сурьекция R

[terminator-II]

непрерывная функция $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ обладает следующими свойствами.
1) прообраз всякого ограниченного множества ограничен
2) существует открытое множество $U,\quad U\ne\emptyset$ такое, что $f$ является гомеоморфизмом между $U$ и $f^{-1}(U)$.
Доказать, что $f$ -- сюрьекция.

на самом деле гомеоморфность в 2) не нужна: достаточно взаимнооднозначности

[AD]

Почему $f(x)=x^2$ не контрпример? Или во втором пункте речь идет не об ограничении $f$ на $U$, а о чем-то еще?

[terminator-II]

AD в сообщении #225494 писал(а):

Почему $f(x)=x^2$ не контрпример? Или во втором пункте речь идет не об ограничении $f$ на $U$, а о чем-то еще?

спасибо поправил.

[Профессор Снэйп]

Вроде совсем легко.

Пусть $f$ --- не сюрьекция. Тогда одно из действительных чисел не попадает в область значений $f$. Без ограничения общности можно считать, что это число $0$.

В силу непрерывности имеем $f(x) > 0$ либо $f(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Опять же без ограничения общности будем считать, что выполнено первое.

Прообраз ограниченного множества $[0,f(0)]$ ограничен. Значит, существует $M > 0$, такое что $|x| > M \Rightarrow f(x) > f(0)$.

Далее. Так как $f$ непрерывна, то на компакте $[-M,M]$ она достигает минимума. Ясно, что это будет глобальный минимум функции $f$. Опять же без ограничения общности можно считать, что этот минимум достигается в нуле.

Выберем открытое $U \neq \varnothing$, такое $U$ и $f^{-1}(U)$ гомеоморфны и гомеоморфизмом является функция $f$ (в ограничении на $f^{-1}(U)$).

Так как областью значения указанного гомоморфизма является всё $U$, то $U \subseteq [f(0),+\infty)$.

Выберем $a < b$, такие что $(a,b) \subseteq U$. Это можно сделать в силу открытости $U$. Кроме того, имеем $f(0) \leqslant a$.

Ограничение гомеоморфизма $f^{-1}$ на подмножество $(a,b)$ есть опять же гомеоморфизм. Значит, можно считать, что $U = (a,b)$ и $U$ является связным множеством. Осталось показать, что $f^{-1}(U)$ не связно и получить противоречие c тем, что $U$ и $f^{-1}(U)$ гомеоморфны.

Прообраз ограниченного множества $[0,b]$ ограничен. Следовательно, существуют $x_0 < 0$ и $x_1 > 0$, такие что $f(x_0) > b$ и $f(x_1) > b$. Но непрерывная функция $f$ обязана принимать на отрезке $[x_0,0]$ все значения между $f(0)$ и $f(x_0)$; аналогично, $f$ принимает все значения между $f(0)$ и $f(x_1)$ на отрезке $[0,x_1]$. Значит, $f(x_0') \in U$ и $f(x_1') \in U$ для некоторых $x_0' \in (x_0,0)$ и $x_1' \in (0,x_1)$. Таким образом, $f^{-1}(U)$ содержит отрицательное число $x_0'$, положительное число $x_1'$ и не содержит $0$.

Вот и всё

P. S. В названии темы допущена грамматическая ошибка.

[terminator-II]

да, вроде все так.

Профессор Снэйп в сообщении #225567 писал(а):

Вроде совсем легко.

хорошо, тогда как насчет того же для $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$?

Профессор Снэйп в сообщении #225567 писал(а):

P. S. В названии темы допущена грамматическая ошибка.

не буду исправлять из вредности

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #225589 писал(а):

хорошо, тогда как насчет того же для $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$?

Для $m=2$ уже не должно быть верно. Если порыться в ТФКП, то наверняка можно найти примеры аналитических функций с нужными свойствами.

Хотя точно утверждать не берусь. Посмотрим, что скажут специалисты

[terminator-II]

Профессор Снэйп в сообщении #225594 писал(а):

Для $m=2$ уже не должно быть верно. Если порыться в ТФКП, то наверняка можно найти примеры аналитических функций с нужными свойствами.

нет таких примеров в ТФКП, это, как раз, доказать несложно.

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #225630 писал(а):

нет таких примеров в ТФКП, это, как раз, доказать несложно.

А как доказывать, если не секрет?

[terminator-II]

Профессор Снэйп в сообщении #226013 писал(а):

terminator-II в сообщении #225630 писал(а):

нет таких примеров в ТФКП, это, как раз, доказать несложно.

А как доказывать, если не секрет?

рассмотрим целую функцию $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$
из условия 1) следует, что
$|f(z)|\to\infty$ при $z\to \infty$ следовательно точка $\infty$ -- полюс для $f$, следовательно $f$ -- многочлен, по основной теореме алгебры $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}$