мощность множества (количество множеств заданной мощности)

[malin]

Согласно определению из Википедии (Мощность множества), два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности. А вот чему равна мощность этого класса эквивалентности? А мощность множества всех подмножеств этого класса?
И может ли получиться так, что два неравномощных множества имеют равномощные классы?

[ewert]

malin в сообщении #226677 писал(а):

А вот чему равна мощность этого класса эквивалентности?

Ничему конкретному: для ответа на этот вопрос необходимо точно задать, подмножествами какого конкретно множества они являются.

[malin]

Я хочу сказать, что при таком определении мощности может возникнуть понятие "мощность мощности".
Ведь класс эквивалентности - это тоже множество, поэтому можно найти его мощность. Возьмём, например, множество действительных чисел. Его мощность равна классу эквивалентности (R). теперь посчитаем мощность этого класса эвивалентности. Его мощность равна классу ((R)).
Теперь вопрос: что больше (R) или ((R))? (то есть что больше, мощность множества дейсвительных чисел, или, простите за каламбур, мощность мощности множества действительных чисел?)

[ewert]

malin в сообщении #226700 писал(а):

Его мощность равна классу эквивалентности (R). теперь посчитаем мощность этого класса эвивалентности.

Не посчитаем. Сперва надобно перечислить все множества, которые мы позволяем себе рассматривать как эквивалентные к $\mathbb R$.

[Виктор Викторов]

Вам надо почитать кое-какие книжки. Например: Верещагин и Шень «Начала теории множеств».

[malin]

Цитата:

Не посчитаем. Сперва надобно перечислить все множества, которые мы позволяем себе рассматривать как эквивалентные к .

А вы часом не конструктивист? Вам обязательно надо изложить алгоритм построения множества? Обязательно перечислять все его элементы?

Конструктивно могу перечислить следующие множества: берём множество всех вещественных чисел, и над каждым его элементом x пишем штрих. таким образом x отображается в х' - биекция. Теперь над каждым элементом x пишем два штриха. таким образом x отображается в х'' - тоже биекция.

Таким образом, мы пришли к выводу, что (R) не менее чем счётно.

[ewert]

malin в сообщении #226715 писал(а):

А вы часом не конструктивист?

Нет, ни секундой. Слово "перечислить" я употребил исключительно для обострения ситуации.

Видите ли, прежде чем говорить о мощности чего бы то ни было -- Вы обязаны хоть как-то это нечто определить. В частности, понятие "класс эквивалентности" осмысленно только после того, как задано некое конкретное множество, которое разбивается на те самые классы. Хоть как-то, но -- задано.

У Вас ничего подобного не наблюдается.

[malin]

Вот здесь вы правы. Отношение эквивалентности необходимо задать на некотором множестве. Но ведь понятие мощности определено для любого множества, поэтому это отношение, по-видимому, следует задать на множестве всех множеств, которого не существует. Помогите, пожалуйста, разобраться в этом

[ewert]

malin в сообщении #226719 писал(а):

поэтому это отношение, по-видимому, следует задать на множестве всех множеств, которого не существует. Помогите, пожалуйста, разобраться в этом

Помогаю. Если следует сделать что-то, заведомо не имеющее смысла -- то этого не следует делать.

[malin]

То есть вы хотите сказать, что определять мощность, как класс эквивалентности, некорректно?

[Виктор Викторов]

malin в сообщении #226677 писал(а):

мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности

Это идёт от Фреге и Рассела. Ещё раз: читайте книжки. Этот вопрос подробно исследован в книге Abraham A. Fraenkel. Set Theory and Logic. Но я уверен, что есть и по-русски нечто легко читаемое.

[AGu]

malin в сообщении #226677 писал(а):

Согласно определению из Википедии(http://ru.wikipedia.org/wiki/Мощность_множества), два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

В строгих рамках ZF(C) такое определение мощности множества некорректно -- в том слысле, что мощность непустого множества не существует (или, если угодно, не является множеством). Цитированному определению можно придать смысл, лишь выйдя за рамки ZF(C) -- например, привлекая теорию классов (скажем, NGB) или введя понятие класса как синтаксического расширения языка теории множеств.

Кстати, аналогичная англоязычная статья http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality в этом смысле более аккуратно написана.

[мат-ламер]

По предыдущей ссылке можно выйти на ссылку http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_class , в которой класс эквивалентности трактуется как множество. Правда, там все множества являются подмножествами некоторого всеобъемлющего множества (если я правильно понял статью).

Цитата:

Ведь класс эквивалентности - это тоже множество

. В общем случае это не так. Это класс и для него понятие мощности неопределено.

[AGu]

мат-ламер в сообщении #226785 писал(а):

По предыдущей ссылке можно выйти на ссылку http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_class , в которой класс эквивалентности трактуется как множество. Правда, там все множества являются подмножествами некоторого всеобъемлющего множества (если я правильно понял статью).

Точнее говоря, там все "множества" являются элементами некоторого фиксированного множества. А еще точнее говоря, там рассматривается отношение эквивалентности на множестве, а не, скажем, на классе всех множеств (как это получается в обсуждаемом определении).

Если хочется, чтобы мощность множества была множеством, и не хочется выходить за формальные рамки ZF(C), определение придется изменить. Классическим решением является рассмотрение кардиналов (как неких канонических представителей рассматриваемых классов эквивалентности).

[vvvv]

Увлекающимся теорией множеств, хочу напомнить - Георг Кантор скончался в психиатрической клинике.

AKM:

Ваше сообщение неконструктивно и неуместно. Пожалуйста, воздерживайтесь от подобных замечаний.