сравнение чисел до третьего знака

[meduza]

sasha_vertreter в сообщении #224584 писал(а):

meduza в сообщении #224583 писал(а):

Можно, есть множество различных способов. Ну, к примеру - в коружность вписать и описать какие-нибудь фигуры, найти их периметры, а длина окружности будет заключена между ними.

я это уже делал, это не работает - можете привести пример?

Очень даже работает. Для простоты лучше брать правильные многоугольники.
Ну в самом первом приближении - впишем и опишем квадрат в окружность. Радуис окр-сти $R$, сторона описанного квадрата $a$, вписанного - $b$. В рамках школьной геометриии из треугольников (образованных диагоналями и радиусами) можно найти, что $b=\sqrt{2}R,\ a=2\sqrt{2} R$, отсюда $4b < 2\pi R < 4a \Leftrightarrow 2\sqrt{2} < \pi < 4\sqrt{2}$. Но это грубое приблежения, для большей точности надо брать многоугольники с бОльшим числом сторон.

[RIP]

RIP в сообщении #224591 писал(а):

А вот здесь можно скачать небезынтересную статейку из "Кванта".

Кстати, в аннотации глупость написана. Неперово число --- это $e$, а не $\pi$.

[EtCetera]

meduza
У Вас ошибка: $a=2R$.

[sasha_vertreter]

meduza в сообщении #224597 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #224584 писал(а):

meduza в сообщении #224583 писал(а):

Можно, есть множество различных способов. Ну, к примеру - в коружность вписать и описать какие-нибудь фигуры, найти их периметры, а длина окружности будет заключена между ними.

я это уже делал, это не работает - можете привести пример?

Очень даже работает. Для простоты лучше брать правильные многоугольники.
Ну в самом первом приближении - впишем и опишем квадрат в окружность. Радуис окр-сти $R$, сторона описанного квадрата $a$, вписанного - $b$. В рамках школьной геометриии из треугольников (образованных диагоналями и радиусами) можно найти, что $b=\sqrt{2}R,\ a=2\sqrt{2} R$, отсюда $4b < 2\pi R < 4a \Leftrightarrow 2\sqrt{2} < \pi < 4\sqrt{2}$. Но это грубое приблежения, для большей точности надо брать многоугольники с бОльшим числом сторон.

а как быть с $\sqrt 3$? так вот вопрос как раз с бОльшим - это со скольким?
ведь квадрат это грубое во всех цифрах приближение, то чтобы получить точность до 3-х знаков число сторон должно быть явно больше 10... у Вас получилось?

[meduza]

EtCetera
Ой, спасибо, невнимательно посчитал.

sasha_vertreter в сообщении #224602 писал(а):

ведь квадрат это грубое во всех цифрах приближение, то чтобы получить точность до 3-х знаков число сторон должно быть явно больше 10... у Вас получилось?

Это был ответ на ваш пост #224579, в котором вы спрашивали о принципиальном нахождении рамок для $\pi$. Если же вам нужны практические методы - то вам уже насоветовали множество способов.

[sasha_vertreter]

Цитата:

Это был ответ на ваш пост #224579, в котором вы спрашивали о принципиальном нахождении рамок для $\pi$. Если же вам нужны практические методы - то вам уже насоветовали множество способов.

так я же спрашивал про приближение иррационального числа рациональными числами, не корнями.

и вообще, метод приближения описанными\вписанными многоугольниками, на мой взгляд, представляет интерес разве что теоретически, ведь если представить, что $\pi$ - это площадь единичного круга, то представляете какое количество сторон n должны иметь описанный и вписанный n-угольники, чтобы разность их площадей отличалась на одну тысячную? уж лучше через Дзета функцию тогда аппроксимировать...

но в любом случае, спасибо, я получил ответ на свой вопрос.

[VAL]

RIP в сообщении #224595 писал(а):

. Например, "это я знаю и помню прекрасно", т.е. $3.14159\ldots$.

"... пи многие цифры мне лишни, напрасны."

Цитата:

Но в любом случае, задача-издевательство.

Я ее раньше в виде анекдота встречал. Студента просят доказать иррациональность числа $\sqrt 2 + \sqrt 3$. И он "доказывает: "$\sqrt 2 + \sqrt 3=1,41+1,73=3,14=\pi$. Ну а $\pi$, как известно, иррационально".

[Gortaur]

Больше все понравился пост про $\pi$ и разложение арктангенса в ряд Тейлора - собственно, как раз вариант для устного экзамена в университет. Или на мехмат нужно приходить только с такими знаниями?

[sasha_vertreter]

а по-моему представление пи через дзета функцию, готорая в свою очередь представима через гамма функцию и несобственный интеграл =) вот такая аппроксимация действительно работает для устного экзамена =)))

[ИСН]

Вопрос, короче, нормальный для экзамена. Но некрасивый - везде долго возиться, и проползаем еле-еле.
Красиво – это, например, если бы вдруг между ними нашлось число, по каким-то разным признакам родственное обоим и очень просто сравнимое с ними, и тогда - - -

[sasha_vertreter]

а вот если рассмотреть единичный куб, то $\sqrt3$ -это диагональ куба, а $\sqrt2$ -это диагональ, скажем нижнего основания. Получается периметр треугольника $\sqrt2 + \sqrt3 +1$ может как-то это поможет... как-то рассмотреть окружность, вписанную в такой треугольник...

[мат-ламер]

Пришла идея. Уже многократно упоминалось про вписанные многоугольники. Собственно, вписывать ничего не надо. Достаточно рассмотреть синус очень маленького угла, например $\pi/128$. Для него можно составить рекуррентную формулу из вложенных корней. Идея в том, что и корни извлекать не надо. Сравнение можно осуществить методом последовательного возведения в квадрат. Может кто возьмётся за осуществление?

[TOTAL]

[math]

[мат-ламер]

Вспоминается анекдот из книги "Математики тоже шутят" - А вот эту задачу сейчас решает вся кафедра. Если решит, то мы предложим её на экзаменах. Из перлов на вступительных экзаменах. Следующая задача предлагалась на вступительных экзаменах на биофак (!) МГУ (см. Квант. 2005, N6, Голубев - Ищем экстремаьный экстремум). Требуется найти минимум выражения $(3a(1-u^2)^{-1/2} + b(1-t^2)^{-1/2} )/ c$ при условиях $a\ge0 , b\ge0 , c\ge0 , t \ge0 , u \ge0 , at+bu \le c, a^2+2bcu \ge b^2 + c^2 , b^2(t^2-u^2)/(t^2-1) + c^2 \le 2bcu$. Я думаю, кто решит такую задачу, того надо сразу принимать в аспирантуру ВМК.
(Сделал маленькие исправления).

[Мастак]

AKM:

Предупреждение за оффтоп (удалён).