Интеграл от 1/x

[ИС]

Не пойму откуда взялся знак модуля
$\int\frac{dx}{x} = \ln|x| +c$
Почему без модуля не правильно?

[Gortaur]

Здесь все дело в том, что интеграл неопределенный. Очевидно, что при $x>0$ модуль не нужен. Пусть $x<0$. Найдите производную $\ln{|x|}$ в таком случае.

[H14sk]

Тут дело, скорее, в том, что ln на x меньше или равно нуля не определен. И ln|x| - это "синтетическая" функция - она не получается аналитически обычным порядком непосредственно из интеграла 1/x. Однако, 1/x (как это называется) кососимметрическая (?) функция, то есть, если брать участки площади между графиком функции и отрицательной полуосью, и центральносимметричными им участками с положительной полуоси, то понятно, что равны. Отсюда, складывая две области определения для ln(-x), где х меньше нуля и ln(x), где х больше нуля, можно придать смысл формуле для ln|x|. Хотя если побаловаться с обобщенными функциями, типа дельты Дирака, то можно получить и аналитически.

[iig]

Берите известное решение, вычитайте, может разность будет разумна.

[AD]

H14sk в сообщении #226094 писал(а):

Однако, 1/x (как это называется) кососимметрическая (?) функция

Нечетная

H14sk в сообщении #226094 писал(а):

Отсюда, складывая две области определения для ln(-x), где х меньше нуля и ln(x), где х больше нуля, можно придать смысл формуле для ln|x|. Хотя если побаловаться с обобщенными функциями, типа дельты Дирака, то можно получить и аналитически.

Достаточно просто побаловаться главными значениями.

Ну еще тут имеется известный казус, заключающийся в том, что можно к $\ln |x|$ прибавлять функции $f_{a,b}(x)=a\theta(x)+b\theta(-x)$, где

$$\theta(x)=\begin{cases}0,x<0\\ 1,x>0\end{cases}$$

, и производная её нигде не изменится. То есть неопределенный интеграл определен как бы с "точностью до двух констант". Хотя, конечно, из соображений главного значения или обобщенных функций получается только одна константа (то есть всегда $a=b$).

[ASA]

ИС в сообщении #226020 писал(а):

$\int\frac{dx}{x} = ln|x| +c$

С этим можно поспорить. Вот так правильно.
$ \int\frac{dx}{x} = \left\{ \begin{array}{cc} \ln x+C_1, & x>0; \\ \ln(-x)+C_2, & x<0. \\ \end{array} \right. $

[ewert]

ASA в сообщении #229003 писал(а):

С этим можно поспорить.

С этим невозможно спорить. Неопределённый интеграл -- это по определению есть множество всех первообразных. И ровно так он и описывается. Бантики же вроде фигурных скобок, какими бы ни были они фигуристыми -- это явно лишнее.

[ASA]

Увы, ewert, Вы не поняли. Дело в различных константах $C_1$, $C_2$. Положив $C_1=C_2$, приходим к записи ИС.

[ewert]

ASA в сообщении #229008 писал(а):

Увы, ewert, Вы не поняли. Дело в различных константах $C_1$, $C_2$. Положив $C_1=C_2$, приходим к записи ИС.

Дело в том, что Вы неправильно читаете. Запись $\int{dx\over x}=\ln|x|+C$ означает ровно одно: какую бы константу $C$ мы ни взяли -- производная правой части будет совпадать с подынтегральным выражением левой. Константы справа и слева от нуля при этом мало того что не связаны между собой, но и любая попытка их связать была бы попросту бессмыссленна. Просто потому, что та константа привязывается к функции как таковой, а вовсе не к конкретной области её значений.

[AGu]

Приводить аргументы мне сейчас лень, но я на стороне ASA.

[ewert]

AGu в сообщении #229060 писал(а):

Приводить аргументы мне сейчас лень, но я на стороне ASA.

Двое на одного, да?!...

Вы, похоже, держите подсознательно в памяти соотв. решение соотв. дифуравнения. В котором, действительно, константы слева и справа для каждой траектории фиксированы, и при этом между собой -- не связаны. Однако неопределённый интеграл -- не то же, что решение уравнения. Идеологически они родственны, но слова произносятся всё-таки разные.

[AGu]

ewert в сообщении #229063 писал(а):

Однако неопределённый интеграл -- не то же, что решение уравнения.

Да.

ewert в сообщении #229005 писал(а):

Неопределённый интеграл -- это по определению есть множество всех первообразных.

Да.

[terminator-II]

AGu в сообщении #229060 писал(а):

Приводить аргументы мне сейчас лень, но я на стороне ASA.

+1

[ewert]

Дело в том, что в данном случае первообразная по определению не задана на всей оси (пусть даже и с дыркой в нуле). Поэтому разводить константы слева и справа, приписывая им разные индексы -- совершенно бессмысленно. Это абсолютно бесполезная и никому не нужная информация.

[AGu]

ewert в сообщении #229077 писал(а):

Дело в том, что в данном случае первообразная по определению не задана на всей оси

Да.

ewert в сообщении #229077 писал(а):

Поэтому разводить константы слева и справа, приписывая им разные индексы -- совершенно бессмысленно.

Нет.

ewert в сообщении #229005 писал(а):

Неопределённый интеграл -- это по определению есть множество всех первообразных.

Да.