Парадокс в классической механике.

[ABV]

Статья на английском языке находится здесь.
http://knol.google.com/k/alex-belov/paradox-of-classical-mechanics-2/1xmqm1l0s4ys/9#




При линейном движении соприкосновение обьектов двигающихся в противоположных направлениях не может происходить без обмена импульсами. Но у тела качения создаются уникальные условия, когда при касании тел обмена импульсами по направлению движения не происходит. размер элемента находящегося в покое на поверхости стремится к нулю, соответственно и масса его стремится к нулю. Т.е. точка соприкосновения есть, но элемент с этой скоростью бесконечно мал. Это в математике. Если перейти к реальной жизни, то как бы не стремился элемент к нулю, он всё равно физически существует.


Идея очень проста.

Кольцо движется по плоской поверхности. Представим тело качения кольцо, как совокупность n частей или множество (1,2,3,…,n) элементов.Масса каждой частицы этого кольца равна m.
Хороший пример гусеничная лента для гусеничного движителя.
При вращательно-поступательном движении без скольжения, каждая частица имеет постоянную угловую и переменную линейную скорости. Вот хорошая диаграмма из этого сайта.


Каждый элемент этого кольца касается поверхности и при этом имеет нулевую линейную скорость. На этом рисунке показана траектория движения элементов кольца.


На (рис 2) показано полное взаимодействие тела качения с поверхностю до и после трансформации.
Это действие состоит из 3х фаз. Эти 3 фазы происходят в разное время.


1. Кольцо и поверхность получают одинаковые импульсы но противоположные по направлению.
Масса кольца n*m
Масса поверхности M



2. В данной фазе кольцо мгновенно прижимается к поверхности элементом с нулевой скоростью V=0 и разрезается перед предыдущим элементом. Так как элемент с нулевой скоростью покоится на поверхности. Обмен импульсами между поверхностью и кольцом в направлении его движения не происходит. Элемент с массой m становится частью поверхности.
Прилипание элемента кольца к поверхности мгновенное. Ровно столько сколько этот элемент покоится на поверхности.


3. Кольцо(теперь уже псевдоцепь) и поверхность обмениваются импульсами.
Масса псевдоцепи (n-1)*m
Масса поверхости M+m

Как это показано на (рис. 2) тела, кольцо с массой m и поверхность массой M рассталкиваются в первой фазе. Во 2-й фазе без обмена импульсами происходит трансформация тела качения. В данном случае кольцо превращается в цепь с потерей массы до (n-1)*m и продолжает своё движение. В 3-й фазе тела, цепь с массой (n-1)*m и поверхность с массой M+m обмениваются импульсами. Надо заметить что тела в 1-й и 3-й фазах имеют разные массы, что изменяет начальные условия.

Что же произойдёт в конечном итоге?

Вернётся ли поверхность в состояние с нулевой скоростью?

Если усложнить задачу.
Каждый элемент цепи будет падать в своё определённое время и при этом будет отдавать свой импульс поверхности. Зная что каждый последующий элемент этой цепи будет иметь больший импульс а масса их всех одинакова, то можно предположить что масса поверхности будет расти быстрее, чем цепь успеет отдать весь импульс.


Мои предположения
Как было изложено выше тело качения имеет уникальную возможность когда при движении происходит касание поверхности. При этом касающийся элемент кольца имеет линейную нулевую скорость к поверхности. Другими словами только n-1 элемент находится в постоянном линейном движении относительно поверхности.
Если рассаматривать кольцо и псевдоцепь из фаз 1 и 3. То они не являются эквивалентом друг друга так как имеют разные массы. По закону сохранения импульса при разрыве кольца, с количеством элементов n, его полный импульс перейдёт к псевдоцепи с количеством элементов n-1. Иммено этот импульс вернётся поверхности с новой массой M+m в 3-ей фазе.

P = m*V = const
m1*V1 = m2*V2

Поверхность с новой массой M+m после обмена имульсами с псевдоцепью (n-1)*M получит остаточную линейную скорость V1. Но эта остаточная скорость будет отлична от начальной скорости Vo=0.
Какова будет конечная скорость движения платформы?
(Я благодарю video_ranger за предоставленное им это уравнение)
V1=(n*m/(M+n*m) )*V

"If the platform is completely free to move (say floating in outer space) momentum conservation requires that it will end up with a positive forward velocity:
V1=(n*m/(M+n*m) )*V
Kinetic energyis not conserved because as each link slaps down on the surface some energy is converted to heat.

For a full ring rolling at constant velocity there's no horizontal force between the bottom of the ring and the surface but that requires the ring to be balanced (rotationally symmetric). As links become missing from the circle that's no longer true so the succeeding links that hit the surface do have a forward pull on them accelerating the platform forward."

Следуя закону сохранения импульса, в изолированной системе при трансформации тела качения возможно получить конечную скорость платформы, которая будет отлична от нуля.

[venco]

Здесь совершенно неучтена сила, которая заставит отрезанный конец кольца (да и всю заднюю половину) вернуться к поверхности. Обычно этим занимается сила упругости колеса (кольца). Для целого кольца её можно рассматривать, например, как силу натяжения спиц между противоположными точками. Если же учесть такие спицы, и то что нижняя точка кольца прилипла к поверхности, а противоположная верхняя в этот момент имеет скорость $3v$ направо, и к моменту своего прилипания эта верхняя точка должна изменить свою горизонтальную скорость на равную скорости поверхности, то сразу будет видно куда пойдёт импульс от торможения поверхности. Любое другое сцепление между частями кольца приведёт к тому же результату.

[ABV]

Бум считать, что нет силы упругости. Пластик, резина, сталь все ей обладают если материал монолитный. Здесь монолита нет. Кольцо состоит из звеньев.
Не указана и центростремительная сила, которая начнёт разматывать цепь. Её энергия перейдёт в работу и т.д.
Факт остаётся фактом закон сохранения импульса должен сработать. Ежели разрезал колесо то для сохранения импульса получай приращение скорости на оставшиеся движущиеся элементы цепи(бывшего кольца).
Это всё понятно.
Не понятно только одно. Остановившийся элемент с массой m, который уже прицеплен к поверхности, ожидает возврата импульса от остальной части колеса. Т.Е. поверхность продолжает своё движение с той же скоростью, но уже с увеличенной массой. Это очень важно.
Цепь уже возвращает импульс другому телу. А раз так то тело с изменённой массой при получении начального импульса с противоположным направлением не вернётся к начальной нулевой скорости.

Математически, размер точки кольца с нулевой скоростью покоющейся на поверхности стремится к нулю. Значит и масса этого элемента стремится к нулю. Т.е. если выразить всё через предел стремящийся к нулю для точки на поверхности, то поверхность вернётся в начальную скорость. Но так как вещество имеет конечные размеры то платформа будет стремится к нулевой скорости, но никогда её не достигнет.

[venco]

ABV в сообщении #226997 писал(а):

Бум считать, что нет силы упругости. Пластик, резина, сталь все ей обладают если материал монолитный. Здесь монолита нет. Кольцо состоит из звеньев.

Звенья как-то связаны? Если нет, то они разлетятся сразу во все стороны. Если да, значит есть сила упругости.

Случай со спицами легче рассчитать, и из поведения звеньев будет видно, каким образом импульс передастся поверхности. Я предлагаю вам рассмотреть кольцо как совокупность точек, соединённых только с противоположными точками посредством невесомых спиц. Теперь, начиная с некоторого момента точки прилипают к поверхности. Эти точки действительно в момент прилипания никакого импульса не передают. Но вот после этого они тормозят прикреплённую спицей противоположную точку и благополучно передают весь импульс поверхности.

Если кольцо соединено по принципу гусеницы, то считать будет гораздо сложнее, т.к. такая гусеница потеряет свою форму после разрыва. Но импульс всё равно никуда не денется.

[ABV]

venco в сообщении #227004 писал(а):

Звенья как-то связаны? Если нет, то они разлетятся сразу во все стороны. Если да, значит есть сила упругости.

Уговорили. И на звеньях сила упругости есть. Только не учитывается она, потому как сумарный импульс от разрыва всё равно ноль будет.

venco писал(а):

Случай со спицами легче рассчитать, и из поведения звеньев будет видно, каким образом импульс передастся поверхности. Я предлагаю вам рассмотреть кольцо как совокупность точек, соединённых только с противоположными точками посредством невесомых спиц. Теперь, начиная с некоторого момента точки прилипают к поверхности. Эти точки действительно в момент прилипания никакого импульса не передают. Но вот после этого они тормозят прикреплённую спицей противоположную точку и благополучно передают весь импульс поверхности.

Как вы представляете взаимодействие 2х элементов с разной скоростью на поверхность в одном месте? А если нечётное количество элементов?

Потом, если первый элемент уже находится в покое и является уже поверхностью то второй с удвоенной скоростью возвращает момент поверхности уже с изменившейся массой.

Задача специально упрощена до 3 фаз для наглядности. Разгон, изменение массы и возвращение импульса. Можно усложнить, но тогда не будет видно очевидных вещей.

-- Пн июл 06, 2009 23:22:00 --

venco в сообщении #226778 писал(а):

Здесь совершенно неучтена сила, которая заставит отрезанный конец кольца (да и всю заднюю половину) вернуться к поверхности. Обычно этим занимается сила упругости колеса (кольца).

Первая диаграмма в этой картинке.



Если между двумя человечками кольцо немного "раздуется" (сработает сила уругости) то закон сохранения импульса будет нарушен?

[ABV]

Эти рассуждения можно применить и для тела качения (диска) из n секторов с массами m движущегося по плоскопараллельной поверхности. Красный сектор будет иметь нулевую скорость по отношению к поверхности. Следственно только часть диска n-1 с массой (n-1)*m будет передавать импульс dP поверхности с массой M+m за время dt.
Если считать классически: при диске обладающем линейной скоростью V общая скорость при остановке на поверхности будет составлять $V1= \frac {n*m}{n*m+M}V$
Если учитывать, что движется только n-1 сектор то общя скорость при остановке диска на поверхности должна составить $V11= \frac{(n-1)*m}{(n-1)*m+M+m}V$
Разница в скорости будет $V1-V11=\frac{m}{n*m+M}V$
Считая, что размер сектора стремится к нулю, масса сектора с нулевой линейной скоростью тоже стремится к нулю. Применяя к это к формуле разности скоростей получим: $\lim_{m->0}{(V1-V11)}=\lim_{m->0}{\frac{m}{n*m+M}V}=0$
С точки зрения математики при бесконечно малом секторе с массой m движение поверхности $V1= \frac {n*m}{n*m+M}V$
. Но так как вещество имеет свои конечные размеры, то скорость будет отличатся на малую величну равную:
$V1-V11=\frac{m}{n*m+M}V$

[venco]

ABV, вы поняли, что я сказал выше?

[ABV]

venco в сообщении #227298 писал(а):

ABV, вы поняли, что я сказал выше?

Да.
Я даже Вас спросил. Вы не ответили.

[venco]

Неважно как соединены элементы кольца. Важно, что при опускании они тормозятся до скорости поверхности только за счёт разгона тех, что поднимаются. Т.е. полный импульс кольца остаётся постоянным.
Если вы каким-либо образом разорвали связь между элементами кольца, и импульс перестал передаваться опускающимся элементам, то они при касании уже не будут иметь нулевую горизонтальную скорость относительно поверхности, и при прилипании передадут горизонтальный импульс (впрочем и вертикальный тоже) поверхности, и - сюрприз! - этот переданный импульс будет в точности равен начальному, т.е. поверхность остановится.
Так понятно?

[ABV]

venco в сообщении #227300 писал(а):

Неважно как соединены элементы кольца. Важно, что при опускании они тормозятся до скорости поверхности только за счёт разгона тех, что поднимаются. Т.е. полный импульс кольца остаётся постоянным.
Если вы каким-либо образом разорвали связь между элементами кольца, и импульс перестал передаваться опускающимся элементам, то они при касании уже не будут иметь нулевую горизонтальную скорость относительно поверхности, и при прилипании передадут горизонтальный импульс (впрочем и вертикальный тоже) поверхности, и - сюрприз! - этот переданный импульс будет в точности равен начальному, т.е. поверхность остановится.
Так понятно?

Сюрприз? Если говорить о законе сохранения импульса. Так я не против
Тут дело не в этом. Я пытаюсь обьяснить, что подсчёт для торможения о поверхность (трение качения в частности) будет отличаться от удара об стенку.
Если во втором случае контакт с поверхностью сущестует, то в первом случае его нет.
Поэтому при ударе о стенку будет полное соответствие фаз 1 и 3.
При торможении о поверхность появляется область тела качения с нулевой скоростью, которая бесконечна мала математически. Физически она будет иметь конечную величину. Эта величина и создаст условие при котором импульс возвращается другим способом. Соотношение масс изменяется, что и приводит к такому эффекту.

[venco]

К какому эффекту?

[ABV]

venco в сообщении #227305 писал(а):

К какому эффекту?

Извините, что назвал это эффектом.

Это - подсчёт возврата импульса через изменяемую массу тела.

====
Можно по другому попытаться.
Разбить тему на маленькие куски и каждый кусок обсудить в отдельности.

[venco]

Насколько я понял, в статье, на которую вы ссылались, утверждается, что закон сохранения импульса нарушается. Я указал, в чём ошибка в статье. Вы до сих пор согласны со статьёй?

[ABV]

venco в сообщении #227495 писал(а):

Насколько я понял, в статье, на которую вы ссылались, утверждается, что закон сохранения импульса нарушается. Я указал, в чём ошибка в статье. Вы до сих пор согласны со статьёй?

Статья - это то с чего тема начинается с ссылкой на английской вариант? Там нет нарушения закона сохранения импульса. Там есть движение платформы в конечном итоге. Трактовать это нарушением закона сохранения импульса будет неправильно.


=========Добавление к рисунку с плоским диском===========

Плоский диск катится по плоскопараллельной поверхности с определённой силой трения. На внутреннюю работу энергия не тратится.
Далее обьясняется, что плоский диск имеет сектро с нулевой скоростью по отношению к поверхности. Если диск за время dt отдаёт часть импульса dP, то за поверхность надо считать и сектор с нулевой скоростью и массой m. Из этой модели делается математический подсчёт.

Предпологается, что торможение через удар (вертикальная плоскость) и трение качения (горизонтальная поверхность) происходит по разному.
Сектор с нулевой скоростью очень мал.
Разница скоростей от разгона ударом и торможение трением качением будет очень мала. Математически - ноль. Физически - надо ставить опыт.

Это та же модель, что и преобразование кольца в цепь. Только там явно виден защемлённый хвост, а тут нет

[venco]

ABV в сообщении #227496 писал(а):

venco в сообщении #227495 писал(а):

Насколько я понял, в статье, на которую вы ссылались, утверждается, что закон сохранения импульса нарушается. Я указал, в чём ошибка в статье. Вы до сих пор согласны со статьёй?

Статья - это то с чего тема начинается с ссылкой на английской вариант? Там нет нарушения закона сохранения импульса. Там есть движение платформы в конечном итоге. Трактовать это нарушением закона сохранения импульса будет неправильно.

А как это ещё можно трактовать? Если в начале у вас суммарный импульс был равен нулю, а в конце нет, то импульс не сохранился, значит вы что-то не учли.