геометрическая задача (повышенной трудности)

[4arodej]

Есть такая задача, которая любителей геометрии может заинтересовать: Берем правильный тетраэдр со стороной 3а и отсекаем от каждой вершины подобный ему, со сторорой а. У полученного тела (кстати, полуправильного) требуется вычислить радиус вписанного и описанного шаров. За конструктивные предложения -- спасибо.

[Руст]

Радиус описанной сферы равен $\frac{3\sqrt 5 }{4}a$. О вписанной можно говорит только с натяжкой, так как сфера вписанная в тетраэдр, имеющий радиус $\sqrt{\frac 38 }a вписан и в этот многогранник, только не касается граней полученных после урезания.

[4arodej]

Руст писал(а):

Радиус описанной сферы равен $\frac{3\sqrt 5 }{4}a$. О вписанной можно говорит только с натяжкой, так как сфера вписанная в тетраэдр, имеющий радиус $\sqrt{\frac 38 }a вписан и в этот многогранник, только не касается граней полученных после урезания.

Спасибо за ответ, но его я знаю. Расскажите, пожалуйста, о получении $\frac{3\sqrt 5 }{4}a$.

[Руст]

При вычислении я возможно допустил ошибки. Поэтому приведу метод вычисления. Тетраэдр запишем в виде $x_1+x_2+x_3+x_4=\frac{3a}{\sqrt 2 }=4b$. Его центром является точка O с координатами: $x_i=b $. Тогда расстояние от центра до грани тетраэдра равна $r=\sqrt{b^2+3(\frac b3 )^2}=\sqrt{\frac 38 }a$. А расстояние до любой вершины равна

$$R=a\sqrt{(\sqrt{\frac 12} -\frac{3}{4\sqrt 2 })^+(\sqrt 2 -\frac{3\sqrt 2 }{8})^2+2*9/32}=a\sqrt{\frac{11}{8}}.$$