Как решать такое неравенство?=)))

[invisible1]

$$ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-2)(x+3)}\geqslant 0$$

Ясно, что если мы смело сократим $(x-2)$ , то дальше вопросов не возникнет, а как тут быть? Почему можно/нельзя сокращать. Если подставим $x=2$, тогда возникнет неопределенность вида $\frac{0}{0}$,...

[Бодигрим]

Стандартный школьный подход к решению выглядел бы так:

$$ \left\{ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-2)(x+3)}\geqslant 0\right\} \iff \left\{\begin{matrix} (x-1)^2(x-2)^2(x+3)\geqslant0, \\ x-2\ne0, \\ x+3\ne0. \end{matrix}\right\} $$

[ewert]

Стандартный школьный подход заключается в:

1) обязательном выписывании ОДЗ;
2) сокращении дроби;
3) применении к полученной дроби метода интервалов (это такая прямая с нанесённой на неё точками, плюсиками и минусиками);
4) выписывании ответа.

[meduza]

Ткачук В. "Математика абитуриенту". (IMHO, лучшее обобщение школьной программы по математике).

[invisible1]

Бодигрим в сообщении #225216 писал(а):

Стандартный школьный подход к решению выглядел бы так:

$$ \left\{ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-2)(x+3)}\geqslant 0\right\} \iff \left\{\begin{matrix} (x-1)^2(x-2)^2(x+3)\geqslant0, \\ x-2\ne0, \\ x+3\ne0. \end{matrix}\right\} $$

Спасибо! А почему знаменатель оказался в числителе?

[AKM]

Потому что здесь нас интересует только знак (сравнение с нулём, не с 6, не с -999, не с корень из двух; с нулём!). А тогда что деление, что умножение --- всё равно. Что $(-5)/(-3)$, что $(-5)\cdot(-3)$ --- знак один, и можно тупо заменить деление на умножение (равно как и привести более строгие обоснования для этого, но типа пока лень).

-- Вс июн 28, 2009 23:01:04 --

Да чо лениться --- умножим обе части неравенста на положительное число $(x+3)^2$. Неравенство от этого не изменится. (ОДЗ всегда в памяти сидит!)

[invisible1]

AKM в сообщении #225356 писал(а):

Потому что здесь нас интересует только знак (сравнение с нулём, не с 6, не с -999, не с корень из двух; с нулём!). А тогда что деление, что умножение --- всё равно. Что $(-5)/(-3)$, что $(-5)\cdot(-3)$ --- знак один, и можно тупо заменить деление на умножение (равно как и привести более строгие обоснования для этого, но типа пока лень).

-- Вс июн 28, 2009 23:01:04 --

Да чо лениться --- умножим обе части неравенста на положительное число $(x+3)^2$. Неравенство от этого не изменится. (ОДЗ всегда в памяти сидит!)

Ммм, а мне показалось, что лучше умножить обе части на знаменатель. Меня интересует, что будет происходить с кратностью корней числителя и знаменателя? Ведь в методе интевалов интересует четный или нечетный корень. то ессть процедура решение подобных неравенств заключается в переносе знаменателя в числитель? Все равно до конца не понял(((

[Виктор Викторов]

invisible1 в сообщении #225215 писал(а):

$$ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-2)(x+3)}\geqslant 0$$

Ваш случай более интересен логикой, а не стандартным методом. Во-первых, сокращайте без страха, но с напоминанием исключить x=2 из ответа. Во-вторых, после сокращения получится дробь с неотрицательным числителем. А каково то число, из-за которого я страдал писать «не» вместе или раздельно? Ясно, если числитель ноль (и знаменатель не ноль), то это число входит в решение. А во всех остальных точках числитель положителен. Тогда каков должен быть знаменатель, чтобы дробь была положительна? Ответ на этот вопрос (плюс ранее полученные результаты о числах 1 и 2) дают результат.

Теперь о

ewert в сообщении #225234 писал(а):

применении к полученной дроби метода интервалов (это такая прямая с нанесённой на неё точками, плюсиками и минусиками);

Я изменю Ваш пример для лучшего понимания. Итак, пусть

$$ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x+3)}\geqslant 0$$

Нас, по сути дела, интересует Ваше (или уже почти моё) выражение положительно или отрицательно (кроме этого, конечно, когда оно не определено и когда оно нуль). Сомножитель в квадрате на знак не влияет (только в некоторой точке дает нуль), а в остальном, подумайте, влияет ли на знак Вашего выражения, где стоит сомножитель в числителе или в знаменателе? И дальше, как и написал ewert нанесём на числовую ось корни числителя (но не выражения в чётной степени!) и знаменателя. В этих точках будет меняться знак нашего выражения! Теперь посчитаем

$$\frac{(x-1)^2(x-2)}{(x+3)} $$

в любой точке (например, в точке 10) нам нужен его (выражения) знак. Ага, выражение положительно в точке 10. Значит над той частью оси где эта десятка живёт ставим плюс, тогда при смене знака в точке 2 на следующем участке появится минус и при следующей смене знака в точке -3 появится опять плюс. Остаётся только записать ответ помня при этом о всех(!) корнях числителя и знаменателя.

[invisible1]

Виктор Викторов в сообщении #225380 писал(а):

invisible1 в сообщении #225215 писал(а):

$$ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-2)(x+3)}\geqslant 0$$

Ваш случай более интересен логикой, а не стандартным методом. Во-первых, сокращайте без страха, но с напоминанием исключить x=2 из ответа. Во-вторых, после сокращения получится дробь с неотрицательным числителем. А каково то число, из-за которого я страдал писать «не» вместе или раздельно? Ясно, если числитель ноль (и знаменатель не ноль), то это число входит в решение. А во всех остальных точках числитель положителен. Тогда каков должен быть знаменатель, чтобы дробь была положительна? Ответ на этот вопрос (плюс ранее полученные результаты о числах 1 и 2) дают результат.

Теперь о

ewert в сообщении #225234 писал(а):

применении к полученной дроби метода интервалов (это такая прямая с нанесённой на неё точками, плюсиками и минусиками);

Я изменю Ваш пример для лучшего понимания. Итак, пусть

$$ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x+3)}\geqslant 0$$

Нас, по сути дела, интересует Ваше (или уже почти моё) выражение положительно или отрицательно (кроме этого, конечно, когда оно не определено и когда оно нуль). Сомножитель в квадрате на знак не влияет (только в некоторой точке дает нуль), а в остальном, подумайте, влияет ли на знак Вашего выражения, где стоит сомножитель в числителе или в знаменателе? И дальше, как и написал ewert нанесём на числовую ось корни числителя (но не выражения в чётной степени!) и знаменателя. В этих точках будет меняться знак нашего выражения! Теперь посчитаем

$$\frac{(x-1)^2(x-2)}{(x+3)} $$

в любой точке (например, в точке 10) нам нужен его (выражения) знак. Ага, выражение положительно в точке 10. Значит над той частью оси где эта десятка живёт ставим плюс, тогда при смене знака в точке 2 на следующем участке появится минус и при следующей смене знака в точке -3 появится опять плюс. Остаётся только записать ответ помня при этом о всех(!) корнях числителя и знаменателя.

Спасибо!!! Теперь все ясно=) Насколько я понял, в исходном примере точка x=2 никак не влияет на знак?
Хначит будет ответ в исходном примере...
$x\geqslant-3$ и x не равен 2. Правильно?

[Виктор Викторов]

invisible1 в сообщении #225385 писал(а):

Спасибо!!! Теперь все ясно=) Насколько я понял, в исходном примере точка x=2 никак не влияет на знак?

Да это правильно.
В точке x=2 выражение не определено, но во всех остальных точках знак не зависит от х–2.

invisible1 в сообщении #225385 писал(а):

Хначит будет ответ в исходном примере...
$x\geqslant-3$ и x не равен 2. Правильно?

Почти. Спросите свою бессмертную совесть, что будет с Вашим выражением при х=–3?

[invisible1]

Почти. Спросите свою бессмертную совесть, что будет с Вашим выражением при х=–3?
Ясно=) Почему бессмертную совесть?=)

В точке x=-3+0 .... $+\infty\geqslant 0$
Точка x=-3-0 .... не является решением неравенства, тк выражение $-\infty\geqslant 0$ не имеет смысла
По правилу Лопиталля точка x=2 является решением неравенства

[Виктор Викторов]

invisible1 в сообщении #225215 писал(а):

$$ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-2)(x+3)}\geqslant 0$$

Ясно, что если мы смело сократим $(x-2)$ , то дальше вопросов не возникнет, а как тут быть? Почему можно/нельзя сокращать. Если подставим $x=2$, тогда возникнет неопределенность вида $\frac{0}{0}$,...

invisible1 в сообщении #225392 писал(а):

Почти. Спросите свою бессмертную совесть, что будет с Вашим выражением при х=–3?
Ясно=) Почему бессмертную совесть?=)

В точке x=-3+0 .... $+\infty\geqslant 0$
Точка x=-3-0 .... не является решением неравенства, тк выражение $-\infty\geqslant 0$ не имеет смысла
По правилу Лопиталля точка x=2 является решением неравенства

При чём здесь правило Лопиталя?
Выражение $\frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-2)(x+3)}$ не определено при х=2 и при х=-3. Поэтому оба значения в ответ не входят. Вообще все рассуждения о пределах и о виде неопределённости не имеют никакого отношение к Вашей проблеме. Ваша задача установить при каких значениях х дробь $\frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-2)(x+3)}$ неотрицательна. Вы пришли к выводу

invisible1 в сообщении #225385 писал(а):

$x\geqslant-3$ и x не равен 2.

Это почти так. Но, конечно, х>-3 и x не равен 2.

[ewert]

invisible1 в сообщении #225364 писал(а):

. Меня интересует, что будет происходить с кратностью корней числителя и знаменателя?

Вот чтобы не интересоваться ненужными вещами -- лучше и не трюкачить. После сокращения на $(x-2)$ формально получим, что двойка -- это "корень нулевой кратности", т.е. чётной.

[invisible1]

Спасибо!!!!!