Случай кратных собственных значений

[ShMaxG]

Подскажите пожалуйста, что можно сразу сказать о симметричной матрице, собственные значения для которой равны?

[terminator-II]

вопрос некоректный: если это матрица билинейной формы это одно, если лин. оператора то другое

[ShMaxG]

Ну вообще, задача ставится так: дан тензор инерции
$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} {J_1 + M\left( {a_2^2 + a_3^2 } \right)} & { - Ma_1 a_2 } & { - Ma_1 a_3 } \\ { - Ma_1 a_2 } & {J_2 + M\left( {a_1^2 + a_3^2 } \right)} & { - Ma_2 a_3 } \\ { - Ma_1 a_3 } & { - Ma_2 a_3 } & {J_3 + M\left( {a_1^2 + a_2^2 } \right)} \\ \end{array} } \right) \]$


Надо найти условие на $J_{1}, J_{2}, J_3$, чтобы всегда существовали такие числа $a_{1}, a_{2}, a_3$, чтобы в системе координат, в котором тензор имеет диагональный вид, диагональные элементы были равны.

[terminator-II]

еще раз: тензоры бывают разные. тензор инерции может вводиться как билинейная форма, а может вводиться как оператор.
что обсуждаем?
я понял, судя по постановке это оператор -- иначе ответ тривиален.
если у симметрического оператора все собственные числа равны, то этот оператор в любой системе координат задается матрицей $\lambda E$ это ответ?

[ShMaxG]

Билинейную форму.

[terminator-II]

ShMaxG в сообщении #225658 писал(а):

Билинейную форму.

а матрица билинейной формы всегда приводится к виду такому, что на главной диагонали стоят $\pm 1$ и нули. собственные числа не я вляются инвариантом билин. формы
впрочем, у Вас там очевидно, только ортогональные системы координат рассматриваются (о чем следовало сказать) тогда матрица оператора и билинейной формы преобразуются одинаково, и то ,что Вам нужно я уже сформулировал:
если у симметрического оператора все собственные числа равны, то этот оператор в любой системе координат задается матрицей $\lambda E$ это ответ?

[ShMaxG]

Хм, странно. Здесь написано:

Цитата:

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора

И матрицу тензора инерции вводят как матрицу билинейной формы.

Мой же вопрос состоит в том, можно ли не выписывая характеристическое уравнение для матрицы как-то найти это необходимое условие...

[terminator-II]

да можно:

terminator-II в сообщении #225659 писал(а):

впрочем, у Вас там очевидно, только ортогональные системы координат рассматриваются (о чем следовало сказать) тогда матрица оператора и билинейной формы преобразуются одинаково, и то ,что Вам нужно я уже сформулировал:
если у симметрического оператора все собственные числа равны, то этот оператор в любой системе координат задается матрицей $\lambda E$ это ответ?

[ShMaxG]

В любой системе координат... это значит, что всего-то можно взять, к примеру, $\[ a_1 = a_2 = 0,a_3 \ne 0 \] $ и приравнять элементы на диагонали?

[terminator-II]

да

[ShMaxG]

ну типа недиагональные элементы занулить

-- Вт июн 30, 2009 01:54:33 --

Спасибо!