного элемента
3)$\forall a\exists ! b((a)(b)=(b)(a)=ab)$ - Существо противного элемента

Эдак $S$ группа с ед. елементом $ab$(он единственный,так как$\forall a\in S$элемент $ab$-идемпотент,а значит единственен)!

Все!..

[Sonic86]

Моногенная полугруппа - полугруппа с одной "образующей", то есть $S$ -моногенная $\Leftrightarrow$ существует элемент $x$, такой, что все элементы полугруппы представимы в виде его степеней (типа конечная циклическая группа, только ее элементы домножены еще на степень икса).
Для $S = \{ x^p,..., x^{q-1}\}$ имеет место соотношение $x^q=x^p$, умножение $x^a \cdot x^b = x^{(a + b - p)mod(q-p)+p}$ (ошибку исправил)

Вроде как для нее условие задачи выполняется.

[worm2]

А разве моногенная полугруппа не является группой?
Единица --- $x^p$, обратный элемент всегда существует в силу того, что $x^aS$ --- циклическая перестановка $S$...

[Sonic86]

Я умножение ошибочно определил. Исправил.
Нет, это не группа, $x^p \cdot x^p = x^{2p}$, что в общем случае не равно $x^q$
А $y \to x^p \cdot y$ получается просто биекция, но не гомоморфизм.
(а вообще в книге Ляпин Полугруппы лучше написано)