подмногообразие и погружение (вопрос по определениям)

[Таня Тайс]

На лекции было дано два противоречивых высказывания, поэтому хочу уточнить.

1. Определение погружения (здесь пока вопросов нет):
Гладкое отображение $\psi \colon N \to M$ называется погружением, если в каждой точке $n\in N$ дифференциал $d\psi_{n}$ явл. мономорфизмом, т.е. отображение $d\psi_{n} \colon \mathbb{R}^{k} \to \mathbb{R}^{n}$ инъективно.

2. Определение подмногообразия :
Пара $(N, \psi)$ называется подмногообразием $M$, если $\psi$ инъективное погружение.

3. Определение вложения:
$\psi$ называется вложением, если это инъективное погружение и к тому же $\psi (N)$ замкнутое множество, т. е. $\psi$ - гомеоморфизм, переводит открытые множества в открытые, а замкнутые в замкнутые.

А потом утверждается, что подмногообразие= вложенное в $\mathbb{R}^{n}$ многообразие? Но ведь вложение это больше, чем просто инъективное погружение! Спасибо

-- Вт июн 30, 2009 00:20:49 --

Собственно, вопрос у меня возник по такому случаю: пусть $N=\mathbb{R},\; M=\mathbb{R}^2$, отображение показано на рисунке. Ну ведь не будет $(\mathbb{R}, \psi )$ подмногообразием $\mathbb{R}^2$, а по 2.определению получается, что будет! Люди, помогите!!!

[BVR]

Почему Вы считаете, что $\psi$ - гомеоморфизм? Оно взаимно-однозначное погружение. Как, например, отображение полуинтервала в окружность - оно не гомеоморфизм, но взаимно-однозначное, а окружность - подмногообразие. И на рисунке - подмногообразие. Может, только $\psi$ не будет координатным гомеоморфизмом.

[Таня Тайс]

BVR в сообщении #225830 писал(а):

И на рисунке - подмногообразие.

Спасибо за конкретный ответ!

Но как тогда понимать фразу нашего преподавателя "подмногообразие = вложенное в $\mathbb{R}^n$ многообразие"? Eсли подмногообразие $M\subset \mathbb{R}^n$, то $i \colon M \hookrightarrow \mathbb{R}^n$ вложение? Это ведь неверно! И этот пример - тому подтверждение. Жаль, у него уже не спросить.

Т.е. ещё раз для ясности - на рисунке подмногообразие, но не вложенное подмногообразие. По теореме Уитни оно вложится в $\mathbb{R}^3$.

[BVR]

Что-то я засомневался, что на рисунке подмногообразие. Ведь в индуцированной топологии у той нехорошей точки точки нет окрестности гомеоморфной интервалу.

-- Ср июл 01, 2009 10:23:11 --

А фразу, видимо, надо понимать так: если $i \colon M \hookrightarrow \mathbb{R}^n$ вложение, то M - подмногообразие.
Щас возьму Громола-Клингенберга-Майера

-- Ср июл 01, 2009 12:35:35 --

Вот поковырялся маленько. Для того, чтобы подмножество $N$ многообразия $M$ было подмногообразием надо 1) чтобы оно само было многообразием и 2) чтобы структуры $M$ и $N$ были определённым образом согласованы. Значит, Ваша "петля" не будет подмногообразием по пункту 1).

Цитата:

Eсли подмногообразие $M\subset \mathbb{R}^n$, то $i \colon M \hookrightarrow \mathbb{R}^n$ вложение? Это ведь неверно!

В Мат. энциклопедии написано, что $M$ должно быть снабжено структурой многообразия и для него $i$ должно быть погружением ( локальным вложением ).

-- Ср июл 01, 2009 12:49:50 --

А насчёт примера с полуинтервалом и окружностью - полуинтервал это же многообразие с краем - мы его погрузили, а оно стало многообразием без края.
А в тех книжках, что я посмотрел, вложение - гомеоморфизм.
Получается. что я не отвечаю на ваш вопрос о тонкостях между пунктами 2) и 3), а сам пытаюсь разобраться. Ладно, хоть пыль с мозгов маленько стряхнул.

[Таня Тайс]

BVR в сообщении #225877 писал(а):

я засомневался, что на рисунке подмногообразие.

Наш лектор тоже утверждал, что да.

BVR в сообщении #225877 писал(а):

Ведь в индуцированной топологии у той нехорошей точки точки нет окрестности гомеоморфной интервалу.

Ну да, $\psi$ не гомеоморфизм.

BVR в сообщении #225877 писал(а):

А насчёт примера с полуинтервалом и окружностью - полуинтервал это же многообразие с краем - мы его погрузили, а оно стало многообразием без края.

Насколько я знаю, там надо не полуинтервал брать, а отрезок и склеивать концы, отождествляя 0 и 1:
$[0,1]/ 0\sim 1$
Получается факторпространство, конструкция посложнее, а проблемы этой нет.

BVR в сообщении #225877 писал(а):

Ладно, хоть пыль с мозгов маленько стряхнул.

[BVR]

Цитата:

там надо не полуинтервал брать, а отрезок и склеивать концы, отождествляя 0 и 1

Не. Берём полуинтервал $[0, 2 \pi)$ и каждому $t$ из этого полуинтервала ставим в соответствие точку с координатами $(r cos t, r sin t)$. Получаем взаимно-однозначное, непрерывное, но не гомеоморфное отображение его на окружность. Думаю, что это как раз погружение, а не вложение.

-- Ср июл 01, 2009 15:35:15 --

А склейка в данном контексте не подойдёт, - речь ведь идёт об отображении в $\mathbb{R}^2$, а при отождествлении концов можно так обмотать его вокруг себя, что он и в $\mathbb{R}^3$ в окружность не расплетётся.

[Таня Тайс]

BVR в сообщении #225907 писал(а):

а при отождествлении концов можно так обмотать его вокруг себя

мы отождествляем только две точки $0\sim 1$, концы отрезка.

Но насчёт погружения, я думаю, Вы правы. Под 2.определение подходит.

[BVR]

мне кажется, что к определению 2 надо добавить, что на$ \psi (N)$ с индуцированной топологией можно ввести структуру многообразия. Всюду, где я смотрел, это требуется. Кстати, в википедии, в статье "подмногообразия" приведено то же определение, что и в матем. энциклопедии. Так что приведённая Вами петля подмногообразием не является.
Осталось разобраться с другим вопросом. Почему лектор сказал, что

Таня Тайс писал(а):

подмногообразие= вложенное в $\mathbb{R}^{n}$ многообразие

, то есть почему он сказал - вложенное. Может имелось в виду, что координатные окрестности на этом многообразии являются элементами индуцированной из $\mathbb{R}^{n}$ топологии?