Подскажите идею!

[Хет Зиф]

Есть ряд $a_{n} $ он расходится.Причем $a_{n} > 0 $. Теперь
$ S_{n} $ частичная сумма данного ряда. Доказать что ряд, члены которого равны: $ \frac{a_{n}}{S^{\frac{5}{2}}_{n}} $ сходится.

[незваный гость]

Представьте $a_n$ как $S_n-S_{n-1}$.

[Хет Зиф]

Пробовал!Не вижу дальше пути!

[незваный гость]

$\sum S_n^{-3/2}$ -- абсолютно сходящийся...

[Хет Зиф]

НЕ ФАКТ !! Я уже один способ нашел, интересно если кто еще может что по проще предложит

[незваный гость]

факт, факт...

[Руст]

незванный гость писал(а):

:evil:
$\sum S_n^{-3/2}$ -- абсолютно сходящийся...

Пример $a_n=\frac 1n $ не сходится указанный ряд.
Проще всего доказать суммирование по всем n таким, что

$$\sum_{m=0}^{\infty } \sum_{m\le S_n<m+1} \frac{a_n}{S_n^{5/2}} $$

При этом разбиваем $a_n$ на несколько частей, если они больше единицы. Тогда всё это оценится сверху суммой

$$A+2\sum_{m\ge 1} \frac{1}{m^{5/2}} .$$

[незваный гость]

Руст писал(а):

незванный гость писал(а):

$\sum S_n^{-3/2}$ -- абсолютно сходящийся...

Пример $a_n=\frac 1n $ не сходится указанный ряд.

Виноват-с... Мне казалось, интегральный признак проходит... Ошибся-с

[Хет Зиф]

Руст писал(а):

незванный гость писал(а):

:evil:
$\sum S_n^{-3/2}$ -- абсолютно сходящийся...

Пример $a_n=\frac 1n $ не сходится указанный ряд.
Проще всего доказать суммирование по всем n таким, что

$$\sum_{m=0}^{\infty } \sum_{m\le S_n<m+1} \frac{a_n}{S_n^{5/2}} $$

При этом разбиваем $a_n$ на несколько частей, если они больше единицы. Тогда всё это оценится сверху суммой

$$A+2\sum_{m\ge 1} \frac{1}{m^{5/2}} .$$

А по подробнее этот метод. Он точно не ошибочный??

[Brukvalub]

Есть ряд $a_{n} $ он расходится.Причем $a_{n} > 0 $. Теперь
$ S_{n} $ частичная сумма данного ряда. Тогда ряд, члены которого равны: $ \frac{a_{n}}{S^{\{q}_{n}} $ сходится при всех q больше 1
См. Библию математического анализа (Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.2, ГЛ.11,Параграф 2, П. 375, подпункт 4) - там все доказано.

[Руст]

Фактически я предложил изменить нумерацию от n к S(n), что позволяет доказать сходимость и такого ряда

$$\sum_k \frac{a_k}{S_k(ln S_k)^q},q>1.$$

Вот положительность членов существенна. Можно привести такой пример ряда (не все члены положительны), что все частичные суммы положительны и стремятся к плюс бесконечности и для любого q>0 ряд

$$\sum_k \frac{a_k}{S_k^q}$$

расходится в минус бесконечность.