2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:07 
Аватара пользователя
Подскажите пожалуйста, что можно сразу сказать о симметричной матрице, собственные значения для которой равны?

 
 
 
 Re: Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:17 
вопрос некоректный: если это матрица билинейной формы это одно, если лин. оператора то другое

 
 
 
 Re: Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:20 
Аватара пользователя
Ну вообще, задача ставится так: дан тензор инерции
$\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {J_1  + M\left( {a_2^2  + a_3^2 } \right)} & { - Ma_1 a_2 } & { - Ma_1 a_3 }  \\
   { - Ma_1 a_2 } & {J_2  + M\left( {a_1^2  + a_3^2 } \right)} & { - Ma_2 a_3 }  \\
   { - Ma_1 a_3 } & { - Ma_2 a_3 } & {J_3  + M\left( {a_1^2  + a_2^2 } \right)}  \\

 \end{array} } \right)
\]$


Надо найти условие на $J_{1}, J_{2}, J_3$, чтобы всегда существовали такие числа $a_{1}, a_{2}, a_3$, чтобы в системе координат, в котором тензор имеет диагональный вид, диагональные элементы были равны.

 
 
 
 Re: Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:23 
еще раз: тензоры бывают разные. тензор инерции может вводиться как билинейная форма, а может вводиться как оператор.
что обсуждаем?
я понял, судя по постановке это оператор -- иначе ответ тривиален.
если у симметрического оператора все собственные числа равны, то этот оператор в любой системе координат задается матрицей $\lambda E$ это ответ?

 
 
 
 Re: Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:25 
Аватара пользователя
Билинейную форму.

 
 
 
 Re: Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:27 
ShMaxG в сообщении #225658 писал(а):
Билинейную форму.

а матрица билинейной формы всегда приводится к виду такому, что на главной диагонали стоят $\pm 1$ и нули. собственные числа не я вляются инвариантом билин. формы
впрочем, у Вас там очевидно, только ортогональные системы координат рассматриваются (о чем следовало сказать) тогда матрица оператора и билинейной формы преобразуются одинаково, и то ,что Вам нужно я уже сформулировал:
если у симметрического оператора все собственные числа равны, то этот оператор в любой системе координат задается матрицей $\lambda E$ это ответ?

 
 
 
 Re: Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:39 
Аватара пользователя
Хм, странно. Здесь написано:

Цитата:
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора


И матрицу тензора инерции вводят как матрицу билинейной формы.

Мой же вопрос состоит в том, можно ли не выписывая характеристическое уравнение для матрицы как-то найти это необходимое условие...

 
 
 
 Re: Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:41 
да можно:

terminator-II в сообщении #225659 писал(а):
впрочем, у Вас там очевидно, только ортогональные системы координат рассматриваются (о чем следовало сказать) тогда матрица оператора и билинейной формы преобразуются одинаково, и то ,что Вам нужно я уже сформулировал:
если у симметрического оператора все собственные числа равны, то этот оператор в любой системе координат задается матрицей $\lambda E$ это ответ?

 
 
 
 Re: Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:51 
Аватара пользователя
В любой системе координат... это значит, что всего-то можно взять, к примеру, $\[
a_1  = a_2  = 0,a_3  \ne 0
\]
$ и приравнять элементы на диагонали?

 
 
 
 Re: Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:52 
да

 
 
 
 Re: Случай кратных собственных значений
Сообщение30.06.2009, 00:53 
Аватара пользователя
ну типа недиагональные элементы занулить

-- Вт июн 30, 2009 01:54:33 --

Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group