2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подскажите идею!
Сообщение05.06.2006, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Есть ряд $a_{n} $ он расходится.Причем $a_{n} > 0 $. Теперь
$ S_{n} $ частичная сумма данного ряда. Доказать что ряд, члены которого равны: $ \frac{a_{n}}{S^{\frac{5}{2}}_{n}} $ сходится. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Представьте $a_n$ как $S_n-S_{n-1}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Пробовал!Не вижу дальше пути! :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
$\sum S_n^{-3/2}$ -- абсолютно сходящийся...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
НЕ ФАКТ !! Я уже один способ нашел, интересно если кто еще может что по проще предложит :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
факт, факт... :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 21:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
незванный гость писал(а):
:evil:
$\sum S_n^{-3/2}$ -- абсолютно сходящийся...

Пример $a_n=\frac 1n $ не сходится указанный ряд.
Проще всего доказать суммирование по всем n таким, что
$$\sum_{m=0}^{\infty } \sum_{m\le S_n<m+1} \frac{a_n}{S_n^{5/2}} $$
При этом разбиваем $a_n$ на несколько частей, если они больше единицы. Тогда всё это оценится сверху суммой $$A+2\sum_{m\ge 1} \frac{1}{m^{5/2}} .$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:oops: :oops:
Руст писал(а):
незванный гость писал(а):
$\sum S_n^{-3/2}$ -- абсолютно сходящийся...


Пример $a_n=\frac 1n $ не сходится указанный ряд.

Виноват-с... Мне казалось, интегральный признак проходит... Ошибся-с :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Руст писал(а):
незванный гость писал(а):
:evil:
$\sum S_n^{-3/2}$ -- абсолютно сходящийся...

Пример $a_n=\frac 1n $ не сходится указанный ряд.
Проще всего доказать суммирование по всем n таким, что
$$\sum_{m=0}^{\infty } \sum_{m\le S_n<m+1} \frac{a_n}{S_n^{5/2}} $$
При этом разбиваем $a_n$ на несколько частей, если они больше единицы. Тогда всё это оценится сверху суммой $$A+2\sum_{m\ge 1} \frac{1}{m^{5/2}} .$$

А по подробнее этот метод. Он точно не ошибочный?? :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2006, 07:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Есть ряд $a_{n} $ он расходится.Причем $a_{n} > 0 $. Теперь
$ S_{n} $ частичная сумма данного ряда. Тогда ряд, члены которого равны: $ \frac{a_{n}}{S^{\{q}_{n}} $ сходится при всех q больше 1
См. Библию математического анализа (Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.2, ГЛ.11,Параграф 2, П. 375, подпункт 4) - там все доказано.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2006, 09:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Фактически я предложил изменить нумерацию от n к S(n), что позволяет доказать сходимость и такого ряда $$\sum_k \frac{a_k}{S_k(ln S_k)^q},q>1.$$
Вот положительность членов существенна. Можно привести такой пример ряда (не все члены положительны), что все частичные суммы положительны и стремятся к плюс бесконечности и для любого q>0 ряд $$\sum_k \frac{a_k}{S_k^q}$$ расходится в минус бесконечность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group