систему уравнений для множеств

[umarus]

Показать, что любое уравнение относительно множества X, в правой части
которого стоит $\phi$ , равносильно уравнению$(A\cap X)$ U (В\ (-Х)) = $\phi$ ,
где А и В — некоторые множества, в записи которых не содержится
символ X;

[Виктор Викторов]

umarus в сообщении #226171 писал(а):

где А и В — некоторые множества, в записи которых не содержится символ X;

Что это значит? Формально говоря, эта фраза означает описание множеств А и В, в записи которых не содержится символ X и в записи которых содержится символ X.

[umarus]

наверное множесва или комбиация множеств не зависящи от множ. X

[Виктор Викторов]

Простой, но вопрос: Дайте, пожалуйста, определение «множества или комбинации множеств, не зависящих от множества Х». И дайте, пожалуйста, определение понятия «комбинация множеств».

[umarus]

ну например "C u B",обьеденение множеств назавем А

[AGu]

Множество $R$ всех подмножеств некоторого фиксированного непустого множества является (ассоциативным) коммутативным кольцом с единицей относительно операций $a+b:=a\vartriangle b=(a\cup b)\backslash(a\cap b)$ и $ab:=a\cap b$. При этом $a^2=a$ и $a=-a$ для всех $a\in R$. Как легко видеть, всякое кольцевое уравнение $f(x)=0$ в $R$ эквивалентно уравнению вида $cx+b=0$, где $c,b\in R$. Поскольку $c=c+b+b$, уравнение $cx+b=0$ эквивалентно уравнению $(a+b)x+b=0$, где $a=c+b$. Осталось заметить, что $(a+b)x+b=(a\cap x)\cup(b\backslash x)$ для всех $a,b,x\in R$.

[ewert]

umarus в сообщении #226171 писал(а):

Показать, что любое уравнение относительно множества X, в правой части
которого стоит $\phi$ , равносильно уравнению$(A\cap X)$ U (В\ (-Х)) = $\phi$ ,
где А и В — некоторые множества, в записи которых не содержится
символ X;

Тут явная очипятка. Под $(-X)$ могло подразумеваться, очевидно, лишь $\overline X$, а тогда получается $(A\cap X)\cup(B\cap X) =\varnothing$, что, очевидно, неверно. Правильная версия: $(A\cap X)\cup(B\cap\overline X) = \varnothing$, что не менее очевидно верно, стоит только раскрыть все скобки над пересечениями и потом перегруппировать все слагаемые...

[antbez]

Цитата:

А и В — некоторые множества, в записи которых не содержится
символ X

То есть не пересекаются с ним?

[Виктор Викторов]

umarus в сообщении #226171 писал(а):

где А и В — некоторые множества, в записи которых не содержится символ X;

Уважаемые AGu и ewert! Так как каждый из Вас ответил на вопрос umarus, то, следовательно, Вы понимаете, что автор имеет в виду. Пожалуйста, объясните это мне.

ewert в сообщении #226323 писал(а):

umarus в сообщении #226171 писал(а):

Показать, что любое уравнение относительно множества X, в правой части
которого стоит $\phi$ , равносильно уравнению$(A\cap X)$ U (В\ (-Х)) = $\phi$ ,
где А и В — некоторые множества, в записи которых не содержится
символ X;

Тут явная очипятка. Под $(-X)$ могло подразумеваться, очевидно, лишь $\overline X$, а тогда получается $(A\cap X)\cup(B\cap X) =\varnothing$, что, очевидно, неверно. Правильная версия: $(A\cap X)\cup(B\cap\overline X) = \varnothing$, что не менее очевидно верно, стоит только раскрыть все скобки над пересечениями и потом перегруппировать все слагаемые...

Итак, под $(-X)$ понимаем $\overline X$. Тогда уравнение $(A\cap X)$ U (В\ (-Х)) = $\phi$ выглядит так: $(A\cap X)\cup(B\setminus\overline X) = \varnothing$
Если я понимаю задачу, верно, то вопрос сводится к поиску множеств X удовлетворяющих этому уравнению, но наша задача не решить это уравнение, а показать, что все уравнения множеств «в правой части
которого стоит $\phi$» ему равносильны. Уравнение $(A\cap X)\cup(B\cap X) =\varnothing$ равносильно первоначальному. Что здесь «очевидно, неверно»?
Уравнение $(A\cap X)\cup(B\cap\overline X) = \varnothing$ не равносильно первоначальному, что опровергает тезис автора. С другой стороны, что имелось в виду под «Правильная версия»?

AGu в сообщении #226263 писал(а):

$a=-a$ для всех $a\in R$.

Что Вы имеете в виду под $-a$?

AGu в сообщении #226263 писал(а):

Осталось заметить, что $(a+b)x+b=(a\cap x)\cup(b\backslash x)$ для всех $a,b,x\in R$.

Как можно элегантно вывести это «Осталось заметить»?

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #226383 писал(а):

Уравнение $(A\cap X)\cup(B\cap X) =\varnothing$ равносильно первоначальному. Что здесь «очевидно, неверно»?

Ну Вы же сами себе и ответили:

Виктор Викторов в сообщении #226383 писал(а):

Уравнение $(A\cap X)\cup(B\cap\overline X) = \varnothing$ не равносильно первоначальному, что опровергает тезис автора.

Правда, ответили неаккуратно, надо было так: "уравнение $(A\cap X)\cup(B\cap\overline X) = \varnothing$ не может быть приведено к виду $(A'\cap X)\cup(B'\cap X) = \varnothing\quad\Leftrightarrow\quad C\cap X=\varnothing,\quad C=A'\cup B'$ с какими-либо $A'$ и $B'$, что и опровергает тезис автора".

Виктор Викторов в сообщении #226383 писал(а):

С другой стороны, что имелось в виду под «Правильная версия»?

$(A\cap X)\cup(B\cap\overline X) = \varnothing$ как общий вид таких уравнений.

Виктор Викторов в сообщении #226383 писал(а):

Что Вы имеете в виду под $-a$?

Это в заглавном посте значок минуса непонятен, а у AGu-то как раз всё ясно: $(-a)$ -- это элемент, обратный к $a$ по отношению к операции "симметрическая разность" (или, что то же самое на булевском языке, "XOR", или "логическое сложение").

Виктор Викторов в сообщении #226383 писал(а):

AGu в сообщении #226263 писал(а):

Осталось заметить, что $(a+b)x+b=(a\cap x)\cup(b\backslash x)$ для всех $a,b,x\in R$.

Как можно элегантно вывести это «Осталось заметить»?

Наверное, проще всего картинками (диаграммами Венна). Нарисуйте картинку, отвечающую левой части и картинку, отвечающую правой -- они совпадут.

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #226383 писал(а):

Уважаемые AGu и ewert! Так как каждый из Вас ответил на вопрос umarus, то, следовательно, Вы понимаете, что автор имеет в виду. Пожалуйста, объясните это мне.

Сначала -- об уже упомянутой "очипятке": вместо $B\backslash(-X)$, как отметил ewert, должно быть $B\backslash X$ или, что то же самое, $B\cap\overline X$. (Посчитав эту очипятку очевидной, я ничего о ней не сказал.)

Автор, скорее всего, имел в виду следующую задачу.

Пусть $f(X,C_1,\dots,C_n)$ -- произвольный терм со свободными переменными $X,C_1,\dots,C_n$ сигнатуры $\Sigma:=\bigl\{{\cup},{\cap},{\backslash},{\overline{(\cdot)}},{\vartriangle},\varnothing\bigr\}$ (сигнатуру можно сократить или определимо расширить по вкусу). Пусть $\Omega$ -- произвольное множество. Рассмотрим модель $M$ сигнатуры $\Sigma$ с носителем $\mathcal P(\Omega)$ и стандартной интерпретацией сигнатуры $\Sigma$ . Требуется доказать следующее:

$$M\vDash(\forall\,C_1,\dots,C_n)(\exists\,A,B)(\forall\, X)[\,f(X,C_1,\dots,C_n)=\varnothing\,\Leftrightarrow\,(A\cap X)\cup(B\backslash X)=\varnothing\,].$$

Виктор Викторов писал(а):

AGu писал(а):

$a=-a$ для всех $a\in R$.

Что Вы имеете в виду под $-a$?

Опять-таки, ewert уже ответил на этот вопрос. Это такой (единственный) элемент $-a\in R$, что $a+(-a)=0$.

Виктор Викторов писал(а):

AGu писал(а):

Осталось заметить, что $(a+b)x+b=(a\cap x)\cup(b\backslash x)$ для всех $a,b,x\in R$.

Как можно элегантно вывести это «Осталось заметить»?

Не претендую на "элегантность", но $(a\cap x)\cup(b\backslash x) = ax\cup(b+bx) = ax+b+bx+ax(b+bx) = ax+b+bx = (a+b)x+b$.

[ewert]

Я с теорией множеств (как теорией) не знаком, поэтому рассуждал по рабоче-крестьянски. Очевидно, в левой части уравнения предполагается некоторая (конечная) комбинация нескольких вхождений множества $X$ и нескольких фиксированных других множеств, связанных между собой операциями объединения, пересечения и дополнения (этого достаточно -- все остальные операции через них выражаются). Раскроем все скобки, имея в виду дистрибутивность в варианте $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$ (ну и, конечно, правила де Моргана). Получим формальное выражение вида $\displaystyle\bigcup_{k}\left(A_k\cap X^{m_k}\cap{\overline X}^{n_k}\right)$, где каждое из $X^{m_k}\cap{\overline X}^{n_k}$ -- это или $X$, или $\overline X$, или $\varnothing$. Теперь, наоборот, вынесем за скобки все иксы -- вот и получится ровно выражение вида $(A\cap X)\cup(B\cap{\overline X})$.

[umarus]

спасибо за помошь

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #226427 писал(а):

Не претендую на "элегантность", но $(a\cap x)\cup(b\backslash x) = ax\cup(b+bx) = ax+b+bx+ax(b+bx) = ax+b+bx = (a+b)x+b$.

Абсолютно с Вами не согласен. Весьма элегантный вывод, как и всё, что Вы написали. Спасибо.