Великая теорема Ферма Четвертая степень.Новое решение.

[barsukov]

\document class{article} \begin{document}
Великая теорема Ферма. Четвертая степень. Новое решение.

$$x^4+y^4=z^4$$

Все члены этой тройки попарно взаимно просты. $z$ не может быть четным, так как $x^4 \equiv y^4 \equiv 1mod{16} и тогда левая часть этого уравнения не соизмерима правой. Примем $ y=2y_1y_2$ ,тогда $x^4+2^4y_1^4y_2^4=z^4$

$$z^2+x^2=2y_1^4 eqno(1) $$

$$ z^2-x^2=2^3y_2^4 eqno(2) $$

$$z^2-2^2y_1^2y_2^2=x_1^4 eqno(3)$$

где $x=x_1x_2$ $ Решая уравнения ~(\ref{trivia1})~(\ref{trivia2})$ получим $z^2=y_1^4+2^2y_2^4 $ Все решения этого уравнения в целых положительных нечетных взаимно простых числах имеют вид (первое направление)

$$ z = \frac{k^4+q^4}2 $$

$$ 2y_2^2= \frac{k^4-q^4}2 $$

$$ y_1^2=k^2 q^2 $$

$$ y_1^2y_2^2=\frac{k^2q^2(k^4-q^4)}4 $$

$ Все решения уравнения ~(\ref{trivia3}) аналогично имеют вид (второе направление)

$$z=\frac{m^4+n^4}2$$

$$2y_1y_2= \frac{m^4-n^4}2 $$

$x_1^2=m^2n^2 $

$$y_1^2y_2^2=\frac{(m^4 – n^4)^2}{16}$$

Сравнивая $ z $ в первом и во втором направлениях получим $m^4+n^4=k^4+q^4$

$$ (m^4-n^4)^2+4m^4n^4=(k^4-q^4)^2+ 4k^4q^4$$

$$(m^4-n^4)^2=(k^4-q^4 )^2+4k^4q^4- 4m^4n^4 eqno (4) $$

Cравнивая $ y_1^2 y_2^2 $ в первом и во втором направлениях получим

$$ (m^4-n^4)^2= 4k^2q^2(k^4-q^4) eqno (5) $$

$ Из формул ~(\ref{trivia4}) ~(\ref{trivia5}) S следует

$$ 4k^2 q^2(k^4-q^4) = (k^4-q^4)^2+4k^4q^4-4m^4n^4) $$

Рассмотрим вариант $ x_1 > y_1 $

$$(k^4-q^4)(k^4-q^4-4k^2q^2)=4(m^2n^2-k^2q^2)(m^2n^2+k^2q^2)$$

Учитывая что $ k^4 \equiv q^4 mod{16} $ $m^2n^2\equiv k^2q^2\equiv 1mod{8}$

$$k^4-q^4=16s t eqno (6)$$

$$ k^4-q^4 - 4k^2q^2 = 4a b eqno (7) $$

$$ m^2n^2+k^2q^2= 2t b eqno (8) $$

$$ m^2n^2 - k^2q^2=8s a eqno (9) $$

$ s t a b $ наибольшие общие делители. $ Из формул ~(\ref{trivia6})~(\ref{trivia7}) $ следует $k^2 q^2=4s t-a b $ $ Из формул ~(\ref{trivia8})~(\ref{trivia9})$ $ k^2q^2=t b-4s a $ и сравнивая эти значения, получим $ 4s t-a b=t b-4s a $ $ 4s(t+a)=b(t+a)$ и сокращая , получим $ 4s=b $ $ b $ не может быть делимым на четное число. В варианте $ x_1<y_1 $ результат аналогичен. Теорема для четвертой степени не имеет решений в целых числах. Барсуков Геннадий Викторович. \end{document}

[venco]

А обоснование eqno(1), eqno(2), eqno(3) будет?

[age]

barsukov в сообщении #226153 писал(а):

\document class{article} \begin{document}
Великая теорема Ферма. Четвертая степень. Новое решение.

$$x^4+y^4=z^4$$

Все члены этой тройки попарно взаимно просты. $z$ не может быть четным, так как $x^4 \equiv y^4 \equiv 1mod{16}$

$x^4 \equiv y^4 \equiv 1mod{8}$

[Коровьев]

Имеет место более сильное утверждение.
Уравнение
$x^4+y^4=z^2$
не имеет решений в целых числах.
Ферма дал в общих чертах доказательство этой теоремы методом спуска в письме другу, который после смерти Ферма востановил и опубликовал его.

[sceptic]

barsukov в сообщении #226153 писал(а):

Великая теорема Ферма. Четвертая степень. Новое решение.

$$x^4+y^4=z^4$$

Все члены этой тройки попарно взаимно просты. $z$ не может быть четным, так как $x^4 \equiv y^4 \equiv 1mod{16} и тогда левая часть этого уравнения не соизмерима правой. Примем $ y=2y_1y_2$ ,тогда $x^4+2^4y_1^4y_2^4=z^4$

$$z^2+x^2=2y_1^4 eqno(1) $$

$$ z^2-x^2=2^3y_2^4 eqno(2) $$

$$z^2-2^2y_1^2y_2^2=x_1^4 eqno(3)$$

где $x=x_1x_2$

Где доказательство, что из $(z^2+x^2)(z^2-x^2)=2^4y_1^4y_2^4$ следуют соотношения $eqno(1)-eqno(3)$?

[barsukov]

sceptic Мои познания в кодировании еще слабы, я воспользовался ( Набор и верстка в системе LATEX Львовский С.М.) Буду благодарен подсказке заменить команду $ eqno $ , чтобы было грамотно. Формулу $x^4+2^4y_1^4y_2^4=z^4$ запишем иначе $(z^2-x^2)(z^2+x^2)=2^4y_1^4y_2^4$ $z^2\equiv x^2\equiv 1mod8$ следовательно

$$z^2+x^2=2y_1^4eqno 1 $$

и остается

$$z^2-x^2=2^3y_2^4 eqno 2$$

$y_1$ и $y_2$ не могут иметь общий множитель $ >1 $ иначе если $y_1$ делится на $ $ и $y_2$ делится на $ $ то из первой формулы $ z^2 -x^2(mod ) и из формулы два [math]$z^2 x^2(mod ) и следовательно $z^2 0(mod )$ [math]$x^2 0(mod ) что противоречит условию; члены тройки теоремы взаимно просты. Достаточно ли раскрыл обоснование ? Буду благодарен.

[sceptic]

Команду $ eqno $ можно заменить на \verb" " (в кавычках - несколько символов пробела). Тогда ваш текст

barsukov в сообщении #226385 писал(а):

Формулу $x^4+2^4y_1^4y_2^4=z^4$ запишем иначе $(z^2-x^2)(z^2+x^2)=2^4y_1^4y_2^4$ $z^2\equiv x^2\equiv 1mod8$ следовательно

$$z^2+x^2=2y_1^4eqno 1 $$

и остается

$$z^2-x^2=2^3y_2^4 eqno 2$$

$y_1$ и $y_2$ не могут иметь общий множитель $ >1 $ иначе если $y_1$ делится на $ $ и $y_2$ делится на $ $ то из первой формулы $ z^2 -x^2(mod ) и из формулы два [math]$z^2 x^2(mod ) и следовательно $z^2 0(mod )$ $x^2 0(mod )$ что противоречит условию; члены тройки теоремы взаимно просты.

будет выглядеть так (я сделал еще несколько незначительных поправок):

"Формулу $x^4+2^4y_1^4y_2^4=z^4$ запишем иначе: $(z^2-x^2)(z^2+x^2)=2^4y_1^4y_2^4$ $z^2\equiv x^2\equiv 1 (mod \verb следовательно

$$z^2+x^2=2y_1^4 \verb

и остается

$$z^2-x^2=2^3y_2^4. \verb

$y_1$ и $y_2$ не могут иметь общий множитель $ d>1 $ иначе, если $y_1$ делится на $d$ и $y_2$ делится на $d$, то из первой формулы имеем $ z^2 +x^2\equiv 0 (mod\verb и из формулы (2) имеем $z^2 - x^2\equiv 0 (mod \verb и, следовательно, $z^2 \equiv 0 (mod \verb, $x^2 \equiv 0 (mod \verb, т.е. $z, x$ имеют неединичный общий делитель, что противоречит условию: члены тройки теоремы взаимно просты."

Что касается математического содержания. Меня не устраивает первая же импликация: из $(z^2-x^2)(z^2+x^2)=2^4y_1^4y_2^4$ вовсе не следует (1). Почему не может быть, например, так:
$НОД(z^2+x^2,y_1)=y_3$, $y_1=y_3y_4$, $y_3>1, y_4>1$
$НОД(z^2-x^2,y_2)=y_5$, $y_2=y_5y_6$, $y_6>1, y_6>1$
и тогда $z^2+x^2=2y_3^4 y_5^4$ и $z^2-x^2=2^3y_4^4 y_6^4$ (я не акцентирую пока внимание на степенях вхождения 2)?
Обращаю внимание, что перед этой импликацией вы не наложили на $y_1, y_2$ никаких условий, препятствующих такой возможности.

[AKM]

sceptic в сообщении #226426 писал(а):

Команду $ eqno $ можно заменить на \verb" " (в кавычках - несколько символов пробела)...

Сложно предлагаете. Во-первых, eqno в таком виде НЕ команда: надо следать \eqno. И пробелы не понадобятся. Далее,
номер лучше сделать не "1", а "(1)", т.е. \eqno (1). И будет comme il faut:

$$z^2+x^2=2y_1^4\eqno(1) $$

(Ну, а пробелы при нужде делаются командами \, \: \; \quad \qquad)

[ewert]

Или тупо "\ ".

[Бодигрим]

И еще один момент: одна из особенностей форумного движка LaTeX заключается в том, что он (по естественным причинам) не обрабатывает ссылки на номера формул. Поэтому вам придется прописывать их жестко вручную, чтобы пропали знаки вопросов из вашего сообщения.

[barsukov]

Коровьев в сообщении #226198 писал(а):

Имеет место более сильное утверждение.
Уравнение
$x^4+y^4=z^2$
не имеет решений в целых числах.
Ферма дал в общих чертах доказательство этой теоремы методом спуска в письме другу, который после смерти Ферма востановил и опубликовал его.

Поиск нового решения как неизведанный и притягательный маршрут представляет не исребимый интерес для познания. Такова природа каждого из нас. Метод с которым эта задача решалась ранее хорошо описана в книге А.О.Гельфонд (Решение уравнений в целых числах.) В предлагаемом решении не применен метод математической индукции. Весьма признателен. Барсуков Г.В.

-- Пн июл 06, 2009 16:11:23 --

sceptic в сообщении #226426 писал(а):

Команду $ eqno $ можно заменить на \verb" " (в кавычках - несколько символов пробела). Тогда ваш текст

barsukov в сообщении #226385 писал(а):

Формулу $x^4+2^4y_1^4y_2^4=z^4$ запишем иначе $(z^2-x^2)(z^2+x^2)=2^4y_1^4y_2^4$ $z^2\equiv x^2\equiv 1mod8$ следовательно

$$z^2+x^2=2y_1^4eqno 1 $$

и остается

$$z^2-x^2=2^3y_2^4 eqno 2$$

$y_1$ и $y_2$ не могут иметь общий множитель $ >1 $ иначе если $y_1$ делится на $ $ и $y_2$ делится на $ $ то из первой формулы $ z^2 -x^2(mod ) и из формулы два [math]$z^2 x^2(mod ) и следовательно $z^2 0(mod )$ $x^2 0(mod )$ что противоречит условию; члены тройки теоремы взаимно просты.

будет выглядеть так (я сделал еще несколько незначительных поправок):

"Формулу $x^4+2^4y_1^4y_2^4=z^4$ запишем иначе: $(z^2-x^2)(z^2+x^2)=2^4y_1^4y_2^4$ $z^2\equiv x^2\equiv 1 (mod \verb следовательно

$$z^2+x^2=2y_1^4 \verb

и остается

$$z^2-x^2=2^3y_2^4. \verb

$y_1$ и $y_2$ не могут иметь общий множитель $ d>1 $ иначе, если $y_1$ делится на $d$ и $y_2$ делится на $d$, то из первой формулы имеем $ z^2 +x^2\equiv 0 (mod\verb и из формулы (2) имеем $z^2 - x^2\equiv 0 (mod \verb и, следовательно, $z^2 \equiv 0 (mod \verb, $x^2 \equiv 0 (mod \verb, т.е. $z, x$ имеют неединичный общий делитель, что противоречит условию: члены тройки теоремы взаимно просты."

Что касается математического содержания. Меня не устраивает первая же импликация: из $(z^2-x^2)(z^2+x^2)=2^4y_1^4y_2^4$ вовсе не следует (1). Почему не может быть, например, так:
$НОД(z^2+x^2,y_1)=y_3$, $y_1=y_3y_4$, $y_3>1, y_4>1$
$НОД(z^2-x^2,y_2)=y_5$, $y_2=y_5y_6$, $y_6>1, y_6>1$
и тогда $z^2+x^2=2y_3^4 y_5^4$ и $z^2-x^2=2^3y_4^4 y_6^4$ (я не акцентирую пока внимание на степенях вхождения 2)?
Обращаю внимание, что перед этой импликацией вы не наложили на $y_1, y_2$ никаких условий, препятствующих такой возможности.

Если вы приняли что $y_1=y_3y_4$ и $y_2=y_5y_6$ то должно быть $z^2+x^2=2y_3^4y_4^4$ $z^2-x^2=2^3y_5^4y_6^4$ Почему у вас $y_4$ и $y_5$ поменялись местами мне не ясно.

[sceptic]

barsukov в сообщении #226858 писал(а):

Если вы приняли что $y_1=y_3y_4$ и $y_2=y_5y_6$ то должно быть $z^2+x^2=2y_3^4y_4^4$ $z^2-x^2=2^3y_5^4y_6^4$ Почему у вас $y_4$ и $y_5$ поменялись местами мне не ясно.

Да, вы правы. У меня опечатка.

[barsukov]

AKM в сообщении #226477 писал(а):

sceptic в сообщении #226426 писал(а):

Команду $ eqno $ можно заменить на \verb" " (в кавычках - несколько символов пробела)...

Сложно предлагаете. Во-первых, eqno в таком виде НЕ команда: надо следать \eqno. И пробелы не понадобятся. Далее,
номер лучше сделать не "1", а "(1)", т.е. \eqno (1). И будет comme il faut:

$$z^2+x^2=2y_1^4\eqno(1) $$

(Ну, а пробелы при нужде делаются командами \, \: \; \quad \qquad)

Благодарю.Надеюсь усвоить.БарсуковГВ

-- Пн июл 06, 2009 18:27:53 --

age в сообщении #226193 писал(а):

barsukov в сообщении #226153 писал(а):

\document class{article} \begin{document}
Великая теорема Ферма. Четвертая степень. Новое решение.

$$x^4+y^4=z^4$$

Все члены этой тройки попарно взаимно просты. $z$ не может быть четным, так как $x^4 \equiv y^4 \equiv 1mod{16}$

$x^4 \equiv y^4 \equiv 1mod{8}$

Для любого нечетного числа $ x^2\equiv 1 mod{8}$ $ x^4\equiv 1 mod{16}$ [math]$x^8\equiv 1mod{32}$/math] и т.д.