Наименьшая неподвижная точка

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #224312 писал(а):

Профессор: topic23767.html

Там по ссылке какое-то интегральное уравнение обсуждается. Я совершенно не понял, какое оно имеет отношение к нашим ЧУМам.

Хочется сделать ещё одно замечание по теме (надеюсь, на этот раз не ошибаюсь, а то последнее время среди ночи когда пишу, то часто ошибки делаю ). Вроде получается, что для решёток полнота всей решётки эквивалентна полноте каждой максимальной цепи в ней. И, значит, наши две задачи дают критерий: решётка полна тогда и только тогда, когда каждое монотонное отображение её в себя имеет неподвижную точку. Может, это даже какая-то известная теорема? Точно не знаю.

[terminator-II]

Профессор Снэйп в сообщении #224393 писал(а):

Там по ссылке какое-то интегральное уравнение обсуждается. Я совершенно не понял, какое оно имеет отношение к нашим ЧУМам.

прямое. теорема существования для того интегрального уравнения вытекает из существования неподвижной точки у монотонного отображения полной решетки. Вы сказали, что эти задачи не имеют отношение к урчп, я привел контрпример (банальный). а какое вся эта наука к параболическим уравнениям имеет и к задаче Коши-Ковалевской . Там очень красиво.

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #224394 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #224393 писал(а):

Там по ссылке какое-то интегральное уравнение обсуждается. Я совершенно не понял, какое оно имеет отношение к нашим ЧУМам.

прямое. теорема существования для того интегрального уравнения вытекает из существования неподвижной точки у монотонного отображения полной решетки. Вы сказали, что эти задачи не имеют отношение к урчп, я привел контрпример (банальный). а какое вся эта наука к параболическим уравнениям имеет и к задаче Коши-Ковалевской . Там очень красиво.

Тогда прошу прощения!

Просто когда я вижу интегральное уравнение, мне становится страшно и моск отказывается воспринимать информацию дальше. Что поделать, душа у меня дискретная, УрЧП и тому подобную жуть не любит и боится.

Теперь, после Вашего сообщения, попробую всё же прочитать и разобраться

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #224248 писал(а):

Пусть $\mathcal{P}$ --- частично упорядоченное множество с наименьшим элементом, в котором каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум. Доказать то же самое: множество неподвижных точек произвольного монотонного отображения $\mathcal{P}$ в себя не пусто и содержит наименьший элемент.

Проверю-ка я свои телепатические способности.
Не следующий ли подход был задуман?

Пусть $f:\mathcal P\to\mathcal P$ --- монотонное отображение.
Рассмотрим кардинал $\varkappa>|\mathcal P|$ и определим $(x_\alpha)_{\alpha<\varkappa}\subseteq\mathcal P$ следующим образом:

$x_0:=\min{\mathcal P}$;
$x_{\alpha+1}:=f(x_\alpha)$ для всех $\alpha<\varkappa$;
$x_\beta:=\sup_{\alpha<\beta}x_\alpha$ для предельных $\beta<\varkappa$.

Здесь предельный этап корректен, ибо (по индукции)
мы имеем $x_\alpha\leqslant x_\beta$ для всех $\alpha<\beta<\varkappa$ (детали очевидны).
Поскольку $\varkappa > |\mathcal P|$, найдутся $\alpha<\beta<\varkappa$ такие, что $x_\alpha=x_\beta$.
В частности, $f(x_\alpha)=x_{\alpha+1}=x_\alpha$, а значит, $\operatorname{fix}f\ne\varnothing$.
Теперь положим $\beta:=\min\{\alpha<\varkappa : x_\alpha=x_{\alpha+1}\}$.
Индукцией по $\beta$ несложно показать, что $x_\beta=\min\operatorname{fix}f$.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #224431 писал(а):

Проверю-ка я свои телепатические способности.
Не следующий ли подход был задуман?...

Ну... телепатические способности на четыре с плюсом

Построение неподвижной точки было задумано именно такое. А вот доказывать, что она наименьшая, предполагалось чуть-чуть по другому