Теоретическая механика.

[Наума]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, разобрать задачу. Уже не знаю куда обратиться.
Прокатный стан состоит из двух валов диаметром d=50 см, вращающихся в противоположные стороны. Расстояния между валами a=0,5 см. Какой толщины b листы можно прокатывать на этом стане, если коэффициент трения для раскаленного железа и чугунных валов f=0,1?

Мои рассуждения были следующие.
Существует такая толщина листа, при которой валы находились бы в равновесии, можно сказать их заклинило бы. Если отталкиваться отсюда, то можно рассмотреть условие равновесия всей системы при заклинивании валов. Число неизвестных в задаче превышает число аналитических условий равновесия сил, приложенных к системе. Поэтому я решила, что можно будет определить толщину листа, решая задачу методом РОЗ. Твердую инженерную конструкцию расчленила на два твердых тела: "верхний вал - лист" и "нижний вал". В ходе дальнейших решений и выведения формулы для толщины листа результат не сошелся с ответом.
В чем же ошибка моих рассуждений?

Кто может подсказать, как была выведена формула Эйлера для определения силы натяжения нити, перекинутой через шероховатый неподвижный блок?
$T_H=P\cdot e^{-f\cdot\alpha}$,
где $T_H$ - сила натяжения нити, $P$ - вес груза на другом конце перекинутой через блок нити, $e \approx 2,7$; $f$ - коэффициент трения скольжения, $\alpha$ - угол охвата нитью блока.

[Андрей123]

По первой задаче рассуждения, вроде бы, верные. Изложите
поконкретней. Будем искать ошибку. По формуле Эйлера - Google.

[Наума]

Андрей123 в сообщении #226574 писал(а):

По первой задаче рассуждения, вроде бы, верные. Изложите
поконкретней.

Рассмотрим предельный случай равновесия системы, когда они стремятся выйти из состояния покоя. Тоесть найдем толщину листа, при которой будет заклинивание валов, а меньшее значение этой толщины будет способствовать прокатыванию валами стального листа.

Составляем аналитические условия равновесия сил, приложенных к каждому твердому телу. Уравнения, содержащие силы, значения которых по условию не нужно определять, составлять не будем. Поэтому составим суммы алгебраических моментов сил систем относительно центров валов и запишем третий закон Кулона для максимального значения силы трения:
для тела 1

(1) $F_{21}\cdot cos\alpha\cdot (\frac{b+a}{2}+r) - F_{21}\cdot sin\alpha\cdot r\cdot sin\alpha + N_{21}\cdot sin\alpha\cdot (\frac{b+a}{2}+r)+N_{21}\cdot cos\alpha\cdot r\cdot sin\alpha - m = 0$

(2) $F_{21}=f\cdot N_{21}$;

для тела 2
(3) $F_{12}\cdot r-m=0$.

Из уравнения (3) следует, что $F_{12}\cdot r=m$;
Согласно аксиоме равенства сил действия и противодействия $F_{12}=F_{21}$, следовательно, $F_{21}\cdot r=m$. Полученное уравнение подставляем в (1), а затем и выражение (2).

В итоге подстановки и исключения $N_{21}$ из результирующего уравнения, формула (1) приобретает вид:
$f\cdot cos\alpha\cdot (\frac{b+a}{2}+r) - f\cdot sin^2\alpha\cdot r + sin\alpha\cdot (\frac{b+a}{2}+r)+cos\alpha\cdot r\cdot sin\alpha - f\cdot r = 0$,
где $cos\alpha=1-\frac{b-a}{2r}$.
Мы получили два неизвестных $\alpha$ и $b$, и два уравнения. А выразить неизвестное $b$ мне не представляется возможным. Поэтому возможна ошибка в правильности выбора метода решения задачи.

[Батороев]

$ N $ - нормальная реакция валков, действует вдоль линии $OA$ (см. свой рисунок).
Можно записать:
$N\cdot \sin \alpha < F_t\cdot \cos \alpha $, где $F_t = f\cdot N $ - сила трения.

[Андрей123]

А почему не представляется? Уравнения не проверял. Можно проще. Из соображений симметрии и проекции уравнения равновесия листа на ось x получаем: $F_{tr}\cos\alpha=N\sin\alpha$. Из закона Кулона $|F|<fN$. Далее учитываете связь между $\alpha$ и $b$, и получаете ответ.

Батороев опередил.

[Наума]

Батороев, Андрей123, отдельное Вам спасибо за то, что Вы есть на этом форуме
1) Скажите, пожалуйста, Вам лень было прочитать полностью моё сообщение, хотя я пыталась максимально сжато написать рассуждения ?
2) Предложенный мною вариант рассмотрения равновесия тела 1 получается наиболее трудный, но верный. Достаточно было рассмотреть равновесие листа. Хотя признаюсь, я рассматривала поотдельности каждое и пыталась убедиться в том, сможет ли каждая часть конструкции (в случае расчленения инженерной конструкции на 3 тела) находиться в равновесии или нет. Моя ошибка в том, что рассматривая равновесие прокатного листа, я не смогла убедиться в том, что проекции нормальных сил и сил трения на оси должны быть равны между собой.
3) Движение катков (валов) будет при условии $N\cdot sin\alpha<f\cdot N\cdot cos\alpha$, то почему в ответе стоит знак равенства (см. рис.)?

[Андрей123]

Лень было разбираться с выкладками. Что по поводу строгого или нестрогого неравенства, то это, по-моему, непринципиально. В законе Кулона стоит нестрогое, значит и в ответе будет нестрогое.

[Наума]

Андрей123 в сообщении #226709 писал(а):

В законе Кулона стоит нестрогое, значит и в ответе будет нестрогое.

Вот незадача, в законе Кулона написано, что максимальное значение силы трения достигается, когда рассматриваемое твердое тело стремится выйти из равновесия, но не выходит из него. Поэтому при равенстве $b\leqslant0,75$ см лист же прокатываться не будет.

Как быть?

[Андрей123]

Чуть-чуть подтолкните, и будет. Еще раз повторяю, что это
непринципиально. На практике идеальное равенство никогда не достигается.

[ewert]

Я во всём этом не разбираюсь, но и тем не менее не понимаю: а при чём тут закон Кулона-то?... -- ведь в процессе явно участвует не только сила "сухого" трения, но и силы, связанные с деформацими листа (на что откровенно указывает словосочетание "какой толщины"), а уж они-то к закону Кулона отношения явно не имеют.

[venco]

ewert в сообщении #226721 писал(а):

Я во всём этом не разбираюсь, но и тем не менее не понимаю: а при чём тут закон Кулона-то?

Let me Google that for you

[Архипов]

Для обсуждаемой задачи есть простое решение через теорему Пифагора.
В оригинале задачи коэффициент трения задан безразмерной величиной $f=0,1$. Из формулы силы тения $F=f*N$ нормальная сила в 10 раз больше силы трения. Значит - рычаг $r*sin a$ должен быть в 10 раз меньше, чем рычаг $r$.
Итак: ${50^2+5^2}={50,25}^2$
Вал, накатываясь на прокатываемый лист, должен сминать его на глубину не более 50,25-50=0,25 см.
Но дано два вала, тогда прижимающая сила N каждого из валов не должна превышать силу трения качения F более, чем в 20 раз. Малый рычаг будет 50/20=2,5 см.
${50^2+2,5^2}={50,125}^2$
Cминая по 50,125-50=0,125 см с каждой из двух поверхностей листа, получим тот же эффект.
Отсюда ответ: 0,5+0,25 = 0,75 см.

[ewert]

venco в сообщении #226737 писал(а):

Let me Google that for you

Вы не дочитали.

[venco]

ewert в сообщении #226775 писал(а):

venco в сообщении #226737 писал(а):

Let me Google that for you

Вы не дочитали.

Извините, поспешил.

[Наума]

ewert в сообщении #226721 писал(а):

Я во всём этом не разбираюсь, но и тем не менее не понимаю: а при чём тут закон Кулона-то?... -- ведь в процессе явно участвует не только сила "сухого" трения, но и силы, связанные с деформацими листа (на что откровенно указывает словосочетание "какой толщины"), а уж они-то к закону Кулона отношения явно не имеют.

Здравствуйте!
Законы Кулона ( в том числе и законы трения качения) приближенно справедливы для не очень больших сил нормального давления $\vec {N}$ и не слишком легко деформируемых тел. Поэтому законы для трения скольжения (при покое или механическом движении) можно, так сказать, в первом приближении отнести для твердых тел - листа и вала. Но распределенные силы и моменты, которые возникают при деформации тел, заменяют более простой системой сил. Полученную систему сил, согласно выше указанному, можно приложить и к твердым телам.