Математика и логика

[Свободный Художник]

В связи с постом epros:

epros в сообщении #222522 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #222463 писал(а):

Можно еще сказать, что вездесущими являются неопределяемые понятия, положенные в основу “супертеорий”. Таких, например, как теория множеств (т. е. это будет отношение принадлежности).
Две других “супертеории”, осмелившиеся бросить вызов теории множеств: теория категорий и лямбда-исчисление, тоже имеют свои неопределяемые понятия (операцию композиции и операцию аппликации, соответственно).

Таким образом, неопределяемые понятия “супертеорий” (отношение принадлежности, операцию композиции и операцию аппликации) следует считать, по-видимому, весьма вездесущими.

Вы явно ослабляете требования к "вездесущности". Сам факт, что некто "осмелился бросить вызов" супертеории свидетельствует о том, что её понятия не такие уж вездесущие. Даже логические тавтологии (типа закона исключённого третьего) или синтаксические понятия (типа кванторов) могут быть оспорены. А уж они-то, по-моему, повездесущнее каких-то множеств будут.

хотелось бы выяснить соотношение между логикой и математикой.
Кто из них круче, кто фундаментальнее? Кто на ком зиждется?

“Математическая логика” – есть, о “логической математике” что-то не слышно. Тем не менее, существует направление в философии математики (“логицизм”), пропагандирующее тезис о сводимости математики к логике:
http://en.wikipedia.org/wiki/Logicism

S. Feferman. “Logic, Logics, and Logicism”:
http://math.stanford.edu/~feferman/papers/logiclogicism.pdf

[luitzen]

Свободный Художник в сообщении #222872 писал(а):

Кто из них круче, кто фундаментальнее? Кто на ком зиждется?

Одни надоказывали кучу всего индукцией по длине вывода, а потом предлагают на них зиждиться. Другие же надоказывали кучу всего от противного, а после этого предлагают зиждиться на них. Кажется, что никакого foundational отношения между математикой и логикой установить нельзя, речь должна идти о каком-то другом отношении. Что-нибудь типа того, что каждая из них является убойным приложением другой.

Или же можно как-то так «расщепить» логику и математику, чтобы отношения между какой-нибудь «математикой-1» и «логикой-2» оказались бы вполне foundational ?

Но пусть, к примеру, другие зиждутся на одних. Тогда непонятно, где кончается фундамент и начинается строение. Вот исчисление предикатов с равенством — это уже предметная теория, или ещё нет? А аксиома бесконечности может ли быть названа чисто логической аксиомой?

Если же к вопросу «кто круче», т. е. если рассматривать логику как часть математики и сравнивать богатство и содержательность рассматриваемых структур, то тут сравнение явно в пользу (остальной) математики. Логика вообще кажется одной большой тавтологией, если не оплодотворена какими-то внешними, синтетическими подходами.

Вроде бы ничего нового не сказал, но надеюсь, что придал живости .

[epros]

luitzen в сообщении #223517 писал(а):

Вот исчисление предикатов с равенством — это уже предметная теория, или ещё нет? А аксиома бесконечности может ли быть названа чисто логической аксиомой?

По-моему, здесь-то как раз мнение достаточно устоявшееся: Равенство (эквивалентность) требует для своего определения дополнительных аксиом, которых нет в "чистом" исчислении предикатов. И аксиомы бесконечности тоже к "чисто логическим" не относятся. Ибо "чисто логические" - это даже, собственно, не аксиомы, а тавтологии, т.е. утверждения которые могут быть формализованы только как мета-аксиомы или как схемы аксиом предметной теории.

[Кардановский]

Мне кажется,что дискуссию о том, что более фундаментально - логика или математика,полезно начать с ответа на два очень простых вопроса: 1) Может ли математика обойтись без употребления логики? 2) Может ли логика обойтись без употребления математики?

[SoneN]

Кардановский в сообщении #223935 писал(а):

Мне кажется,что дискуссию о том, что более фундаментально - логика или математика,полезно начать с ответа на два очень простых вопроса: 1) Может ли математика обойтись без употребления логики? 2) Может ли логика обойтись без употребления математики?

Математика без логики обойтись не может.
А вот логика без математики вполне может существовать.
Так как строить связанные цепочки мыслей и делать из этого соответствующие выводы человек научился ещё задолго до появления на свет Царицы наук.
И всё равно этот вопрос из разряда: "Что появилось раньше?Курица или яйцо?"

[epros]

SoneN в сообщении #224073 писал(а):

А вот логика без математики вполне может существовать.

Это только нематематическая логика. Есть такая философская традиция: всяческие бессмысленные рассуждения называть "логическими".

[bot]

epros в сообщении #224162 писал(а):

Это только нематематическая логика.

Например, женская логика

[Кардановский]

SoneN: Ответы верные,но несколько уничижительные для математики...

[Свободный Художник]

А вот говорят еще, например, что булева алгебра – это “алгебра мысли” (или “алгебра логики”). И что она придумана Джорджем Булем специально для того, чтобы формализовать “законы мышления”
http://plato.stanford.edu/entries/algebra-logic-tradition/
http://en.wikipedia.org/wiki/George_Boole
Но “алгебра логики” имеет также и “числовую” модель:
http://www.px-pict.com/9/5/1/3/1.html
причем операции этой модели были определены уже в самом первом учебнике по теории чисел – в VII книге “Начал”:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8.html
Т. е. получается, что “алгебра Буля” была по существу определена более чем за 2000 лет до самого Буля (во времена, когда и Платон еще не родился).

И чего поделывает “алгебра мысли” в теории чисел?

P.S. В свете вышесказанного было бы логично в основу аксиоматики теории натуральных чисел положить аксиоматику теории дистрибутивных решеток:
http://en.wikipedia.org/wiki/Distributive_lattice

[Кардановский]

Свободный Художник: За две тысячи лет развития математики процесс насыщения ее структур логическими взаимосвязями,выросшими из системы аксиом,постулатов,базовых терем,определений далеко не завершен. Более того,рискну высказать предположение,что даже основа основ математики - система ее аксиом сегодня все еще далека от исчерпывающей полноты...

[Dialectic]

Мне кажется, что этот вопрос не может быть разрешён по тревиальной причине - нет внятного определения ни что такое логика, ни что такое математика. Но я придерживаюсь той точки зрения, что вся математика- часть логики. Насколько мне известно - всю математику можно свести к логике. И это и было проделано Уайтхедом и Расселом в своей работе Principia Mathematica.
Исходя из этого, я предпологаю, что никакой математики вообще как таковой нет. Имеет место лишь различные формальные системы. Некоторую совокупность из них, в силу исторических причин можно назвать математикой. Остальные условно логикой. Но это деление лишь условное, признанное показать некий исторический аспект рождения этих наук. Короче, мой ответ таков: есть только формальные системы и более нечего. Часть из них можно назвать логикой, часть математикой. Как вам угодно.

[Кардановский]

Dialektik: Очень интересное суждение! Вот только согласятся ли с ним рафинированные математики? Что же касается определений понятий МАТЕМАТИКА и ЛОГИКА,то,соглашусь - точных,в строгом смысле, определений этих понятий нет. Рискну(возможно и не первый) высказать и более общую гипотезу: абсолютно точных определений каких либо понятий не может быть в принципе! Ведь любое "точное" определение некого понятия ,в свою очередь,состоит из некоторого конечного множества иных не совссем точных понятий ,которые, в совокупности,будучи не совсем точными,соответственно,не могут дать вполне точного толкования определяемому....

[VAL]

Свободный Художник в сообщении #225671 писал(а):

причем операции этой модели были определены уже в самом первом учебнике по теории чисел – в VII книге “Начал”:

...автором которых, как известно, является Евклид.

Цитата:

Т. е. получается, что “алгебра Буля” была по существу определена более чем за 2000 лет до самого Буля (во времена, когда и Платон еще не родился).

Евклид в юности, по-видимому, был одним из учеников Платона. И уж точно родился намного позже.
Нестыковочка получается.

[Свободный Художник]

VAL в сообщении #226354 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #225671 писал(а):

причем операции этой модели были определены уже в самом первом учебнике по теории чисел – в VII книге “Начал”:

...автором которых, как известно, является Евклид.

Нет, не Евклид.
Конечно, VII книга “Начал” – Евклида, но содержащийся в ней материал – не его.
Этот вопрос подробно разобран у ван дер Вардена:
Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы, М.:, 1959,

на страницах 155 – 161:
http://naturalhistory.narod.ru/Person/Modern/Waerden/Nauka_1/N_1_Ogl.htm
--------------------

Существовал уже или нет пифагорейский учебник по теории чисел, перекочевавший впоследствии в VII книгу “Начал” Евклида, до рождения Платона (427 год до н. э.) – это вопрос, быть может, и дискуссионный.

Тот же ван дер Вардена на упомянутых выше страницах показывает, что оригинальные исследования Архита, составившие впоследствии основу VIII книга “Начал” Евклида, уже опирались на этот пифагорейский учебник. Известно, что Архит был старшим современником Платона, от которого, собственно говоря, Платон и познакомился с математикой:
http://www.px-pict.com/7/3/1/1/2/2.html

Может быть полезен следующий хронологический обзор:
http://www.px-pict.com/7/3/1/1.html

А вообще, далеко не все, что содержится в книгах Евклида, принадлежит лично ему:
http://www.px-pict.com/7/3/1/1/4/1.html

(последние три ссылки – выдержки из упомянутой книги ван дер Вардена)

[VAL]

То, что Евклид опирался на труды предшественников (Архита, Евдокса, Таэтета). общеизвестно. Но и Архит был современником Платона (родился предположительно на год раньше) и вряд ли успел написать свои труды до рождения Платона
Что же касается более древних источников, то даже вопрос их существования, а тем более, содержания покрыт мраком. С этим не спорит и сам ван дер Варден.

А за ссылку спасибо! С "Зарождающейся наукой" знаком, но не имел ее в своем распоряжении ни в бумажном, ни в электронном виде. Теперь имею